Аналитический вид решений и функции Грина задач параболического типа с нестационарным коэффициентом диффузии Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Савотченко С. Е.
Рассмотрены начально-краевые задачи основных типов для неоднородного параболического уравнения на полуоси, коэффициент диффузии в котором зависит от времени. Получены точные решения поставленных задач в явном аналитическом виде для широкого класса зависимостей коэффициента диффузии от времени. Определены функции Грина соответствующих задач. Доказаны теоремы об ограниченности соответствующих интегралов Пуассона, для которых получены оценки. Доказаны теоремы о том, что соответствующие интегралы Пуассона определяют решения поставленных начально-краевых задач.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Савотченко С. Е.
Текст научной работы на тему «Аналитический вид решений и функции Грина задач параболического типа с нестационарным коэффициентом диффузии»
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 204-218 Физика
Аналитический вид решений и функции Грина задач параболического типа с нестационарным коэффициентом диффузии
Аннотация. Рассмотрены начально-краевые задачи основных типов для неоднородного параболического уравнения на полуоси, коэффициент диффузии в котором зависит от времени. Получены точные решения поставленных задач в явном аналитическом виде для широкого класса зависимостей коэффициента диффузии от времени. Определены функции Грина соответствующих задач. Доказаны теоремы об ограниченности соответствующих интегралов Пуассона, для которых получены оценки. Доказаны теоремы о том, что соответствующие интегралы Пуассона определяют решения поставленных начально-краевых задач.
Ключевые слова: краевая задача, функция Грина, уравнение диффузии, коэффициент диффузии, временная зависимость.
Нестационарные задачи параболического типа для уравнений диффузии (теплопроводности) имеют большое прикладное значение 2. Во многих технических приложениях возникает необходимость изучения процесса эволюции концентрации примесей, точечных дефектов, или температурного поля, когда соответствующий коэффициент переноса не является постоянным. Случаи, когда коэффициенты переноса зависят от пространственных координат, или искомого поля, хорошо описывают процессы в неоднородных и нелинейных средах, и они достаточно хорошо изучены [1].
Учет зависимости коэффициента переноса от времени необходим при моделировании, например, радиационно-стимулированной диффузии точечных дефектов, когда их неравновесный коэффициент диффузии зависит от дозы, накопленной в течение времени облучения материала [4]. Закономерности эволюции концентрации таких дефектов необходимы для вычисления предела
* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта БелГУ (ВКГ 201-08).
текучести с целью изучения влияния облучения на прочностные характеристики и эффектов радиационного упрочнения материалов [5].
Кроме того, учет зависимости коэффициента диффузии от времени применяется для управления процессом установления стационарного распределения примесей в кристалле [6].
Непрерывное изменение коэффициента диффузии с течением времени можно получить непрерывно меняя температуру кристаллического образца, поскольку коэффициент диффузии зависит от температуры по экспоненциальному закону 0(1) = Ооех.р(—Еа/квТ(1)), где Т(1) — температура испытания; Е,ц — энергия активации диффузии и миграции; £>о = аи2, а иг/ — длина перескоков и собственная частота колебаний атомов; к в — константа Больцмана. Таким образом, управляя зависимостью температуры от времени Т(1), можно анализировать диффузионно-контролируемые процессы, имеющие большое значение для технологии создания жаропрочных сплавов [7].
Особое значение при рассмотрении подобных задач имеют, помимо вопросов существования, единственности и устойчивости решений, необходимость получения решений в явном аналитическом виде [1, 2]. При этом физически адекватное моделирование наиболее часто встречающихся ситуаций требует нахождения решения в полуограниченной области [3].
В данной работе будут получены аналитические выражения решений начально-краевых задач на полуоси для неоднородного параболического уравнения с зависящим от времени коэффициентом диффузии. Будут рассмотрены неоднородные краевые условия основных типов. Для сформулированных задач первого, второго и третьего типов будут определены функции Грина, с помощью которых построены решения соответствующих задач.
1. Первая начально-краевая задача
Пусть эволюция системы описывается одномерным скалярным полем и(ж, £), определенным на полуоси ж 6 3?+ при всех £ 6 3?+. Будем рассматривать неоднородное уравнение параболического типа на полуоси:
щ = 0(1)ихх-Аи +¡(ж,*), х > 0, ¿>0, (1)
в котором А > 0 — заданная постоянная; f(x,t) — заданная непрерывная функция при всех х > 0, £ > 0; 0(1) — нестационарный коэффициент диффузии.
Для функции 0(1) предполагаются выполненными следующие требования: 1) 0(1) 6 С(3?+), т. е. непрерывна при всех £ 6 3?+; 2) 0(1) > 0 при всех £ € 3?+; 3) 0(1) ограничена на любом конечном интервале £ 6 [0, Т], Т > 0.
Рассмотрим постановку первой начально-краевой задачи для уравнения (1). Пусть требуется найти на полуоси ж > 0 при £ > 0 непрерывное решение и(ж, уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию при t = 0:
и краевому условию первого рода в точке ж = 0:
u(0,t) = u8(t), t > 0, (3)
где заданные функции щ(х) 6 С (9?+) — начальная функция и us(t) 6 С
Для существования ограниченного на бесконечности решения задачи (1)-(3) искомая функция должна быть ограниченной. Это означает, что начальная функция также должна быть ограниченной всюду при ж > 0 и t ^ 0: |«о(ж)| 0 — некоторая постоянная. Уточнение этих условий будет проведено далее. Если требуется найти гладкое решение задачи (1)-(3), то начальная и граничная функции дополнительно должны удовлетворять условию согласованности: «о(0) = us<0)-
Так как уравнение (1) является линейным, то решение задачи (1)-(3) по принципу суперпозиции представимо в виде
и( Ж, t) = Ul(x, t) + U2 (ж, t) + «з(ж, t). (4)
Здесь функция ui(x, t) является решением соответствующего однородного уравнения
щ = D(t)uxx — Аи, ж > 0, t > 0, (5)
удовлетворяющая неоднородному начальному условию (2) и однородному краевому условию 1-го рода:
Функция «2 (ж, t) является решением однородного уравнения (5), удовлетворяющая однородному начальному условию
и неоднородному краевому условию 1-го рода (3).
Функция «з(ж, t) является решением неоднородного уравнения (1) и удовлетворяет однородному начальному условию (7) и однородному краевому условию (6). Решения указанных задач находятся в явном аналитическом виде для достаточно широкого класса зависимостей коэффициента диффузии от времени.
Решение однородного уравнения (5) при условиях (2) и (6) определяется выражением
Mx’t] = 7W) L тя sh2mdy’ (8)
где введено обозначение I(t) = f j D(s)ds.
Если начальное значение искомой функции является постоянным: щ(х) «о, где «о — число, то из (8) можно получить решение:
где егГ(^) = [ц е 3/2 с1у — функция ошибок.
Решение однородного уравнения (5) при условиях (3) и (7) определяется выражением:
где введено обозначение AI(t, т) = f* D(s)ds = I(t) — /(т).
Решение неоднородного уравнения (1) при однородных условиях (6) и (7) определяется выражением
, . 1 /“* e-A(í_T) f°° — *2+у2 ху , ,
= 7mT)i fiv’T)e Wr)sh¿my)dydT- (11)
Для существования такого решения функция f(x,t) должна быть такой, чтобы несобственный интеграл в (11) сходился.
Если неоднородный член уравнения (1) не зависит от пространственной координаты, т. е. / = f(t), то внутренний интеграл в (11) вычисляется и получается выражение
«30M)=Í Пт)-кшегІ^хш,г))іт- (12)
Подставив (8), (10) и (11) в (4), получим общий вид решения первой начально-краевой задачи (1)-(3).
Решения начально-краевых задач для однородного уравнения (5) при условиях (2) и (6) и для неоднородного уравнения (1) при однородных условиях (6) и (7) можно получить методом функции Грина.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция Gi(x,y,t, I(t)) называется функцией Грина первой начально-краевой задачи (1)—(3), если она удовлетворяет следующим условиям:
1) функция Gi(x,y,t,I(t)) является непрерывной по переменным ж и у всюду при ж > 0, у > 0, t > 0, может быть за исключением точки ж = у: I = 0;
2) функция Gi(ж, у, t, I(t)) удовлетворяет по переменным ж и t однородному уравнению (5) всюду за исключением точки ж = у. I = 0. т. е.
3) функция Gi(x, у, t, I(t)) удовлетворяет однородному краевому условию
1-го рода (6) по переменной ж, т.е.
Очевидно, что функция Грина, удовлетворяющая требованиям данного
определения, может быть найдена и записана в виде
Видно также, что данная функция Грина удовлетворяет всюду при ж > О, у > 0, t > 0 свойству симметрии по первой паре аргументов:
Gi(x, у, t, I(t)) = Gi(y, ж, t,
С помощью функции Грина (13) решения (8) и (11) могут быть записаны в виде традиционных формул (интегралов) Пуассона соответственно:
u3(x,t)= / f(y,r)Gi(x,y,t — t, AI (t, r))dydr. (15)
Рассмотрим некоторые свойства формулы Пуассона (14), которые сформулируем в виде следующих теорем.
Теорема 1. Если начальная функция ограниченна всюду на полуоси ж 6 3?+ |«о(ж)| 0 — некоторая постоянная, то функция (14) также является ограниченной Уж > 0 и t > 0г причем справедлива оценка:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Преобразуем функцию Грина (13) к виду:
Используя это выражение, оценим модуль интеграла (14):
\ui(x, i)| ^ М / |Gi(a;, у, t, /(i))| dy ^
e-At ( рос (x_y)2 ^ рос (x+y)2
0 и t > 0, так как по условию постановки задачи А> 0 и I(t) = fg D(s)ds ^ 0 Vi 6 3?+ в силу наложенных на функцию D(t) требований. Теорема доказана.
Теорема 2. Если начальная функция щ(х) 6 С(3?+) и ограничена, то формула Пуассона (14) представляет собой при х > 0 и t > 0 непрерывное решение однородного уравнения (5), при t = 0 удовлетворяет начальному условию (2) и при х = 0 удовлетворяет однородному краевому условию 1-го рода (6).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что формула Пуассона (14) удовлетворяет однородному уравнению (5) при ж > 0 и t > 0. Для этого достаточно показать, что производные от интеграла (14) можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. Для возможности дифференцирования под знаком интеграла при бесконечных пределах достаточно убедиться в равномерной сходимости интеграла, полученного после дифференцирования под знаком интеграла.
Рассмотрим, например, производную
При нахождении других производных будет видно, что после дифференцирования под знаком интеграла возникают множители |ж — у\ и (ж + у) в положительной степени и множитель I(t) в некоторой степени, который выносится из-под знака интеграла. Таким образом, дифференцируя (14) несколько раз по ж и t, получим сумму интегралов вида
g -At roc (х-у)2 e-At roc (х-у)2
щ(у)\х-у\те 4/(t) dy, J^ щ(у)(х + у)те 4/(t) dy.
Сделав в первом интеграле замену £ = , а во втором — £ = ,
нетрудно убедится, что подынтегральные функции в них мажорируются функцией вида М |£|та е-^ , которая интегрируема на всей числовой оси. Следовательно, условие равномерной сходимости интеграла, полученного после дифференцирования под знаком интеграла, выполнено. Поэтому интеграл Пуассона (14) является непрерывной функцией и имеет производные любого порядка по ж и t при ж > 0 и t > 0.
Так как по своему определению находящаяся под знаком интеграла функция Грина (13) удовлетворяет однородному уравнению (5) при ж > 0 и t > 0, то и интеграл Пуассона (14) удовлетворяет этому уравнению.
Покажем сначала, что интеграл Пуассона (14) удовлетворяет начальному условию (2), то есть щ(х,і) —>• «о(жо) ПРИ ^