Функция грина для уравнения гельмгольца

Лекция 14. Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных

15.1. Функция Грина для уравнения Гельмгольца. Начнём с записи уравнения Даламбера в виде

(15.1)

В простейшем и в то же время весьма важном случае функция , которая выражает «вынуждающую силу», имеет характер гармонических колебаний: . Такой же вид имеет при этом и решение: Используя метод комплексных амплитуд, т. е. внося в (15.1) и получаем неоднородное уравнение Гельмгольца относительно :

, (15.2)

где . Подобная операция уже обсуждалась в п. 12.2. В электродинамике встречаются уравнения Гельмгольца с комплексным k; подчеркивая это введением символа и ограничиваясь пока скалярной формой, запишем:

(15.2а)

Решение неоднородного уравнения Гельмгольца будем искать тем же методом, который был применен в п. 9 к уравнению Пуассона (9.1). При этом понадобится функция Грина, т. е. в данном случае решение уравнения

(15.3)

Интересующая нас функция Грина имеет вид:

(15.4)

Прежде чем двигаться дальше, проверим, что формула (15.4), действительно, выражает решение уравнения (15.3). Для этого достаточно убедиться, что является дельта-функцией, согласно её определению.

Непосредственное дифференцирование показывает, что

(15.5)

Далее, возьмём объем V, содержащий начало координат, и выделим сферу ΔV с центром в нём (т. е. при r = 0), имеющую радиус ρ. Ввиду (15.5)

причём в силу теоремы Остроградского-Гаусса

где ΔS — поверхность сферы ΔV (r = ρ на ΔS). При ρ → 0 второе слагаемое исчезает (ΔV = 0(ρ 3 )), а первое даёт:

(15.6)

Исследуемая функция, как видно, является дельта-функцией δ(r), а при замене r → | | становится дельта-функцией δ( ). Поэтому формула (15.4) подтверждена. Здесь же отметим, что, как и в п. 9.1,

, (15.7)

т. е. функция Грина симметрична относительно обоих аргументов.

15.2. Выражение решения неоднородного уравнения Гельмгольца.

Будем искать общий вид решения неоднородного уравнения Гельмгольца (15.2). С этой целью выполним в (16.2) умножение на , а в (15.3) — на и_т ; произведём вычитание левых и правых частей и интегрирование полученных выражений как функций r по V.

В результате получим:

Выполним, далее, следующие преобразования (ср. п 9.2):

а) объёмный интеграл слева заменим поверхностным при помощи теоремы Грина (5.14);

б) во втором слагаемом справа произведем интегрирование по формуле (8.7), что даёт ;

в) произведём замену обозначений . Ввиду (15.7) это не распространяется на функцию Грина.

В итоге находим общий вид решения уравнения (15.2) в следующей форме:

(15.8)

(обозначения здесь те же, что и в п. 9.2; заметим, что равенства (15.8) и (9.6) идентичны по форме).

Внося в (15.8) выражение функции Грина (15.4), получаем:

(15.9)

Собственно говоря, как видно из (15.8) и (15.9), для нахождения решения в некоторой области V надо располагать сведениями о его поведении на внешней границе S: в поверхностный интеграл входят функции и

Для дальнейшего наиболее интересен случай, когда решение уравнения ищется во всем безграничном пространстве, в то время как вынуждающая сила отлична от нуля только в некоторой ограниченной области. Граница S области V при этом относится в бесконечность. Пусть рассматриваемые решения обладают таким свойством, что поверхностный интеграл в (15.9) исчезает (необходимые уточнения будут сделаны в п. 4). Тогда решение выражается следующей весьма важной формулой:

. (15.10)

Интегрирование здесь фактически распространяется только на область, в которой .

Разумеется, все полученные результаты сохраняют формальный смысл и при комплексном k; заменив k на сразу же из (15.10) получаем решение уравнения (15.2а). Наконец, взяв векторное уравнение Гельмгольца

(15.11)

и рассматривая отдельно его проекции на оси декартовой системы координат (как это делалось в п.9.4 с векторным уравнением Пуассона), находим при помощи (15.10) его решение в виде:

. (15.12)

15.3. Выражение решения уравнения Даламбера. Перейдём к уравнению Даламбера (15.1). При произвольной зависимости от времени решение и вынуждающую силу можно представить в виде интегралов Фурье (12.25):

(15.13)

Умножим все члены уравнения (15.1) на и проинтегрируем по t в пределах от -∞ до ∞.

(15.14)

(15.15)

Что касается второго члена (15.1), содержащего дифференцирование по t, то соответствующий интеграл придется преобразовать путём двукратного интегрирования по частям:

Полагая, что при t = ± ∞ решение и его производная по времени равны нулю и обозначая по-прежнему k = ω/υ, находим:

(15.16)

И, наконец, сопоставляя (15.14) — (15.16), на основании (15.1) получаем относительно спектральной плотности следующее неоднородное уравнение Гельмгольца:

, (15.17)

по форме совпадающее с (15.2).

Решение уравнения (15.17), таким образом, можно сразу же написать на основании формулы (15.10):

, (15.18)

Чтобы построить решение уравнения Даламбера (15.1), составим первый из интегралов Фурье (15.13).

Умножая левую и правую части (15.18) на е jωt и интегрируя по ω от -∞ до ∞, имеем:

Действительно, это прямое следствие второй формулы (15.13), где t заменено на . Итак, окончательно:

. (15.19)

Решение уравнения Даламбера получено. Попробуем истолковать его и привлечём для этой цели решение (9.8) уравнения Пуассона (9.1); а также однородное волновое уравнение (7.11), различные решения которого рассматривались в п. 13. Там было показано, что υ имеет смысл фазовой скоро­сти распространяющейся волны. Предположим, что υ ® ∞.

Мгновенное распространение фактически, означает исчезновение волнового процесса, и действительно, уравнение Даламбера (15.1) при этом переходит в уравнение Пуассона (9.1), а решение (15.19) — в (9.8).

Решение (15.19) выражает волновой процесс, возбуждаемый в пространстве источниками, расположенными в той области, где f ® 0. Действие источника в точке Р(r’) не передаётся в точку наблюдения М(r) мгновенно, оно запаздывает на время необходимое для распространения волнового процесса; это и отражает полученное решение (15.19).

Результат (15.19) позволяет записать также решение векторного уравнения Даламбера:

, (15.20)

поскольку при проецировании на оси декартовой системы координат оно сводится к трём скалярным (ср. п. 9.4):

(15.21)

Лекция 14. Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных

17.1. Декартовы координаты. Однородное уравнение Гельмгольца будет встречаться в дальнейшем при постановке разных граничных задач. Случай декартовых координат является простейшим, и поэтому именно с него начинается изложение. Уравнение Гельмгольца

(17.1)

при использовании декартовой системы координат (х, у, z) принимает вид:

(17.2)

Рассмотрим получение его решений методом разделения переменных (п.11.1).

Ожидаемое решение и = и(х, у, z) представляется в виде произведения

где Х(х), Y(y) и Z(z) — функции координат х, у, и z соответственно. Подставим представление (17.3) в уравнение (17.2) и разделим все члены на u = XYZ. Это дает:

. (17.4)

Как видно, первые три члена — функции разных аргументов, а третий постоянен. Это дает основание (§11 п. 1) положить каждую из указанных функций константе; назвав введённые константы ,получаем три обыкновенных дифференциальных уравнения:

, причём (17.5)

Это уже много раз встречавшиеся уравнения типа (7.7) с решениями (7.8). Таким образом, сразу можно выразить решение (17.3) уравнения (17.2):

(17.6)

Данная символическая запись означает, что каждый из сомножителей решения (X, Y и Z) можно брать как в форме верхней строчки, так и в форме нижней. Очевидно, что записанная функция (17.6) выражает решение уравнения (17.2) при любых постоянных коэффициентах А, В, . Т, W и любых «постоянных разделения» , подчинённых равенству в нижней строке.

В случае двумерного уравнения Гельмгольца

(17.7)

записываемого в декартовых координатах как

(17.8)

имеем:

(17.9)

17.2. Цилиндрические координаты.В цилиндрической системе координат (r, φ, z) согласно (6.17) уравнение (17.1) примет вид:

(17.10)

где U (r), W(φ) и Z(z) — функции координат r, φ и z соответственно. В результате подстановки (17.11) в (17.10) и деления на и = UWZ получаем:

(17.12)

Третий член есть функция только координаты z и, таким образом, независим от предыдущих. Это дает основание (§ 11 п. 1) положить его равным некоторой постоянной; последнюю обозначим — χ 2 _z. Оставшиеся слева члены в сумме также равны постоянной величине, а именно . Поэтому имеем следующие уравнения:

(17.13)

эквивалентные вместе первоначальному уравнению (17.12).

Далее произведём операцию разделения переменных в первом из уравнений (17.13), которое после умножения всех членов наr 2 принимает форму:

.

Второй член (функция φ) не зависит от первого и третьего (функций r). Поскольку сумма всех членов — нуль, введём, как делалось в п. 11, постоянные п 2 и — п 2 , которые в сумме равны нулю, и получим:

(17.14)

Легко убедиться, что в первой строчке (17.14) мы имеем не что иное, как уравнение Бесселя относительно U как функции аргумента χr. Действительно, после дифференцирования по r и умножения всех слагаемых на U/χ 2 имеем: (17.15)

Оно совпадает с уравнением (16.1) при замене х на χr.

Итак, объединяя результаты (17.13) и (17.14) с учётом (17.15), получаем совокупность следующих обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентную уравнению Гельмгольца (17.10):

(17.16)

Общие решения их известны, причём каждое можно записать в двух формах: с использованием функций Бесселя и Неймана или Ханкеля для первого уравнения согласно (16.6а, б) и с использованием функций тригонометрических или экспоненциальных — для двух последних уравнений. Таким образом, находим следующее выражение и = UWZ:

17.17

Форма записи имеет тот же смысл, что и в (17.6); аналогично также значение входящих в выражение постоянных.

Обычно область, в которой ищется решение, не ограничена по углу φ. В этом случае М(r, φ, z) и М(r, φ + 2π, z) — это одна и та же точка наблюдения, а следовательно, u (r, φ, z) и и (r, φ + 2π, z) выражают решение в одной и той же точке, т. е. должно быть:

, (17.18)

что возможно только при целом п (или равном нулю): п = 0, ±1, ±2, .

При отсутствии зависимости по z уравнение Гельмгольца (17.1) записывается в форме (17.7), т. е. в цилиндрических координатах:

. (17.19)

Его решение имеет вид:

(17.20)

Выбор того или иного варианта решения определяется граничными условиями конкретной электродинамической задачи.

Дата добавления: 2014-12-18 ; просмотров: 123 | Нарушение авторских прав