Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Вход Регистрация
Donate FAQ Правила Поиск
Коэффициент прохождения и функция Грина уравнения Шрёдингера
На страницу 1 , 2 След.
Печатать страницу | Печатать всю тему
Пред. тема | След. тема
tech
Интересует ответ на такой вопрос: можно ли достать коэффициент прохождения через барьер из функции Грина для стационарного уравнения Шрёдингера? Потенциал затухает на .
Более чёткая постановка задачи: Дано: гладкий потенциальный барьер, симметричный относительно точки , ; известна также «энергетическая» функция Грина Найти: коэффициент прохождения через барьер.
Вид функции Грина в данной задаче будет следущий:
Суммирование ведётся по двум линейно независимым решениям. В качестве таких решений можно взять волну, налетающую на барьер слева и проходящую направо, и волну, налетающую справа.
Если отнормировать эти решения на , то они будут выглядеть так (на ):
Таким образом,
А вот что дальше делать, непонятно. Например, вот здесь http://sites.ifi.unicamp.br/aguiar/files/2013/12/p2567-A48.pdf функция Грина считается для прямоугольного барьера, и насколько я понял, для её подсчёта сначала сшиваются волновые функции в разных областях, а затем используется явный вид коэффициентов прохождения/отражения. То есть это не то, что нужно мне: мне бы хотелось узнать, возможно ли не производя сшивок в каждом конкретном случае, а зная только функцию Грина для данного потенциала, найти коэффициент прохождения?
amon
Заслуженный участник
04/09/14 4543 ФТИ им. Иоффе СПб
Последний раз редактировалось amon 14.06.2016, 16:30, всего редактировалось 1 раз.
tech
Kamaz
tech
Прошу прощения за долгое отсутствие – сдавал экзамен.
Я хочу понять, откуда берется коэффициент прохождения в этой статье (здесь ссылка на скачивание pdf) http://thirdworld.nl/path-integral-approach-to-resonant-tunneling (сразу после формулы : «From the property of the Green’s function, the transmission coefficient is given as. «)
Я внимательно изучил рекомендованное amon ‘ом и Kamaz ‘ом, но тем не менее, пока что это не помогло понять, почему при экспоненте в функции Грина стоит коэффициент прохождения.
Буду очень благодарен за пояснение.
Kamaz
tech
Последний раз редактировалось tech 21.06.2016, 09:52, всего редактировалось 1 раз.
То есть здесь используется тот факт, что функция Грина является решением уравнения Шредингера и когда автор получает функцию Грина в виде плоской волны, он сразу говорит, что при экспоненте стоит коэффициент прохождения (потому что мы знаем, как должно выглядеть решение УШ)?
А до того, как был явно выписан вид функции Грина, можно было понять, что получится обычная плоская волна? Ведь функция Грина не единственна.
А можно ли в самом общем случае (для любого затухающего на бесконечностях потенциала) как-то показать, что функция Грина стационарного УШ, получаемая преобразованием Фурье пропагатора, будет просто плоской волной с множителем-коэффициентом прохождения (то есть просто решением задачи рассеяния в )?
Kamaz
Последний раз редактировалось Kamaz 21.06.2016, 10:50, всего редактировалось 1 раз.
на бесконечности потенциал убывает в ноль, значит и решение должно быть плоской волной (или сферической в 3D). Посмотрите ЛЛ т3 — там коэффицент прохождения находится через точное решение УШ для барьеров определенной формы, для которых находится точное решение. Посмотрите как ЛЛ ищут коэфф. прохождения в этом случае. Если я првильно пмню, то именно так — вычисляют асимптотику решения на бесконечности и — вуаля — множитель перед экспонентой сразу дает прохождение
— Вт июн 21, 2016 14:50:00 —
ЛЛт3 задачи к параграфу коэффициент прохождения
tech
Kamaz
Последний раз редактировалось Kamaz 21.06.2016, 13:08, всего редактировалось 1 раз.
да причем тут сшивка — есть точное решение — волновая функция — от минус бесконечности до плюс бесконечности с потенциальным барьером точно решаемым. Без всяких сшивок. Функция Грина фактически и есть волновая функция — вторая переменная там просто параметр.
— Вт июн 21, 2016 17:08:05 —
еще раз — задача 4 к праграфу коэффициент прохождения ЛЛ т3 стр105 издание 1974г
tech
Последний раз редактировалось tech 21.06.2016, 15:08, всего редактировалось 1 раз.
Я посмотрел ЛЛ3; ход действий понятен: находим строгое решение, смотрим асимптотики – они имеют вид падающей, отраженной и прошедшей волн (на разных бесконечностях) – дело сделано.
А сложности у меня вот здесь:
В этом месте хотелось бы подробностей и разъяснений. Вот уравнение функции Грина:
Общее решение этого уравнения = частное решение неоднородного + общее решение однородного.
Первое, что непонятно, – каковы граничные условия для функции Грина?
Далее, почему когда мы подбираем константы так, чтобы удовлетворить этим гран. условиям, мы получаем решение однородного уравнения с гран. условиями – плоскими волнами?
Munin
Заслуженный участник
Kamaz
Последний раз редактировалось Kamaz 21.06.2016, 16:57, всего редактировалось 2 раз(а).
Munin Ну как-бэ вроде бы когда решаем задачу с прямоугольным барьером тоже берем стационарные решения слева, вниутри и справа от барьера. Ну и вроде как задача стационарная — можно фурьировать по времени, не?
По сабжу. Гм, вначале вы писали что фГр задачи вы знаете. Выразите через нее вф а дальше по ЛЛ. Не получится так?
— Вт июн 21, 2016 20:50:27 —
последнее предложение — к топикстартеру
— Вт июн 21, 2016 20:57:01 —
Помню будучи студеном решал задачу о к.прохождения волны в бесконечной одномерной цепочке атомов с одним атомом бОльшей массы. Решал двумя способами — через сшивку функций и через фГрина. И ответы сошлись. Оценку получил и забыл. Никак не могу вспомнить как же я делал тогда. эх! старость — не радость)))
tech
Последний раз редактировалось tech 21.06.2016, 17:09, всего редактировалось 2 раз(а).
Munin Моя конечная цель – добыть коэффициент прохождения методом функционального интегрирования в квазиклассическом приближении. С помощью функционального интеграла можно посчитать пропагатор в квазиклассическом приближении, далее можно сделать его преобразование Фурье и получить функцию Грина стационарного УШ , все мои заморочки связаны с тем, как добыть из неё коэффициент прохождения.
Опираюсь я вот на эту статью:
Я хочу понять, откуда берется коэффициент прохождения в этой статье (здесь ссылка на скачивание pdf) http://thirdworld.nl/path-integral-appr . -tunneling
(сразу после формулы : «From the property of the Green’s function, the transmission coefficient is given as. «)
Здесь коэффициент прохождения сидит прямо в функции Грина (причём сама функция Грина представляет собой просто плоскую волну, хотя в общем случае она вроде должна быть составлена из всех решений стационарного УШ сложным образом), и я пытаюсь понять, почему в данном случае так удачно выходит.
В частности, я пока не нашел ответы на эти вопросы:
Вот уравнение функции Грина:
Общее решение этого уравнения = частное решение неоднородного + общее решение однородного.
Первое, что непонятно, – каковы граничные условия для функции Грина?
Далее, почему когда мы подбираем константы так, чтобы удовлетворить этим гран. условиям, мы получаем решение однородного уравнения с гран. условиями – плоскими волнами?
Ещё вопрос: что известно про функцию Грина в квазиклассическом приближении (это та, которая получается преобразованием Фурье из пропагатора , посчитанного в квазиклассике)? Может быть, у неё есть какие-то примечательные свойства?
Munin
Заслуженный участник
Последний раз редактировалось Munin 21.06.2016, 17:20, всего редактировалось 1 раз.
Kamaz Со стационарными решениями я знаю через сшивку, но через Грина впервые слышу.
Страница 1 из 2
[ Сообщений: 16 ]
На страницу 1 , 2 След.
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей