Вероятностное представление решений волновых уравнений и функция Грина Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кадырова Виктория Дамировна, Насыров Фарит Сагитович, Сучкова Дилара Айратовна
Построено вероятностное представление решений задачи Коши для уравнений колебания струны, колебания мембраны и колебательных процессов в сплошных средах (звуковые волны). Основным достижением является применение простой техники равномерно распределенных случайных величин . Решения представлены в виде математических ожиданий функций от равномерно распределенных случайных величин . С помощью найденной в явном виде функции Грина для уравнения колебания ограниченной струны получены вероятностные представления решений краевых задач.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кадырова Виктория Дамировна, Насыров Фарит Сагитович, Сучкова Дилара Айратовна
A probabilityrepresentation of solutions of wave equations, and the function of Greene
A probability representation of the solutions of the Cauchy problem for the equations of oscillation of a string, vibration of a membrane and oscillatory processes in continuous media (sound waves) is constructed. The main achievement is the use of a simple technique of uniformly distributed random variables . Solutions are presented in the form of mathematical expectations of functions from uniformly distributed random variables . With the help of the explicit Green function for the oscillation equation of a bounded string, probability representations of solutions of boundary value problems are obtained.
Текст научной работы на тему «Вероятностное представление решений волновых уравнений и функция Грина»
ISSN 1992-6502 (Print)
2017. Т. 21, № 4 (78).С. 129-135
ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru
Вероятностное представление решений волновых уравнений и функция Грина
в. д. Кадырова , ф. с. Насыров , д. а. Сучкова
1 566824@rambler.ru, 2 farsagit@yandex.ru, 3dil9ara@rambler.ru
ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет» (УГАТУ)
Поступила в редакцию 04.10.2017
Аннотация. Построено вероятностное представление решений задачи Коши для уравнений колебания струны, колебания мембраны и колебательных процессов в сплошных средах (звуковые волны). Основным достижением является применение простой техники равномерно распределенных случайных величин. Решения представлены в виде математических ожиданий функций от равномерно распределенных случайных величин. С помощью найденной в явном виде функции Грина для уравнения колебания ограниченной струны получены вероятностные представления решений краевых задач.
Ключевые слова: волновое уравнение; равномерно распределенные случайные величины; функция Грина; вероятностные представления решений.
В стохастическом исчислении хорошо известна связь [1] между решениями стохастических дифференциальных уравнений Ито (в дальнейшем: СДУ) и параболическими и эллиптическими уравнениями: например, в «хороших случаях» решение СДУ служит моделью эволюции диффундирующей частицы, в то время как среднее в каждый момент времени по всем частицам, то есть математическое ожидание, является решением параболического уравнения, описывающего явление диффузии или распространения тепла. Следствием этого факта является, например, метод Монте-Карло [2], позволяющий находить из этих соображений приближенные решения уравнений параболического и эллиптического типов.
В статье [3] была сделана попытка распространения этой теории на случай волновых уравнений и получено вероятностные представление решений первой краевой задачи для уравнения колебания ограниченной струны. Однако построенное в этой ра-
боте вероятностное представление решений первой краевой задачи дано в терминах обобщенных случайных процессов, которые представляют собой достаточно сложную математическую конструкцию, а полученное представление не допускает никакой физической интерпретации.
В настоящей работе с применением весьма простого математического аппарата получено вероятностное представление решений волновых уравнений, как с начальными, так и с краевыми условиями. Существенно, что оказалось достаточно применения очень простой техники равномерно распределенных случайных величин вместо обобщенного случайного процесса. Кроме того, нам понадобился явный вид функции Грина для уравнения колебаний ограниченной струны, который обычно приводится в виде ряда.
ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения
и„ (у, г) = а 2Ыу (у, г), г >0, у е Я, (1) и( у,0) = Ф( у), и (у,0) = у). (2)
В дальнейшем всюду предполагается, что все начальные и краевые условия являются достаточно гладкими функциями, поэтому решения рассмотренных ниже уравнений понимаются в классическом смысле.
Пусть на вероятностном пространстве (О, ¥, Р) задана случайная величина N = N(0), равномерно распределенная на отрезке [-а, а], где а — параметр волнового уравнения.
Предложение 1. Решение задачи Коши (1)-(2) представляется в виде математического ожидания
и( у, г) = £[ф( у + N )аг) + + гу( у + N1 )] =
= г—Е[ф( у + N1) + гу( у + N1)], дг
где sign(v) есть знак числа V. Доказательство. Так как
Е[ф(у + sign(N)аг)] = ^[ф(у + аг) + ф(у — аг)],