Функция полных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением

Математическое моделирование

Автор: Пользователь скрыл имя, 07 Декабря 2014 в 03:33, курс лекций

Краткое описание

Зависимость между объемом произведенной продукции и минимально необходимыми затратами ее производства называется функцией затрат (издержек). Когда объем производства превышает единицу, тогда различают общие затраты С (Q) (cost) — на весь выпуск, средние затратыАС(Q) (averagecost), АС(Q) = С(Q)/Q – на единицу продукции и предельные затратыMC(Q) (marginalcost), MC(Q) = C¢(Q) как приращение общих затрат при увеличении выпуска на единицу.

Файлы: 1 файл

Документ Microsoft Office Word (6).docx

Задание 1. Составить математическую модель однопродуктовой фирмы и сформулировать задачу принятия решения. Исходные данные (функции полных затрат фирмы и спроса на произведенный фирмой продукт) взять из приложения 1.

Построить графики полных затрат, предельных и средних затрат фирмы.

Построить графики дохода, предельного и среднего дохода фирмы.

Определить объем безубыточного производства. Построить графики полных затрат, дохода и прибыли фирмы.

Определить объем оптимального выпуска. Построить графики прибыли, предельных затрат и предельного дохода фирмы

Выбрать одино из исходных значений

Заданы функция полных издержек однопродуктовой фирмы C=C(Q) и функция спроса на производимый фирмой продукт P=P(Q):

1) C(Q) =Q2 +6Q +10,P(Q) = 90 – 5Q;

2) C(Q) =Q2 +4Q +15,P(Q) = 104 – 4Q;

3) C(Q) = Q2 + Q +7, P(Q) = 401 – 3Q ;

4) C(Q) = Q2 +4 Q +10, P(Q) = 100 – 2Q ;

5) C(Q) = Q2 +2 Q +16, P(Q) = 300 – 3Q ;

6) C(Q) =2 Q2 +12 Q +30, P(Q) = 108 – 10Q ;

7) C(Q) =2 Q2 +8 Q +100, P(Q) = 108 – 8Q ;

8) C(Q) =2Q2 +2 Q +15, P(Q) = 402 – 8Q ;

9) C(Q) =4 Q2 +10 Q +40, P(Q) = 100 – 5Q ;

10) C(Q) =2 Q2 +4 Q +30, P(Q) = 298 – 5Q.

2.1.Методические указания по выполнению заданий 1 и 2

Модель однопродуктовой фирмы

Однопродуктовая фирма производит Q(quantity) единиц продукции.

Выручка фирмы от продаж Q единиц продукции называется доходом фирмы R(Q) (return, revenue),R(Q) = P(Q)×Q, где Р(Q) — зависимостьценыР (price) от объема продукции. Аналогично вводится средний доходАR(Q) = R(Q)/Q и предельный доходМR(Q) =R¢(Q).

ПрибыльI (input) есть разность между выручкой и полными издержками на производство и реализацию продукции: I(Q) = R(Q) – C(Q). Фирма стремится получать максимум прибыли. Условие максимума прибыли (необходимое):

I¢(Q) = R¢(Q) – C¢(Q) = 0 или MR(Q) = MC(Q).

Функция предложения по ценеQS(P) (supply) – зависимость между ценой блага и объемом его предложения. При неизменных ценах (в условиях совершенной конкуренции) прибыль фирмы достигает максимума, когда MC(Q) = P. Это уравнение определяет объем предложения фирмы на рынке благ.

Функция спроса по цене QD(P) (demand) – зависимость между ценой блага и объемом его спроса.

Пример.Функция полных издержек некоторой фирмы задана уравнением

С(Q) =2Q+1000(тыс. д. ед.), где Q — объем производства (число единиц продукции). При этом цена производимой продукции на рынке равна 4 тыс. д. ед. за ед. продукции.

При каких значениях объема производства прибыль фирмы положительна?

Решение.прибыль фирмы определяется как доход (выручка от продаж) минус полные издержки производства. Поэтому I (Q) =4Q – (2Q +1000). Условие I (Q)> 0, т.е. 2Q– 1000 >0 приводит к решению Q> 500. Итак, при Q 500 прибыль положительна (выручка от продажи превосходит издержки производства). При Q = 500 фирма прибыли получать не будет, но и не будет нести убытки.

Пример.Функция спроса имеет вид Q(P) = 2100 – 6×P.

1) вывести уравнение функции дохода.

2) построить графики этой функции и функций среднего Y =AR(Q) и предельного дохода

Решение.Поскольку максимальная цена, при которой может быть продан товар в количестве Q, определяется при помощи функции спроса Q =Q(P), имеем

Р(Q) =(2100 – Q)/6 =350 – Q/6.

Тогда доход (выручка от продаж) определяется равенством R(Q) =P×Q=(350 – Q/6)×Q.

график функции R =R(Q) в рассматриваемой задаче представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Корнями функции R =R(Q) являются: Q1 = 0 и Q2 = 2100. Максимум функции достигается при Qв =1050, причем Rmax= 175×1050 = 183750.

График линии дохода. Графики линий среднего и предельного дохода.

Для среднего и предельного доходов в случае линейной функции спроса (в этом случае P(Q) =a–bQ и R(Q) =aQ – bQ2) получаем: AR = P(Q) = a– bQ;MR= R'(Q)=a– 2bQ.

Последнее означает, что линии предельного и среднего дохода отсекают на оси ординат равные отрезки длиной «а», а на оси абсцисс отрезок, отсекаемый линией средних издержек, вдвое превосходит отрезок, отсекаемый линией предельных издержек. В данной задаче AR(Q) =350 – Q/6, MR(Q) =350 – Q/3; графики этих функций приведены на рисунке.

Ответ: R(Q) = (2100 – Q)×/6.

Пример. Кривая «затраты — выпуск» (функция полных издержек) имеет вид

C(Q)= Q2 + 4Q+15. Построить графики функций полных издержекY = C(Q), предельных издержек Y = MC(Q) и средних издержекY = AC(Q).

Решение. График функции полных издержек C(Q)= Q2 + 4Q+15 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, вершина имеет координаты (–2; 11), точек пересечения с осью OQ нет, ось OY парабола пересекает в точке с координатами (0; 15). Обратите внимание, что C(0) =15 – это значение фиксированных издержек.

График функции предельных издержек MC(Q) = = 2Q+ 4 представляет собой прямую проходящую через точки с координатами (0; 4) и (–2; 0). Обратите внимание, что координата второй точки Q= – 2 является также координатой вершины Qв = – 2 графика функции полных издержек.

График функции средних издержек AC(Q) =C(Q) /Q =Q + 4 + 15/Q представляет собой гиперболу с наклонной асимптотой Y=Q + 4 и вертикальной асимптотой Q = 0. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях. Так как A = 1 – 15 /Q2 = 0 при

Q =± , то точка с координатами ( ; 4+2 ) является точкой минимума, а точка с координатами (– ; 4– 2 ) является точкой максимума. Графики всех трех функций представлены на рисунке. Обратите внимание на то, что графики построены только для неотрицательных значений переменной Q.

Так же стоит отметить, что графики функций предельных и средних издержек всегда пересекаются в точки минимума последнего, т.е., для нашей задачи, в точке с координатами ( ; 4+2 ).

Пример. Заданы функция дохода R(Q) =40Q– 4Q2и функция полных издержек фирмы С(Q) =2Q2 + 4Q + 10.

Требуется определить, при каком объеме выпуска продукции достигается максимум прибыли.

Решение.Прибыль фирмы определяется как разность между доходом и полными издержками: I(Q) = R(Q)-C(Q), и из необходимого условия экстремума I'(Q)= 0 находим оптимальный выпуск. Так как функция прибыли определяется соотношением I(Q) =40Q-4Q2-2Q2-4Q-10 = =-6Q2+36Q-10, то графиком функции прибыли является парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение прибыли достигается при Qв =3 и равно I(3) = 36 3 – 6×32 –10 = 44.

Задание 5. Составить математическую модель двухпродуктовой фирмы и сформулировать задачу принятия решения. Исходные данные (функция полных затрат фирмы и функции спроса на произведенные фирмой продукты) взять из приложения 5. Определить оптимальный объем выпуска, то есть объемы продукции, при которых достигается максимальная прибыль. Для полученных объемов вычислить издержки фирмы.

На плоскости Q1OQ2 построить линию постоянных издержек C(Q1,Q2) =C0 и множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме C= C0 (C(Q1,Q2) £C0) (значение C0 приведено в приложении 5).

Определить возможность выпуска оптимального объема продукции при заданном ограничении на издержкиC= C0.

Определить, при каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли, если полные издержки не превосходят C= C0 .

Выбрать одино из исходных значений

Заданы функция полных издержек двухпродуктовой формы C=C(Q1,Q2),где Q1 и Q2– объемы выпуска товаров первого и второго видов соответственно, функции спроса

P1 =P1(Q1), P2 =P2(Q2) на эти товары и ограничение на полные издержки C(Q1,Q2) £C0:

1) C (Q1,Q2) = Q12 +Q22 +200, P1(Q1) = 30, P2(Q2) =50, C0 =800;

2) C (Q1,Q2) = 2 Q12 +4 Q22 +150, P1(Q1) = 20, P2(Q2) =40, C0 =200;

3) C (Q1,Q2) = 3 Q12 + 5 Q22 +250, P1(Q1) = 60, P2(Q2) =80, C0 =800;

4) C (Q1,Q2) = Q12 + 6 Q22 +300, P1(Q1) = 80, P2(Q2) =144, C0 =2000;

5) C (Q1,Q2) = Q12 +Q22 +200, P1(Q1) = 60, P2(Q2) =50, C0 =1500;

6) C (Q1,Q2) = Q1+2Q2+2, P1(Q1) =15 — Q1, P2(Q2) =40 -Q2, C0 =72;

7) C (Q1,Q2) = 2Q1+2Q2+4, P1(Q1) =10 — Q1, P2(Q2) =8 -Q2, C0 =16;

8) C (Q1,Q2) = 4Q1+2Q2+10, P1(Q1) =30 — Q1, P2(Q2) =40 -Q2, C0 =78;

9) C (Q1,Q2) = 3Q1+Q2+5, P1(Q1) =9 — Q1, P2(Q2) =11 -Q2, C0 =16;

10) C (Q1,Q2) = 4Q1+4Q2+10, P1(Q1) =24 — Q1, P2(Q2) =20 -Q2, C0 =74.

2.3. Методические указания по выполнению задания 5

Модель двухпродуктовой фирмы

Двухпродуктовая фирма производит q1 единиц товара А и q2 единиц товара В. С(Q1,q2) – совокупные издержки на производство этих товаров. Фирма реализует товар А по цене Р1= Р1(Q1), а товар В – по цене Р2 = Р2(Q2), получая от продаж доход

R(Q1,q2) = Р1(Q1)Q1+Р2(Q2)Q2. Если фирма максимизирует свою прибыль, равную

I(Q1,Q2) = R(Q1,q2) -C(Q1,Q2), то оптимальный выпуск товаров (Q1опт.;q2опт.) определяется системой уравнений: (необходимое условие экстремума функции I(Q1,Q2)). Для максимизации прибыли в точке оптимального выпуска (Q1опт.;q2опт.) должно выполняться достаточное условие экстремума функции прибыли I(Q1,Q2):

Множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме С(Q1,q2) = С0, определяется системой неравенств: С(Q1,q2) £С0, Q1 ³ 0, q2 ³ 0.

Если фирма максимизирует свою прибыль при ограниченных издержках С(Q1,q2) £С0, то оптимальный выпуск товаров (Q.1 опт;Q2 опт) определяется системой уравнений:

, что имеет геометрический смысл – точка оптимального выпуска (Q.1 опт;Q2 опт) лежит на линии постоянных издержек С(Q1,Q2) =С0, и в этой точке вектор gradR= коллинеаренвектору gradC= .

Пример. Функция полных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением С(Q1,Q2)= Q12 + 4Q22 + 100, где Q1 и Q2- объемы выпуска товаров вида А и В соответственно. На плоскости Q1OQ2 построить:

а) линию постоянных издержек, равных 1000 д. ед.;

б) множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме, равном 1000 д. ед.

Решение. 1) Линия постоянных издержек, равных 1000 д. ед., задается уравнением Q12+ 4Q22 + 100 = 1000, откуда следует, что на плоскости ХОY эта линия задает эллипс, каноническое уравнение которого имеет вид Q12/900+ Q22/225 = 1. При этом эллипс отсекает на осях ОQ1 и ОQ2отрезки, равные 30 ед. и 15 ед. соответственно.

2) Множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме 1000 д. ед., определяется неравенствами: Q12/900 +Q22/225 £ 1, 0 £Q1, 0 £Q2, и является криволинейным треугольником (первая четверть эллипса).

Пример. Функция полных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением

=Q12+ 4Q22 + 100, где Q1 и Q2- объемы выпуска товаров вида А и В соответственно. Цены этих товаров на рынке равны P1 = 40 д. ед. и Р2 = 64 д. ед. соответственно. Определить, при каких издержках достигается максимум прибыли фирмы.

Решение. Поскольку прибыль равна разности между доходом от продаж и полными издержками производства, то I(Q1,Q2) =P1Q1 + P2Q2 -C(Q1,Q2). В силу условия задачи имеем I(Q1,Q2) =40Q1 + 64Q2 -Q2- 4Q22 -100. Это выражение преобразуется к виду

I(Q1,Q2) = -(Q1-20)2 +400- 4(Q2-8)2 +256-100 = -(Q1-20)2-4(Q2-8)2 +556, откуда следует, что I £ 556. Максимальное значение прибыли I= 556 достигается при Q1 = 20 и Q2 = 8; издержки производства, соответствующие этим значениям объемов производства, составляют

С (20,8) = 400 + 4×64 + 100 = 756 (д. ед.).

Пример. Фирма производит товар двух видов в количествах Q1 и Q2. Функции полных издержек фирмы и спроса на каждый из этих товаров заданы в виде:

С(Q1,Q2) = 2Q1 + 4Q2 + 1, P1(Q1) = 20 -Q1, Р2(Q2) = 30 -Q2, где P1 и Р2 соответствующие цены. Определить, при каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли, если полные издержки не превосходят 61 д. ед.

Решение.Функция прибыли I(Q1,Q2) = (20-Q1)Q1+ (З0-Q2)Q2- 2Q1- — 4Q2-l = 249- (Q1-9)2- (Q2-13)2 ³ 249. Таким образом, максимум прибыли равен 249 д. ед. Однако объем производства Q1 = 9 и Q2 = 13 не достижим, поскольку соответствующие ему издержки производства составляют С(9;13)= 2×9 + 4×13 + 1 = 71 д. ед., что превышает 61 д. ед.

Поэтому решаем задачу на нахождение условного экстремума. Для этого составим функцию Лагранжа L(Q1,Q2) = 20Q1 -Q22 + 30Q2 -Q22 -l(2Q1 + 4Q2 + 1- 61), где l- множитель Лагранжа. Найдем ее критические точки, решая систему уравнений:

Откуда следует: Q1 = 8, Q2 = 11. При этом оптимальное значение прибыли равно 244 д. ед., издержки производства составляют

С (8,11) = 2×8 + 4×11 + 1= 61 (д. ед.), а доход от продаж R(8,11) = 12× 8 + 19×11 = 305 (д. ед.).

Графическая интерпретация полученного результата: так как линии уровня функции прибыли представляют собой концентрические окружности с центром в точке А(9; 13), то решение задачи достигается на линии С(Q1,Q2) = 2Q1 + 4Q2 + 1 = 61 в точке касания В(8; 11).

Ответ:Q1= 8 ед., Q2= 11ед.

Задание 8. Динамика реальной заработной платы wв классической макромодели определяется уравнением dw/dt=(Nd (w) –Ns (w))/a, где функции спроса Nd =Nd (w) и предложения Ns =Ns (w) рабочей силы приведены в приложении 8.

Пример 26

Фирма производит товар двух видов в количествах x и y. Функция полных издержек определена соотношением C(x, y)=2x+3y+100. Цены этих товаров на рынке равны P₁(x)=22-x и P₂(y)=27-y. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль на множестве производственных возможностей, ограниченном издержками производства в объеме C₀=130. Найти эту прибыль.

Решение.

Функция прибыли имеет вид:

Надо найти максимум этой функции для неотрицательных x и y, удовлетворяющих условию
C(x, y)£ C_0., т.е. в области, заданной неравенствами:

(На рис. эта область заштрихована).

1). Исследуем на экстремум функцию прибыли I(x, y).

Выделив полные квадраты по x и y , приведем функцию к виду:
I(x, y)=- (x-10) 2 — (y-12) 2 +144. Максимальная прибыль без учета ограничения C(x, y)£ C₀ достигается в т. Е(10; 12) и равна 144. Полные издержки при таких объемах выпуска больше чем C₀ , поэтому точка E не принадлежит множеству производственных возможностей.

2). Исследуем функцию прибыли I(x, y) на экстремум на границе множества производственных возможностей.
Для определения координат экстремальной точки составим функцию Лагранжа L ( x, y, λ )=I(x, y)+λ (C(x, y)- C₀ ) и приравняем нулю ее

частные производные. Получим систему уравнений .

Решив систему, найдем экстремальную точку D(6; 6). Подставим координаты этой точки в функцию прибыли, и найдем максимальную прибыль

I(6, 6)= -(6-10) 2 — (6-12) 2 + 144 = 92.

Максимум прибыли достигается на границе множества производственных возможностей в точке D. В этой точке линия уровня функции прибыли (окружность с центром в точке E ) касается изокосты C(x, y)=C₀ (отрезка АВ).

Ответ:I_max= I(6; 6) = 92.

Пример 27.1.Найти неопределенный интеграл .

Построить бюджетное множество

Математические модели экономических систем (вариант № 3, ГУУ)

Математические модели экономических систем (Вариант № 3)

Построить графики полных затрат, предельных и средних затрат фирмы.

Построить графики дохода, предельного и среднего дохода фирмы.

Определить объем безубыточного производства. Построить графики полных затрат, дохода и прибыли фирмы.

Определить объем оптимального выпуска. Построить графики прибыли, предельных затрат и предельного дохода фирмы.

Заданы функция полных издержек однопродуктовой фирмы C= C(Q) и функция спроса на производимый фирмой продукт P = P(Q)

3) C(Q)= Q2 + Q +7, P(Q)= 401 – 3Q;

Задание 3. Построить множество производственных возможностей фирмы, которое отражает производственные возможности фирмы использующей два вида ресурсов, если затраты на используемые ресурсы не могут превышать C0 д. ед. Цены на ресурсы и ограничение на издержки приведены в приложении 3.

Составить математическую модель фирмы, использующей два вида ресурсов для выпуска одного вида продукции. Определить максимально возможный объем выпуска для заданного ограничения на издержки. Производственная функция F(K,L) = Q приведены в приложении 3. Вычислить объемы используемых при этом ресурсов.

Вывести уравнения функций спроса на первый и второй ресурсы. Построить кривые, отражающие зависимость спроса на ресурсы от цен на них.

Заданы производственная функция Q=F(K,L) однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов; цены на ресурсы PK и PL и ограничение на издержки в объеме PK K+ PL L ? C0.

3) Q=10 K L1/2; PK= 4; PL= 5; C0= 30;

На плоскости Q1OQ2 построить линию постоянных издержек C(Q1,Q2)=C0 и множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме C=C0 (C(Q1,Q2)?C0) (значение C0 приведено в приложении 5).

Определить возможность выпуска оптимального объема продукции при заданном ограничении на издержки C=C0.

Заданы функция полных издержек двухпродуктовой формы, C= C(Q1,Q2), где Q1 и Q2– объемы выпуска товаров первого и второго видов соответственно, функции спроса P1= P1(Q1), P2= P2(Q2) на эти товары и ограничение на полные издержки C(Q1,Q2) ? C0.

3) C (Q1,Q2)= 3 Q12 + 5 Q22 +250, P1(Q1)=60, P2(Q2)=80, C0=800;

Задание 6. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более M д.ед. Цены на товары и ограничение на бюджет приведены в приложении 6.

Построить линии безразличия функции полезности U= U(X,Y) потребителя двух товаров. Функция полезности и значение полезности U(X,Y)=U0 приведены в приложении 6.

Составить математическую модель потребителя двух товаров. Определить оптимальный объем покупки для заданной функции полезности и ограничении на бюджет.

Вывести уравнения функций спроса на первый и второй товары. Построить кривые, отражающие зависимость спроса от цен на товары и от дохода потребителя.

Определить минимальный объем компенсации дохода при увеличении цены на первый товар на одну денежную единицу необходимого:

а) для сохранения объема покупки на прежнем уровне;

б) для сохранения получаемой полезности на прежнем уровне.

Сравнить полученные результаты.

3) U= 12Q1Q2; P1= 5; P2= 6; M= 60;

Задание 7. Динамика процентной ставки r в классической макромодели определяется уравнением dr/dt=(I(r)–S(r))/a, где функции инвестиций I=I(r) и сбережений S=S(r)приведены в приложении 7.

Найти равновесное значение процентной ставки re.

Вывести уравнение изменения размера процентной ставки со временем r=r(t). Размер процентной ставки r0 в момент времени t=0 приведен в приложении 7. Построить график полученной зависимости. Определить возможность установления равновесия. Выяснить, будет ли равновесие устойчивым. Ответ обосновать.

Заданы коэффициент адаптации a процентной ставки r; зависимость объема инвестиций от размера процентной ставки I=I( r ); зависимость объема сбережений от размера процентной ставки S=S( r ); и размер процентной ставки в момент времени t =0:

3) a=3; I( r )=1000 – 0,1 ( r – 0,1); S( r )=1000 + 0,2 ( r – 0,1); r(0)=0,12;

Задание 9. Динамика основных производственных фондов некоторой отрасли определяется уравнением dK/dt=I–mK, где объем инвестиций I и коэффициент выбытия фондов m приведены в приложении 9.

Вывести уравнение изменения объема производственных фондов со временем K=K(t). Объем производственных фондов K0 в момент времени t=0 приведен в приложении 9. Построить график полученной зависимости. Определить, будет ли объем производственных фондов увеличиваться или сокращаться. До какого объема возможно увеличение (сокращение) производственных фондов? Ответ обосновать.

источники:

http://mydocx.ru/9-94956.html

http://guu.refmag.ru/done/1/k/matematicheskie-modeli-ekonomicheskikh-sistem-guu-3.htm