Функция рэлея в уравнении лагранжа учитывает
1) Диссипативная функция Релея. Связь между полной механической энергией системы и диссипативной функцией Релея.
2) Уравнение Лагранжа 2 рода. Пример.
Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы, составленные в обобщенных координатах.
Рассмотрим движение системы, состоящей из N материальных точек, относительно инерциальной системы отсчета. Наложенные на систему связи — голономные, удерживающие, идеальные. Если некоторые связи не идеальные, то соответствующие им реакции следует добавить к действующим на систему активным силам.
Диссипативная функция.
К числу диссипативных сил относятся силы сопротивления движению точек системы, направленные противоположно их скоростям. Мы рассмотрим случай сил сопротивления, представимых в виде
, (4.28)
где — величина скорости точки ; и — положительные функции от обобщенных координат и соответственно от скоростей . По (4.10) и (4.20) (первое тождество Лагранжа) соответствующие этим силам обобщенные силы определяются равенствами
, .
,
(4.29)
где через Ф обозначена величина, называемая диссипативной функцией
(4.30)
Заметим, что Ф>0, так как подынтегральные функции положительны. Диссипативная функция была введена в классическом труде Релея «Теория звука» для сил сопротивления, пропорциональных первой степени скорости. Здесь это понятие обобщено на силы более общего вида. В случае одночленной степенной зависимости сил сопротивления от скорости диссипативная функция
(4.31)
будет однородной функцией (m+1) степени от обобщенных скоростей, которую легко выразить через мощность диссипативных сил
(4.32)
Здесь применена теорема Эйлера об однородных функциях. Отметим, что m = 0 соответствует кулонову (сухому) трению, m=1—силам вязкого трения, пропорциональным первой степени скорости (случай Релея), m = 2 — силам квадратичного сопротивления.
При составлении обобщенных сил по формуле (4.29) необходимо иметь в виду, что дифференцируются выражения, содержащие модуль обобщенных скоростей. Например, при сопротивлении, пропорциональном четной степени скорости и n =1 (одна степень свободы)
(4.33)
где означает знак функции φ ( )= 1, если φ > 0 и =-1, если φ
Докажем, что кинетическая энергия является квадратичной функцией обобщенных скоростей. Для этого заметим
и полная кинетическая энергия будет равна
(4.34)
где — функция нулевой степени относительно обобщенных скоростей, — линейная функция обобщенных скоростей , где обозначено , наконец, , — функция второй степени от обобщенных скоростей, где .
Из определения функций следует, что ; величины с двумя индексами, обладающие таким свойством, называют симметричными. Если связи стационарны, то не зависит явно от времени; тогда, очевидно,
,
и выражение кинетической энергии сводится к квадратичной форме от обобщённых скоростей, коэффициенты которой зависят от обобщённых координат.
(4.35)
Интеграл энергии.
Предположим, что время не входит явно в выражение кинетического потенциала (функции Лагранжа) , т.е. связи предполагаются стационарными. Составим полную производную по времени от кинетического потенциала, учитывая, что , а
(4.36)
Преобразуем первую сумму к виду
, (4.37)
а уравнение Лагранжа запишем с учетом диссипации энергии и других сил в следующей форме
. (4.38)
Подставив (4.37) в выражение (4.36), получим
. (4.39)
Сравнивая второе слагаемое в выражении (4.39) с уравнением Лагранжа в форме (4.38), перепишем полученное равенство (4.39) в виде
. (4.40)
В случае стационарных связей , а (по формуле 4.32) , тогда выражение (4.40) можно записать в виде
или . (4.41)
Изменение полной механической энергии, подчинённой стационарным связям, в единицу времени равно мощности непотенциальных приложенных сил (первое слагаемое в правой части (4.41) — мощность диссипативных сил).
Вопросы для самопроверки.
1. Напишите диф. уравнение движения стержня, скользящего концами по наклонной и горизонтальной поверхностям. Масса стержня m, длина l. Трение отсутствует (рис 1).
2. Что такое возможные перемещения (определение)?
3. Сколько степеней свободы имеет система, состоящая из 4 (3,5…) точек, на которую наложено 4 (3,5…) голономных связей?
4. Что Вы можете сказать о связи, представленной выражением F= bx +cy -аt >0?
5. Сформулируйте статический принцип возможных перемещений (в самой общей формулировке).
6. Как формулируется статический принцип возможных перемещений в обобщенных координатах?
7. Как формулируется динамический принцип возможных перемещений (общее уравнение динамики)?
8. Как записывается уравнение Лагранжа 2го рода в случае консервативной системы сил?
9. Как записывается диссипативная функция Рэлея?
10. Напишите уравнение Лагранжа с учетом сил диссипации и возмущающих сил.
11. Как изменяется полная механическая энергия при наличии диссипации и возмущающих сил .
12. Определите горизонтальную реакцию в шарнире О, если угол ОАВ равен 120 град., точка К посе редине ОА, ОА=АВ=L.
13. Определить соотношение между моментом М и силой Q, если угол ОВА равен 30, а угол ВОА—60град.
14. Чему равна горизонтальная (вертикальная) реакция в шарнире В? Система состоит из двух стержней, в точке С шарнир, треугольник АВС равносторонний со сторонами АС=ВС=L, сила Р перпендикулярна ВС и приложена в середине стержня.
http://megaobuchalka.ru/15/27412.html