Функция уравнение лагранжа для всех случаев

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Первая часть.

Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $\varphi (x,y)=0$.

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $\varphi(x,y)=0$. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует $y=\psi(x)$, то подставив $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получим функцию одной переменной $z=f\left(x,\psi(x)\right)$. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.

Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметр $\lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_^<''>dx^2+2F_^<''>dxdy+F_^<''>dy^2$. Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z=f(x,y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F 0$, то $d^2F 0$, т.е. имеем условный минимум функции $z=f(x,y)$.

Примечание относительно формы записи определителя $H$. показать\скрыть

Некоторые авторы записывают определитель $H$ в иной форме (с знаком «-«):

В этой ситуации сформулированное выше правило изменится следующим образом: если $H > 0$, то функция имеет условный минимум, а при $H m$):

Обозначив множители Лагранжа как $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, составим функцию Лагранжа:

Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:

Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F 0.$$

Следовательно, в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x,y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_<\max>=z(1;3)=10$.

Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем:

$$H=8\cdot\left| \begin 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end \right|= 8\cdot\left| \begin 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end \right|=-40$$

Так как $H 0$. Следовательно, знак $H$ противоположен знаку $\lambda$. Можно и довести вычисления до конца:

Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:

Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т.е. $\left( dx \right)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $\lambda_1=-\frac<1><2>$ получим $d^2F 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_<\max>=\frac<500><243>$.

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:

Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

Так как $ d^2F \Bigr|_=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ является точкой условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$. Аналогично, $d^2F \Bigr|_=-10 dx^2 0$, то $M_1$ – точка минимума функции $u(x)$, при этом $u_<\min>=u(0)=0$. Так как $u_^<''>(M_2) 0; \; y > 0. \end \right. $$

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; \; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $\lambda=-\frac<5x>$ и подставим найденное значение в первое уравнение: $5y-\frac<5x>\cdot \frac<4>=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Подставляя $x=2y$ в третье уравнение, получим: $\frac<4y^2><8>+\frac<2>-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.

Так как $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $\lambda=-10$, получив при этом:

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

Подставляя $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получим:

Ответ: в точке $(2;1)$ функция имеет условный максимум, $z_<\max>=6$.

В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Дифференциальное уравнение Лагранжа

Решение дифференциального уравнения Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение Лагранжа:
(1) ,
где и – это функции.
Будем искать его решение в параметрическом виде. То есть будем считать, что , , а также производная являются функциями от параметра . Положим
.
Поставим в (1):
(2) .
Продифференцируем по :
(3) .
С другой стороны:
(4) .
Левые части уравнений (3) и (4) равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования:
;
.

Разделим на . При уравнение принимает вид:
.
Это линейное дифференциальное уравнение относительно переменной . Решая его, получаем зависимость переменной от параметра : . Затем подставляем в (2):
.
В результате получаем зависимость переменной от параметра : . То есть мы получили параметрическое представление решения уравнения (1).

Дополнительные решения дифференциального уравнения Лагранжа

В процессе приведения уравнения к линейному, мы разделили уравнение на . Поэтому мы рассматривали решение при . В заключении следует рассмотреть случай , то есть исключить параметр из уравнений:
(5) ;
(6) .

Уравнение (5) содержит только переменную t . Поэтому его нужно решить и определить корни. Если корней нет, то дополнительных решений также нет.

Предположим, что мы нашли корни уравнения (5) (один или несколько). Обозначим такой корень как :
(7) .
Тогда уравнение (6) дает нам зависимость y от x , которая является линейной функцией:
.
Поскольку в силу (7), , то
(8) .

Покажем, что (8) является решением исходного уравнения (1). Для этого найдем производную (8). Она равна постоянной:
.
Подставим (8) и в (1):
;
;
.
Это уравнение выполняется, поскольку в силу (7), .

Таким образом, мы нашли, что уравнение (1) может иметь решения
,
где – корни уравнения
.

Пример

Решить уравнение:
(1.1)

Разделим на . При имеем:
(1.2) .
Это уравнение Лагранжа. Ищем решение в параметрическом виде. Считаем, что , , а также — это функции от параметра . Положим . Тогда
(1.3) .

Чтобы упростить выкладки, умножим (1.3) на знаменатель дроби и продифференцируем по :
;
;
(1.4) .
Далее имеем:
(1.5) .
Поставляем (1.3) и (1.5) в (1.4) и выполняем преобразования:
;
;
.
Разделим на . При ( или при и при ) имеем:
.

Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную . Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1, которую включаем в .
.
Отсюда
;
.
Подставляем в (1.3):
.
Заменим постоянную :
.

Теперь рассмотрим значения , которые мы исключили из рассмотрения при выполнении операций деления. Для этого подставим эти значения в исходное уравнение (1.1),
(1.1) .
Проверим, существует ли для этих значений дополнительные решения.

1) Подставим в (1.1):
.
Отсюда . Решение удовлетворяет исходному уравнению (1.1).

2) Подставим в (1.1):
;
.
Значение не удовлетворяет исходному уравнению. Отбрасываем его.

3) Подставим в (1.1):
;
;
.
Решение удовлетворяет исходному уравнению.

Общее решение уравнения имеет вид:
;
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 26-08-2012 Изменено: 24-11-2021

Функция Лагранжа

Содержание:

Теория производных функций Лагранжа

В XVIII в. были сделаны также попытки обоснования анализа с помощью средств, которые представлялись чисто алгебраическими» Здесь следует прежде всего назвать английского математика-самоучку Джо-лана Ландена (1719—1790), имя которого носит одно важное преобразование в теории эллиптических интегралов.

Свои взгляды Ланден изложил в книге «Рассуждение о разностном анализе: новая ветвь алгебраического искусства» (Л discourse concerning residual analysis: a new branch of algebraic art. London, 1758).

Понятию производной у Ландена соответствует «специальное значение» частного —- при для которого он ввел особый знак; так, в случае специальным значением частного является Для степенной функции где — целые числа, Ланден доказывал формулу 1

положив он вывел таким образом производную степенной функции с рациональным показателем. Он пытался обобщить свой вывод и на иррациональные показатели, беря для примера показатель рассматриваемыи как «последнее значение» своих десятичных приближений 1, и т. д.

Отыскание же производной любой функции сводилось в принципе к почленному дифференцированию степенного ряда, поскольку «заранее предполагалось, что разность разлагается по степеням разности По существу Ланден доопределял функцию

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

для значения по непрерывности, подобно Ньютону и Эйлеру,— еще Лакруа в своем «Трактате» указывал, что разностный анализ сводится к методу пределов.

Лагранж, который развил собственную алгебраическую концепцию анализа несколько позднее, писал, что Ландену действительно удалось избежать бесконечно малых и исчезающих количеств, но характеризовал приемы и применения разностного анализа как «затруднительные и мало естественные»

Центральную мысль своей теории производных функций Лагранж впервые высказал в мемуаре «О новом роде исчисления, относящегося к дифференцированию и интегрированию переменных величин» (Sur une nou-velle espece du calcul relatif a la differentiation et a l’integration des quan-tites variables. Nouv. Mem. Ac. Berlin, (1772) 1774). Эта мысль заключается в следующем: при записи разложения функции от по степеням в форме

функции последовательно получаются одна из другой, начиная с по одному и тому же правилу: каждая из них есть коэффициент при первой степени в разложении по степеням ей предшествующей.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Таким образом, все эти функции могут быть произведены (derivees) из начальной с помощью повторного применения операции разложения в степенной ряд — операции, которую Лагранж считал чисто алгебраической.

Функкции

Функции

Лагранж назвал производными от начальной;

обозначения и т. п., без скобок, он применил еще

ранее в одной статье, напечатанной в «Miscellanea Taurinensia», 1760—1761. Мы отмечали ранее, что еще Эйлер в 1755 г. особенно подчеркивал возможность нахождения производной из разложения в степенной ряд (см. стр. 2(>9).

Лагранж положил эту идею в самое основание анализа. Развернутое построение системы анализа на этой основе Лагранж дал только четверть века спустя, но еще до того два математика, вероятно, вдохновляемые мемуаром Лагранжа 1772 г., развили, каждый по-своему, начала такого построения. Первым из них был Кондорсе, который в 1778—1782 гг. готовил энциклопедический курс анализа под названием «Трактат по интегральному исчислению» (Traite du calcul integral), оставшийся незаконченным.

Рукопись и некоторое число уже набранных ее листов хранятся в библиотеке Национального института в Париже. К ним приложена записка Лакруа, где, между прочим, сказано: «Изложение начал дифференциального исчисления, полностью содержащееся в отпечатанных листах, будучи независимым от какого-либо понятия о бесконечно малых и о пределах, показалось бы новым в случае публикации, ибо тогда по этому вопросу был известен только мемуар Лагранжа, помещенный в томе Берлинской академии за 1772 г.» Ч Наряду с этим Лакруа отмечал большую сложность вычислений Кондорсе в сравнении с изложением в позднейших трудах Лагранжа.

Мы можем ограничиться указанием, что Кондорсе вводил последовательные производные точно так же, как Лагранж (ср. стр. 288), и что он один из первых, если не первый, стал употреблять термин «аналитическая функция».

Другим единомышленником Лагранжа явился Франсуа Луи Антуан Арбогаст (1759—1803), воспитанник университета в Страсбурге, профессор математики в различных учебных заведениях Эльзаса, член Института, т. е. Академии наук в Париже, и в 1793—1795 гг. депутат Национального конвента, активно участвовавший в реформе народного образования.

В апреле 1789 г. Арбогаст представил Парижской академии «Опыт о новых началах дифференциального и интегрального исчисления, независимых от теорий бесконечно малых и пределов» (Essai sur les nouvcaux prin-cipes du calcul dilferentiel et de calcul integral, independants de la theorie des infiniment petits et de celle de limites).

Работа была передана на заключение Лежандру и Лагранжу, которые представили свой отзыв в мае. Отзыв, по-видимому, пропал, а рукопись не увидела света и хранится в настоящее время во Флоренции 2. Сжатое изложение принципов этого труда, публикации которого помешали перерыв в 1790 г. издания ученых записок Парижской академии, затем бурные политические события того времени и, наконец, выход в 1797 г. «Теории аналитических функций»

• Лагранжа, Арбогаст дал в предисловии к своей книге «Об исчислении дериваций» (Du calcul des derivations. Strasbourg, an VIII 1 (1800).

«Опыт» Арбогаста состоит из двух отделов. В первом определяются дифференциалы различных порядков через коэффициенты ряда Тейлора, а самый ряд выводится при двух предположениях: 1) что произвольная функция у представима обобщенным степенным рядом

где — любые действительные числа, и 2) что биномиальное разложение справедливо для всех действительных показателей. Арбогаст записывает приращенное значение функции

в виде ряда по степеням где обозначают соответственно величипы и т. п. Обозначив выражения в фигурных скобках, после первого, равного через Арбогаст получает

и констатирует, что коэффициенты последнего ряда, начиная второй степени, последовательно умноженные на 1.2, 1.2.3, . «производятся одни из других таким же способом и следуя тому же приему, как коэффициент при производится из функции Выражения

Арбогаст называет первым, вторым, третьим, . дифференциалами функции и затем применяет общеупотребительную символику. Далее Арбогаст утверждает, что при достаточно малом приращении ряд Тейлора сходится, а каждый член его оказывается (по абсолютной величине) большим (абсолютной величины) суммы всех следующих за ним членов. На этой основе выведены главные правила дифференцирования функций одного переменного и приемы отыскания экстремумов.

Во втором отделе содержатся начала теории соприкосновения плоских кривых и вычислены дифференциалы площади и длины дуги кривой в прямоугольных координатах.

Лагранж высоко оценил работу Арбогаста и во введении к первому изданию «Теории аналитических функций» (1797), упомянув о своем мемуаре 1772 г., писал, что позднее Арбогаст представил Академии наук «прекрасный мемуар, в котором та же мысль изложена с принадлежащими ему развитиями и приложениями.

Это сочинение не оставляет ничего пожелать в вопросе, о ко по ром идет речь» Во втором издании той же книги (1813) приведенные курсивом слова отсутствуют . И. Ю. Тимченко по этому поводу заметил, что «Лагранж, очевидно, принимал слишком близко к сердцу вопрос о приоритете теории аналитических функцию) Впрочем, приоритет действительно принадлежал Лагранжу.

Полное название не раз цитированного труда Лагранжа выражает его основную установку: «Теория аналитических функций, содержащая начала дифференциального исчисления, освобожденные от всякого рассмотрения бесконечно малых, исчезающих, пределов и флюксий и сведенные к алгебраическому анализу конечных величин» (Theorie des fonctions апа-jytiques contenant les principes du calcnl differentiel, degages de toute consideration d’infiniment petits, d’evanouissants, de limites et de fluxions, et reduits a Tanalyse algebrique des quantites finies. Paris, 1797; 2-е пересмотренное и дополненное издание. Париж, 1813).

Книга возникла в связи с тем, что Лагранж стал читать курс анализа в Политехнической школе; к ней очень близки «Лекции об исчислении функций» (Lemons sur le calcul des fonctions), напечатанные сперва в «Seances de l’Ecole normale», an IX (1801); второе значительно дополненное издание вышло в Париже в 1806 г.

«Теория аналитических функций» заключает, помимо введения, три части: 1) изложение теории и ее главных применений в анализе; 2) приложения к геометрии, 3) приложения к механике, причем во всей книге нет ни одного чертежа, как, впрочем, и в «Аналитической механике» Лагранжа. Введение к книге содержит сжатый историко-критический очерк существовавших в XVIII в. методов обоснования анализа.

Дифференциальное и интегральное исчисление Лейбница Лагранж по-прежнему считал исчислением компенсирующихся ошибок; задачу общего доказательства неизбежности такой компенсации он считал нерешенной и после выхода в свет первого издания «Размышлений» (1797) Карно. В методе пределов Лагранж усматривал тот же недостаток, что и в концепции Эйлера: в обоих случаях дело приводится к рассмотрению отношений между нулями, а такое отношение перестает быть для разума ясной и точной идеей.

Этим и другим методам он противопоставлял теорию аналитических функций. Необходимо, однако, напомнить, что в этот термин Лагранж вкладывлл смысл, несколько отличный от современного. В «Рассуждении о предмете теории аналитических функций» (Discours sur l’objet de la theorie des lonclions analytiques. Journal de l’Ecole Polytechnique, an VII (1799) он разделяет все учение о функциях на две ветви. К первой относится алгебра, где изучаются лишь первоначальные функции, происходящие в результате алгебраических действий над переменными и числами. Вторая ветвь — это теория аналитических функций, в которой рассматриваются не только первоначальные функции, возникающие при любых вычислениях (Лагранж иногда называл функции expressions de calcul), но и их производные функции.

Начала своей теории Лагранж закладывает в первых двух главах труда, о котором идет речь. Он прежде всего желает обосновать постоянно обнаруживаемый в практике вычислений факт, что любая функция при подстановке вместо раскладывается в ряд вида

Сперва доказывается, что разложение не может содержать дробных положительных степеней за исключением отдельных особых значений Радикалы, содержащие рассуждает Лагранж, могут произойти только от радикалов, имеющихся в первоначальной функции Но в таком случае допущение членов вида приводит к нелепости: ряд в котором все возможные значения комбинируются с каждым из значений радикала дает для

больше различных значений, чем их имеет между тем, если остаются неопределенными, то число этих значений в обоих случаях должно быть одинаково. Лишь при отдельных определенных значениях некоторые радикалы в могут уничтожиться, сохраняясь в Подобного рода исключительные случаи рассмотрены в главе 1.

Затем Лагранж показывает, что разложение функции не может, вообще говоря, содержать отрицательные степени член вида при стал бы бесконечным и, значит, должна была бы стать бесконечной при неопределенном функция между тем как это может случиться только при особых значениях

Подчеркнем еще раз, что Лагранж, как и все математики XVIII в., заранее принимал, что любая функция анализа представима рядом по ка-ким-либо действительным степеням и в доказательстве, с его точки зрения, нуждалось только предложение, что такой ряд, вообще говоря, содержит лишь целые положительные степени, между тем как другие степени встречаются исключительно в разложениях, соответствующих изолированным особым значениям аргумента. В V главе «Теории аналитических

функций он писал, что «разложение и т. д. может стать ошибочным для какого-либо данного значения лишь в случае, если для этого значения станет бесконечной одна из функций и т. д., так же как и все следующие. Тогда, если есть индекс первой ставшей бесконечной функции, разложение, о котором идет речь, должно будет содержать член вида где — число, заключенное между А если становятся бесконечными для одного и того же значения все функции и т. д., то разложение содержит в этом случае отрицательные степени Более подробно последний случай Лагранж рассмотрел в VIII главе «Лекций об исчислении функций».

Однако приведенные выше рассуждения Лагранжа опирались не только на допущение о представимости произвольной функции обобщенным степенным рядом, но и на уверенность в том, что выведенные посредством формальных алгебраических преобразований ряды представляют соответствующие функции, вообще говоря, повсюду, так что свойства, принадлежащие при каких-либо значениях ряду, принадлежат и функции.

Между тем Коши показал, что сходящийся ряд Тейлора не обязательно сходится к порождающей его функции, и тем самым выявил принципиальную недостаточность теории Лагранжа (см. стр. 300).

Установив общий вид степенного ряда, выражающего данную функцию, Лагранж переходит к рассмотрению его членов. Так как разность равна нулю при то она может быть представлена в виде произведения целой положительной степени на некоторую функцию конечную при Таким образом, можно положить

Если функция при обращается в то аналогично где обращается в при при сходных обозначениях далее получается, что и т. д., так что

и в итоге для разложения получается тот ряд, какой был предположен вначале.

Описанный прием может быть употреблен для непосредственного разложения рациональных функций, а также иррациональных алгебраических функций, что Лагранж иллюстрирует на примерах и Коэффициенты разложения выступают при этом вычислении как «специальные значения» Ландена (стр. 282). Так, коэффициент есть значение при функции или же равного ей выражения в котором деление на уже произведено.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.