Функция y sinx является решением уравнения

Функция y = sin x, её свойства и график

п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности её ордината является синусом соответствующего угла (см. §2 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется синус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=sinx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x синусоидой .
Часть синусоиды для 0≤x≤2π называют волной синусоиды .
Часть синусоиды для 0≤x≤π называют полуволной или аркой синусоиды .

п.2. Свойства функции y=sinx⁡

1. Область определения \(x\in\mathbb\) — множество действительных чисел.

2. Функция ограничена сверху и снизу

Область значений \(y\in[-1;1]\)

3. Функция нечётная

4. Функция периодическая с периодом 2π

5. Максимальные значения \(y_=1\) достигаются в точках

Минимальные значения \(y_=-1\) достигаются в точках

Нули функции \(y_<0>=sinx_0=0\) достигаются в точках \(x_0=\pi k\)

6. Функция возрастает на отрезках

$$ -\frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac\pi2+2\pi k $$

Функция убывает на отрезках

$$ \frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac<3\pi><2>+2\pi k $$

7. Функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=sinx на отрезке:

a) \(\left[\frac\pi6; \frac<3\pi><4>\right]\) $$ y_=sin\left(\frac\pi6\right)=\frac12,\ \ y_=sin\left(\frac\pi2\right)=1 $$ б) \(\left[\frac<5\pi><6>; \frac<5\pi><3>\right]\) $$ y_=sin\left(\frac<3\pi><2>\right)=-1,\ \ y_=sin\left(\frac<5\pi><6>\right)=\frac12 $$

Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(sinx=3x\)

Один корень: x = 0

б) \(sinx=2x-2\pi\)

Один корень: x = π

в) \(sinx-\sqrt=0\)
\(sinx=\sqrt\)

Один корень: x = π

г*) \(sinx=\left(x-\frac\pi2\right)^2-\frac<\pi^2><4>\)
\(y=\left(x-\frac\pi2\right)^2-\frac<\pi^2><4>\) – парабола ветками вверх, с осью симметрии \(x_0=\frac\pi2\) и вершиной \(\left(\frac\pi2; -\frac<\pi^2><4>\right)\) (см. §29 справочника для 8 класса)

Два корня: \(x_1=0,\ \ x_2=\pi\)

Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx,\ \ y=-sinx,\ \ y=2sinx,\ \ y=sinx+2 $$

\(y=-sinx\) – отражение исходной функции \(y=sinx\) относительно оси OX. Область значений \(y\in[-1;1]\).
\(y=2sinx\) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений \(y\in[-2;2]\).
\(y=sinx+2\) — исходная функция поднимается вверх на 2. Область значений \(y\in[1;3]\).

Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx,\ \ y=sin2x,\ \ y=sin\frac <2>$$

Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений \(y\in[-1;1]\).
Множитель под синусом изменяет период колебаний.
\(y=sin2x\) — период уменьшается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок \(0\leq x\leq \pi\).
\(y=sin\frac<2>\) — период увеличивается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок \(0\leq x\leq 4\pi\).

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №4. Свойства и график функции .

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• Изучение свойств графика функции ;
• Определение промежутков монотонности, наибольшего и наименьшего значения, нулей функции ;
• Определение свойств и положение графика тригонометрических функций вида и
• Построение графика функции
• Объяснять зависимость свойств и положения графика функции вида иот значения коэффициентов а, k, b;
• Демонстрирование уверенного владения свойствами функции .

Глоссарий по теме

Синусоидой называется множество точек плоскости, которое в некоторой системе координат является графиком функции , где a≠0.

Число │a│ называется амплитудой.

Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На прошлом уроке мы говорили о свойствах графика косинуса:

1) область определения функции – множество R всех действительных чисел;

2) Множество значений функции – отрезок [–1;1];

3) Функция косинуса периодическая, ;

4) Функция чётная;

5) Функция принимает:

• значение, равное 0, при ;
• наименьшее значение, равное –1, при

;

• наибольшее значение, равное 1, при ;

6) Функция

• возрастает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого интервала на .

Давайте сравним их со свойствами графика синуса, а для начала определим следующие моменты:

• При движении точки до первой четверти ордината увеличивается;
• При движении точки по второй четверти ордината постепенно уменьшается;
• Функция возрастает на отрезке и убывает на отрезке .

Свойства функции :

3) Период функции равен ;

4) Функция чётная/нечётная;

5) Функция принимает:

• значение, равное 0, при ;
• наименьшее значение, равное –1, при ;
• наибольшее значение, равное 1, при ;
• положительные значения на интервале (0;) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на ;
• отрицательные значения на интервале и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на .

6) Функция

• возрастает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на ;
• убывает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на .

Изменяя амплитуду и значение аргумента функции синуса график ведет себя следующим образом (рис.1)

Рис. 1 – графики синуса

Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.

Правило:
1) чтобы построить график функции , нужно сдвинуть график вдоль оси Ох на b единиц влево;

2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть вдоль оси ОХ на b единиц вправо.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. На следующие утверждения нужно ответить верно/неверно.

1) Тригонометрическая функция определена на всей числовой прямой.

2) График нечетной функции можно построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу.

3) График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну.

Ответ: верно, неверно, верно.

2. Вспомним, что мы уже знаем о функции , ответив на вопросы:

1) Какие значения может принимать переменная х. Какова область определения этой функции?

2) В каком промежутке заключены значения выражения . Назови наибольшее и наименьшее значения функции .

3) Функция синуса чётная или нечётная?

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1. Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

Построим графики функций и (рис. 6)

Рис. 7 – графики функций и .

Графики пересекаются в четырёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения . На выбранном отрезке от корни уравнения симметричны: и . Из рисунка видно, что симметричность корней объясняется периодичностью функции: аналогично для

Ответ: ; .

Пример 2.Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

Из рисунка 7 видно, что график функции лежит выше графика функции на промежутках и и

Ответ: , ,

Презентация на тему: «Функция y = sinx её свойства и график»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Функция y = sinx её свойства и график Автор: Брызгалова Наталья Юрьевна Преподаватель Архангельского техникума строительства и экономики

Цель: Изучить функцию y = sinx Задачи: 1. Изучить свойства функции у = sin x. 2. Уметь применять свойства функции у = sin x и читать график. 3. Формировать практические навыки построения графика функции у = sin x на основе изученного теоретического материала. 4. Закрепить понятия с помощью выполнения заданий.

Функция y = sin x определена на всей числовой прямой, и множеством её значений является отрезок [−1;1]. Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y= −1 и y=1. Так как функция y = sin x периодическая с периодом 2π, то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π, например, на отрезке 0≤x≤2π, тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn, n∈Z, график будет таким же.

Функция y = sin x является нечётной. Поэтому её график симметричен относительно начала координат. Для построения графика на отрезке 0≤x≤2π достаточно построить его для 0≤x≤π, а затем симметрично отразить его относительно начала координат График функции y = sin x Кривая, являющаяся графиком функции y=sinx, называется синусоидой.

Свойства функции y = sin x 1. Область определения — множество R всех действительных чисел. D(y) = (-∞; + ∞) 2. Множество значений Е(у) = [−1;1] 3. Функция периодическая с периодом T= 2π. 4. Функция нечётная sin(-x) = -sin x (график симметричен относительно начала координат). 5. Функция ограничена и сверху, и снизу. 6. Функция y=sinx принимает: — значение, равное 0, при x=πn, n∈Z; — наибольшее значение, равное 1, при x=π/2+2πn, n∈Z; — наименьшее значение, равное −1, при x=−π/2+2πn, n∈Z;

7. Промежутки, на которых функция принимает положительные значения при x ∈ (2πn; π+2πn), n ∈ Z Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения при x ∈ (-π+2πn; 2πn), n ∈ Z Функция возрастает на x ∈ [−π/2 + 2 πn; π/2+ 2 πn], n ∈ Z функция убывает на x ∈ [π/2 + 2 πn; 3π/2+ 2 πn], n ∈ Z

Решение задач Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin t на отрезке [-/6;/2] Функция монотонно возрастает на указанном промежутке, значит, наибольшее значение принимает на правом конце отрезка у(/2)=1, а наименьшее значение принимает на его левом конце у(/6) = -1/2 Решение

Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin t на отрезке [-/4; -/6] Решение Функция монотонно возрастает на указанном промежутке, значит, наибольшее значение принимает на правом конце отрезка у(-/6) = -1/2, а наименьшее значение принимает на его левом конце у(-/4) = -2/2

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin t на отрезке [-/6; 2/3] Решение На заданном промежутке функция немонотонна. На графике видим, что функция меняется в пределах [-1/2; 1] Наименьшее y(-/6) = — 1/2, наибольшее у(/2) = 1

Задача 4. Построить график функции Построим график функции y = sin t. В силу периодичности достаточно будет рассмотреть график на участке [0;2]. Для получения искомого графика кривую y = sin t необходимо сдвинуть на /6 вправо по оси х Решение

Задача 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0; /2] Решение

Задача 6. Построить график функции y = — sin x +1 на [0; 2] Решение Для этого необходимо построить график функции y = sin x, отобразить его симметрично относительно оси ОХ и сдвинуть на 1 вверх по оси ОУ х

Задача 7. Найти число решений уравнения Решение Построим в одних координатных осях графики функций Видно, что графики функций пересекаются в двух точках. Значит всего уравнение имеет два решения.

Задача 8. Решить уравнение Построим в одних координатных осях графики функций На рисунке видно, что построенные графики функций имеют только одну общую точку с абсциссой Решение

у 2 = sinx + 2; у 3 = sinx — 2 Задания для самостоятельного решения Постройте графики функций 1) у = sinx + 1; 2) у = sinx – 1; 3) у = sin (x + π/2) 4) у = sin (x – π/3) 5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin (x) на отрезке [0; 4π/3] Найдите область значений функции:        

Заключение. Мы рассмотрели график функции y = sin x , изучили особенности ее поведения, использовали их и свойства функции при решении задач, в том числе и задач с параметром

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 244 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

§ 41. Свойства функции у = sin x и её график

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 20.01.2020
• 1016
• 49

• 19.01.2020
• 1962
• 141

• 19.01.2020
• 715
• 24

• 19.01.2020
• 678
• 5

• 19.01.2020
• 365
• 10

• 19.01.2020
• 361
• 2

• 19.01.2020
• 195
• 6

• 19.01.2020
• 140
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 20.01.2020 4316
• PPTX 344 кбайт
• 391 скачивание
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Брызгалова Наталья Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 2 года и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 30805
• Всего материалов: 25

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.