Функция является решением уравнения если принимает значение

По математике на тему «Функциональный метод решения уравнений и неравенств»(10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Функциональный метод решения уравнений и неравенств

Использование понятия области определения функции 2

Использование понятия области значений функции 3

Использование свойства монотонности функции 6

Использование свойств четности или нечетности функций 8

Использование свойства периодичности функции 9

Метод функциональной подстановки 10

Функциональный метод решения уравнений и неравенств.

Одним из методов решения уравнений и неравенств является функциональный, основанный на использова­нии свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения (неравенства), при этом не требуется построения графиков функ­ций. Использование свойств функций способствует рационализа­ции решений уравнений и неравенств.

Рассмотрим использование некоторых свойств функций при решении уравнений и неравенств.

Использование понятия области определения функции

Областью определения функции у = f ( x ) называется множест­во значений переменной х, при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнение f ( x ) = g ( x ), где f ( x ) и g ( x ) — элементарные функции, определенные на множествах D ₁, D ₂. Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений х, которые принадлежат обоим множествам, то есть D = D ₁∩ D ₂. Ясно, что когда множество D пустое ( D = Ø), то урав­нение решений не имеет.

Пусть требуется решить неравенство f ( x ) > 0. D ( f ) — область определения функции f ( x ). Если удается доказать, что для всех х из области определения выполняется неравенство f ( x ) > 0, то D ( f ) представляет собой решение данного неравенства.

1) Решите уравнение: + =5

ОДЗ: 1- x 0, x 1, решений нет.

x -3 0 x 3

2) Решите уравнение: arcsin ( x +2) + = x — 2

ОДЗ: -1 x +21, -3 x -1, -3 x -1, решений нет

2 x — x 0 x (2- x ) 0 0 x 2

3) Решите уравнение: + = x — 1

Решение.

ОДЗ: x -1 0, x =1

1- x 0

ОДЗ состоит из одной точки x =1. Остается проверить, является ли x =1 корнем уравнения.

x =1 + =1-1, 0=0. Верно.

4) Решите уравнение: arccos (6 x — x -10)=

ОДЗ: 6 x — x -10 -1, x =3, x =3

6 x — x -101 3-2 x 3+2

ОДЗ состоит из одной точки x =3. Остается проверить, является ли x =3 корнем уравнения. x =3 arccos (6*3-3-10)= , arcos (-1)= , = . Верно .

5) Решите неравенство: + 1

1.Область определения левой части: 1.

2.Для любого x из области определения выполняется неравенство + 1

Ответ: x (- ;-1][1;+ ).

Использование понятия области значений функции

Областью значений функции у = f ( x ) называется множество зна­чений переменной у, при допустимых значениях переменной х.

Функция у = f ( x ) называется ограниченной на данном про­межутке (содержащемся в области ее определения), если су­ществует такое число N > 0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство N .

Пусть дано уравнение f ( x ) = g ( x ), где f ( x ) и g ( x ) — элементарные функции, определенные на множествах D ₁ , D ₂. Обозначим область значений этих функций соответственно Е₁ и Е₂. Если х₁ является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f ( x ₁) = g ( x ₁), где f ( x ₁) — значение функции f ( x ) при х = х₁, a g ( x ₁) — значение функции g ( x ) при х = х₁. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f ( x ) и g ( x ) имеют общие элементы (Е₁ ∩ Е₂ Ø). Если же таких общих элементов множества Е₁ и Е₂ не содержат, то уравнение решений не имеет.

1) Решите уравнение: cos 2 x = x -8 x +17

cos2 x = (x-4)+1

ОДЗ :

-1 cos2 x 1; (x-4)+11

Равенство достигается, если cos 2 x =1, x =4

(x-4)+1 = 1

2) Решите уравнение: + =2

ОДЗ: x 0 , x 0

x +9 0

0, 3 + 3, решений нет.

3) Решите уравнение:

ОДЗ:

0 для допустимых значений x

03

3 для допустимых значений x

Равенство достигается, если =3

=3

Решим первое уравнение системы:

=

При x =0 второе уравнение обращается в верное равенство, следовательно, решением системы и уравнения является x =0.

4) Решите уравнение:

ОДЗ:

Равенство достигается, если

Из второго уравнения системы имеем х = 3. Подстановкой во второе уравнение системы убеждаемся, что х = 3 является решением системы.

3 — корень уравнения.

5) Решите уравнение:

ОДЗ:

, .

Равенство достигается, если

Если , то

6) Решите уравнение:

Поскольку , то или .

, или

Решением первой системы является , . Вторая система решений не имеет.

Ответ: , .

7) Решите неравенство: .

На ОДЗ правая часть неравенства неположительна, а левая — положительная.

8) Решите неравенство: >2

ОДЗ: ,.

При любом из области определения >0, следовательно, .

Так как , то >2 на всей области определения.

Ответ: .

9) Решите неравенство:

ОДЗ:

Так как при любом x справедливы неравенства и , то данное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

, т.е. при x =0.

10) Решите уравнение:

Сумма коэффициентов перед тригонометрическими функциями в левой части равна 6, что меньше 7. Это наталкивает на мысль о решении уравнения методом оценки. Действительно, , , . Следовательно, левая часть не превосходит 6 при любом x , поэтому уравнение не имеет действительных решений.

Использование свойства монотонности функции.

Функция f ( x ) называется возрастающей (убывающей) на дан­ном числовом промежутке X , если большему значению аргумента х X соответствует большее (меньшее) значение функции f ( x ), то есть для любых х₁ и х₂ из промежутка X таких, что х₂ > х₁ выпол­нено неравенство f ( x ₂) > f ( x ₁) ( f ( x ₂) f ( x ₁)).

Функция, только возрастающая или только убывающая на дан­ном числовом промежутке, называется монотонной на этом про­межутке.

Рассмотрим несколько свойств монотонных функций, исполь­зуемых для установления характера монотонности функций и ле­жащих в основе утверждений об уравнениях и неравенствах.

Теорема 1. Монотонная на промежутке X функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка.

Теорема 2. Если функция f ( x ) возрастает (убывает) на проме­жутке X и функция g ( x ) возрастает (убывает) на промежутке X , то функция h (х) = f ( x ) + g ( x ) + С также возрастает (убывает) на проме­жутке X (С — произвольная постоянная).

Теорема 3. Если функция f ( x ) неотрицательна и возрастает (убы­ вает) на промежутке X , функция g ( x ) неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке X , С > 0, то функция h (х) = С ∙ f ( x ) ∙ g ( x ) также возрастает (убывает) на промежутке X .

Теорема 4. Если функция f ( x ) возрастает (убывает) на промежутке X , то функция – f ( x ) убывает (возрастает) на этом промежутке.

Теорема 5. Если функция f ( x ) монотонна на промежутке X и со­храняет на этом множестве знак, то функция на промежутке X имеет противоположный характер монотонности.

Теорема 6. Если обе функции f ( x ) и g ( x ) возрастающие или обе убывающие, то функция h (х) = f ( g ( x )) — возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, то h (х) = f ( g ( x )) — убывающая функция.

Теоремы об уравнениях и неравенствах.

Теорема 7. Если функция f ( x ) монотонна на промежутке X , то уравнение f ( x ) = С имеет на промежутке X не более одного корня.

Аналогичное свойство имеет место и для нестрогих нера­венств.

Теорема 10. Если функция f ( x ) возрастает на промежутке X , а g ( x ) убывает на промежутке X , то уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет на промежутке X не более одного корня.

Теорема 11. Если функция f ( x ) возрастает на промежутке X , то урав­нение f ( f ( x )) = х равносильно на промежутке X уравнению f ( x ) = х

1) Решите уравнение:

ОДЗ:

Функция х 2 + убывает на промежутке (- ;-0], а — постоянная функция.

Подбором находим, что x =- — 4. В силу теоремы 7, найденный корень единственный.

2) Решите уравнение:

— функция убывает на ;

— функция возрастает.

Подбором находим, что .

В силу теоремы 10 утверждаем, что единственный корень уравнения.

3) Решите уравнение:

Функция возрастает на ; функция убывает на этом отрезке.

Подбором находим, что

В силу теоремы 10 утверждаем, что единственный корень уравнения.

4) Решите уравнение: x 3 + 33 = — 2х

ОДЗ уравнения: х є R .

Функция у(х) = x 3 + 33 — возрастает на R ,

Функция g (х) = — 2х — убывает на R .

Значит уравнение имеет не более одного корня.

5) Решите уравнение: x 5 + x 3 + х = — 42

Функция у(х) = x 5 + x 3 + х — возрастает на R ,

Функция g (х) = — 42 постоянна на R .

Значит уравнение имеет не более одного корня.

6) Решите уравнение: = 8 -2х

ОДЗ: х — 1.

Левая часть уравнения задает возрастающая, а правая убывающая функции.

Значит, это уравнение имеет не более одного корня.

7) Решите систему уравнений

Рассмотрим функцию Z = f ( t ) = 2 t — sin t , тогда систему можно записать в виде

Так как f ’ = 2 — sin t , то функция f -возрастающая, и

поэтому каждое своё значение принимает только при одном значении

Следовательно уравнение равносильно уравнению x = y , а данная система равносильна системе

Полученная система имеет единственное решение x = y =3.

Использование свойств четности или нечетности функций

Функция f ( x ) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение —х также при­надлежит области определения и выполняется равенство f (- x ) = f ( x ).

Функция f ( x ) называется нечетной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение —х также принад­лежит области определения и выполняется равенство f (- x ) = — f ( x ).

Из определений следует, что области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значе­ния, а нечетная — равные по абсолютной величине, но противопо­ложного знака.

Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух чет­ных функций являются четными функциями.

Теорема 2. Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.

Пусть имеем уравнение или неравенство F (х) = 0, F (х) > 0, ( F (х) F (х) — четная или нечетная функция.

а) Чтобы решить уравнение F (х) = 0, где F (х) — четная или не­четная функция, достаточно найти положительные (или отрица­тельные) корни, после чего записываются отрицательные (или по­ложительные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет х = 0, если это значение входит в область определения F (х). Для четной функции значение х = 0 проверяет­ся непосредственной подстановкой в уравнение.

б) Чтобы решить неравенство F (х) > 0 ( F (х) F (х) — чет­ная функция, достаточно найти его решения для х 0 (или х 0). Действительно, если решением данного неравенства является про­межуток (х₁; х₂), где х₁, х₂ — числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток (-х₂; -х₁).

в) Чтобы решить неравенство F (х) > 0 ( F (х) F (х) — не­четная функция, достаточно найти решения для х > 0 (или х F (х) для х > 0 (или х 0).

1) Может ли при каком-нибудь значении a уравнение иметь 2 x -3 ax +4 x — ax =5 пять корней?

Число 0 не является корнем данного уравнения. Так как левая часть уравнения – четная функция, то вместе с каждым ненулевым корнем уравнение имеет противоположный корень, и следовательно, число его корней при любом a четно. Поэтому пяти корней оно иметь не может.

2) Решите уравнение: x +5-24=0

ОДЗ: xR

Функция f ( x )= x +5-24 – четная, x =0 – не является корнем уравнения, поэтому достаточно найти решения для x >0

x >0 , x >0 , x =3

x +5-24=0 x =3

Тогда x = -3 так же является корнем уравнения.

Использование свойства периодичности функции

Функция у = f ( x ) называется периодической, если существует такое число Т 0, что для любого значения х, взятого из области определения, значения х + Т, х — Т, также принадлежат области определения и выполняется равенство f ( x ) = f ( x + Т) = f ( x ) = f ( x – Т). Число Т называется периодом функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное количество периодов. При решении уравнений и неравенств будем использовать наименьший положи­тельный период функции.

Если функция F (х) — периодическая, то решение уравнения F (х) = 0 или неравенства F (х) > 0 ( F (х)

1) Решите неравенство:

Рассмотрим функцию f (х) = cos 12х — cos 4х.

. Следовательно, решение неравенства достаточно найти на промежутке равном по длине периоду функции. За такой промежуток возьмем . Так как функция чётная, решение найдём на промежутке [0;]. Функция на данном промежутке имеет два корня: 0; — которые разбивают промежуток [0;] на два интервала знакопостоянства: (0; ); ( ; ). Неравенство выполняется для всех

х є ( ; ). Но тогда оно будет выполняться и для всех ( ; ).

Учитывая периодичность: +

Ответ: +

Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y =ƒ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

1) Решите уравнение: tgx + ctgx + tg ² x + ctg ² x + tg ³ x + ctg ³ x = 6

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y = tgx + ctgx, тогда tg²x + ctg²x = y² – 2, tg³x + ctg³x = y³ – 3y

y³ — 8 + y² — 2y =0, (у – 2)(у 2 + 2у +4) + у(у – 2) = 0, (у – 2)(у 2 + 2у +4 + у) = 0, (у – 2)(у 2 + 3у +4) = 0,

Так как tgx + ctgx = 2, то tgx + = 2. Отсюда следует, что tgx = 1 и x = + π n , .

Ответ: + π n , .

Исследовательская работа «Функциональные уравнения»

В работе рассматриваются понятие функционального уравнения, история их изучения, способы решения и практическое применение. Актуальность работы заключается в том, что эта тема в школьном курсе математики не изучается в виду её сложности, а при поступлении в престижные ВУЗы, на предметных олимпиадах такие задачи встречаются.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 11 с углубленным изучением отдельных предметов ЗМР РТ»

Автор работы: Багаутдинова Альбина,

ученица 11 «А» класса СОШ № 11

Научный руководитель: Петрова Ирина Владимировна,

I. Понятие функционального уравнения. 4

II. Способы решения функциональных уравнений. 6

1. Простейшие функциональные уравнения. 6
2. Решение функциональных уравнений методом подстановки. 7
3. Решение функциональных уравнений методом Коши. 16
4. Использование значений функции в некоторых точках. 18
5. Уравнение относительно f(x). 19
6. Графическое решение функциональных уравнений. 19

Список использованной литературы………………………………. ….. 22

Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся средней школы, − умение решать уравнения. Корень уравнения находят в одно или более действий, многие текстовые задачи решаются алгебраическим способом, то есть уравнения одновременно сами по себе являются задачами и способами решения задач, умение решать которые необходимы всем учащимся школы. Но во время решения тренировочных заданий мне попалось уравнение, которое я решить не смогла. Как я узнала позже от учителя, это было функциональное уравнение.

Что же такое функциональные уравнения? И какие способы их решения существуют? Эти вопросы заинтересовали меня, и я решила провести исследование.

Актуальность работы заключается в том, что эта тема в школьном курсе математики не изучается в виду её сложности, а при поступлении в престижные ВУЗы, на олимпиадах, в заданиях части С ЕГЭ такие задачи встречаются.

Цель работы — выяснить, что является функциональным уравнением, найти способы решения и научиться применять их на практике.

1. Изучение и анализ литературы;

2. Поиск способов решения функциональных уравнений;

3.Применение полученных знаний при решении функциональных уравнений.

Структура работы: введение, понятие функционального уравнения, способы решения функциональных уравнений, примеры решения функциональных уравнений, заключение.

1. Понятие функционального уравнения

Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений).

Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если она удовлетворяет ему при всех значениях аргумента в области её определения.

Решить функциональное уравнение – это, значит, найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют.

Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса. Это уравнения f(x) = f(-x), f(-x) = — f(x), f(x+T) = f(x), которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность. Простым видом функциональных уравнений является реккурентное соотношение , знакомое нам по теме Последовательности, которое , говоря формально, содержит неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига . ( пример реккурентного соотношения: ).

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x):

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения

которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х) ; (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение − значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax . Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. f(x) = ax для x Q. Казалось бы, что тогда f(x) = ax для всех действительных x. Если f(x) — непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить — то нет. Первый пример отличного от f(x) = ax разрывного решения функционального уравнения (4) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель с помощью введённого им базиса действительных чисел.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) — класс функций, симметричных относительно прямой x = 1 , и т. д.

1. Способы решения функциональных уравнений

2.1 Простейшие функциональные уравнения

Решение простейших функциональных уравнений основано на применении простейших свойств различных функций.

Рассмотрим примеры решения простейших функциональных уравнений и неравенств.

1. Пусть функция у =f(х) возрастает на R. Решите:

а) уравнение f(3х + 2) = f(4х 2 + х);

б) неравенство f(3х – 48) ≤ f(-х 2 + х).

а) f(3х + 2) = f(4х 2 + х)

Есть такая теорема: если функция возрастает (убывает) на промежутке Х, то каждое своё значение она принимает в единственной точке. Поэтому,

х 1 =1 и х 2 = -0,5

Ответ: х 1 =1 и х 2 = -0,5.

б) f(3х – 48) ≤ f(-х 2 + х);

2. Пусть функция у =f(х) убывает на R. Решите неравенство

Решаем также как и в предыдущем задании, только меняем знак у неравенства, так как функция убывает на R.

3. Решить для всех где f принимает вещественные значения .

Положим : . Тогда и .

Теперь, положим :

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит для всех x и является единственным решением этого уравнения.

Ответ: х = 0, у = 0.

1. Решение функциональных уравнений методом подстановки

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций.

1. Найдите все функции, определённые на множестве , удовлетворяющие соотношению .

Придадим x значение . Получим

Из уравнения (1) выразим и подставим в уравнение (2).

Проверим, действительно ли функция f(x) удовлетворяет уравнению .

2. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению

2) Подставим в исходное уравнение, получим

3)Заменим z на получим

или после преобразований в правой части уравнения:

4)Итак, получили два уравнения:

5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим:

3. Пусть — некоторое действительное число. Найти функцию f(x) , определённую для всех x ≠ 1 и удовлетворяющую уравнению

,где g – заданная функция, определённая при x ≠ 1 .

Решение: При замене

решением которой при a 2 ≠ 1 является функция

4. Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x) :

В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z .

и первое уравнение принимает вид:

В результате получаем систему уравнений:

решение которой g(x) = 1/x, f(x) = x+1 .

Ответ: g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

5. Найдите все функции f: R  R , которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению f(х+у)=х+уf(х)+(1-х)у . (1)

Пусть f − функция удовлетворяющая уравнению (1). Поскольку (1) выполняется при всех значениях переменных х и у , то оно будет выполнятся и при конкретных значениях этих переменных. Подставив, например, у = 0 в исходное уравнение, мы получим f(х)=х. Это равенство должно выполнятся при любом действительном х .

Таким образом, (1) => f(х)≡х или, иными словами, никакая функция кроме f(х)≡х не может удовлетворять уравнению (1). Это, тем не менее, не доказывает, что функция f(х)≡х является решением функционального уравнения (1). Непосредственная проверка показывает, что найденная функция действительно удовлетворяет уравнению при всех х,у € R .

6. Найдите все функции f: R  R , которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению f(х+у)=х+уf(х)+(1-sin х)у . (2)

Точно также, как и в предыдущей задаче, устанавливаем, что для функции f, которая удовлетворяет (2), должно выполнятся тождество f(х)≡х. Однако, подставив функцию f(х)=х в (2), мы тождества не получим. Поскольку никакие другие функции также не могут быть решениями (2), то данное уравнение решений не имеет.

1. Найдите все функции f: R  R , которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению

f(х+у 2 +2у+1) = у 4 +4у 3 +2ху 2 +5у 2 +4ху+2у+х 2 +х+1. (3)

Поскольку мы хотим получить значение f(х) , попробуем избавится от слагаемого у 2 +2у+1 под знаком функции. Уравнение у 2 +2у+1=0 имеет одно решение у=-1 . Подставляя у= -1 в (3) получаем f(х)= х 2 -х+1 .

Ответ: f(х)= х 2 -х+1.

1. Найдите все функции f: R  R , которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению

f((х 2 +6х+6)у)=у 2 х 4 +12у 2 х 3 +48у 2 х 2 -4ух 2 +72у 2 х-24ух+36у 2 -24 (4)

Как и в прошлой задаче, мы хотим получить под знаком функции свободную переменную ( х или у ). В данном случае, очевидно, проще получить у . Решив уравнение х 2 +6х+6)у=0 относительно х получаем х 1 = -1, х 2 = -5 . Подстановка любого из этих значений в (4) дает нам f(у)=у 2 -4у .

9. Решите следующие функциональные уравнения.

в) f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cos y

а) Положим у=1/x. Тогда f(1/y) + 2f(y) =3/y и f(y)+2f(1/y)=3y. Отсюда f(y)= 2/y – y.

б) Положим y=x-1/x , затем z=y-1/y. Получим систему трёх линейных уравнений относительно f(x), f(y), f(z), з которой находим

в) Положив у=π/2, получаем f(х+π/2) +f(x-π/2)=0 для любого х, откуда f(x+π)= — f(x). Заменив у на у+π/2, получаем

заменив теперь х- π/2 на х, имеем:

и с учетом предыдущего:

Положив х=0, получаем отсюда и из исходного уравнения:

Таким образом, искомая функция должна иметь вид a cos y +b sin y, где a,b – константы.

Решение: 1 ) Заменим на , получим или .

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:

Решение: 1)Заменим в уравнении н а , получим 2 .

2) Умножим обе части исходного уравнения 2 на (-2) и сложим с уравнением 2 ,

1) Заменим в уравнени е на , .

2)Умножим уравнение н а и вычтем из уравнения , получим —

1)Заменим в уравнении на получим .

2)Выразим из исходного уравнения , получим

3)Подставим в уравнение , получим .

1.Заменим н а , получим

2.Умножим обе части уравнения на и вычтем из уравнения

Решение: 1)Пусть , тогда уравнение принимает вид:

2)Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

3)Умножим обе части уравнения из п.1 на 2, а обе части уравнения из п.2 на (-3) и почленно сложим получившиеся уравнения:

1) Замени м н а , получим или .

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:

2.3. Решение функциональных уравнений методом Коши

1. Найдите функцию , определённую на множестве натуральных чисел, удовлетворяющую условию , где d — некоторое действительное число.

Будем решать это уравнение по схеме, которая в математике называется методом Коши.

1. Найдём выражения для Получим , , .

2. Этот “эксперимент” подсказывает, что , где .

3. Проверим, действительно ли выполняется равенство , где . Применим для доказательства метод математической индукции.

1). Проверим, выполняется ли равенство при x=1 : — верно.

2). Предположим, что равенство верно при , где , т.е. — верно.

3). Докажем, что из этого следует равенство для x=n. Т.к. , то при x=n получим или ; . Значит, равенство верно для любого натурального n . Таким образом, решением заданного функционального уравнения будет функция , где f(1)- произвольное число.

2. Уравнение Коши

Найдите все непрерывные функции, удовлетворяющие условию .

Будем находить решение функционального уравнения постепенно, т.е. сначала найдём его решение, если является натуральным числом, затем – целым, потом рациональным и, наконец, — действительным.

1. Пусть y=x. Тогда .

2. При , получим , , …

3. Методом математической индукции доказываем, что при натуральных значениях . (1)

4. При x=1 получим . — постоянное число. Обозначим его через . Значит, для , имеем .

5. Положим в равенстве (1) , где , получим . Отсюда или . Обозначив через , получим . Значит, при положительном и рациональном x мы получим . Предполагая, что функция — непрерывна, получим , при , .

6. Возьмём в равенстве . Получим . Отсюда .

7. Возьмём в этом равенстве . Получим или .

Т.к. , то , т.е. . Итак, для любого действительного решением уравнения будет функция .

3. Найдите непрерывные функции , удовлетворяющие условию . (1)

Попробуем свести это уравнение к функциональному уравнению Коши с непрерывным решением . Пусть у=0 , тогда . Так как — постоянное число, обозначим его через и получим . Придадим теперь х значение . Получим . Из уравнения (1) получим или (2). Решением уравнения (1) является функция . Значит, решением уравнения (2) будет функция .

4. Найдите все непрерывные решения уравнений Коши:

a) f (хy) = f(x) + f(y) (x, y € R \ <0>);

б) f(x + y) = f(xy) (x, y€ R);

в) f(x + y) = f(x)f(y) (x, y€. R).

a) Пусть вначале x > 0. Положим g(x) = f(e х ). Тогда g(x + y) = f(e х+у ) = f(e х e у ) = f(e х ) + f(e у ) =

=g(x) + g(y), т. е. g(x) удовлетворяет аддитивному уравнению Коши. Так как e х и f(x) непрерывны, то и g(x) непрерывна и имеет вид cx, где c- константа. Тогда f(x) имеет вид c ln x.

В частности, f(1) = 0. Положив x = y = -1, получаем f(1) = 2f(-1), откуда f(-1) = 0. Для произвольного x

б) Положив y = 0, получаем f(x) = f(0), т.е. f(x) ≡ const. Очевидно, что любая

в) Если f(x) = 0 для некоторого x, то f(z) = f(x)f(z-x) = 0 для любого z. В противном случае функция, будучи непрерывной, всюду имеет один и тот же знак. Так как f(2x) = (f(x)) 2 , то этот знак положителен и можно рассмотреть непрерывную

функцию g(x) := lnf(x). Имеем g(x+y) = ln(f(x)f(y)) = ln f(x)+ln f(y) = g(x)+g(y),

т.е. выполнено аддитивное уравнение Коши. Отсюда g(x) = cx для некоторого c, и

f(x) = e сх . Таким образом, либо f(x)≡ 0, либо f(x) ≡е сх .

1. Использование значений функции в некоторых точках

Иногда бывает невозможно найти подстановку, которая бы значительно упрощала бы вид уравнения. Однако, если зафиксировать одну из свободных переменных, некоторые члены уравнения могут также оказаться фиксированными. Для них можно ввести удобные обозначения и использовать при решении как обычные константы. Если эти константы войдут в ответ, проверка покажет, какие их значения являются допустимыми.

1. Решить уравнение f(x+f(y))=xy.

Подстановка у=0 даёт f(x+f(0))=0 . На первый взгляд пользы мало, так как мы не знаем, чему равно f(0) . Обозначим f(0)=с , тогда получаем f(х+с)= 0. сделав замену переменной t=x+c (подстановка х=t-c ), получаем f(с)=0 , но такая функция, очевидно, не удовлетворяет исходному уравнению, поэтому решений нет.

2. Решить уравнение f(x+f(y))=x+у

Снова сделаем подстановку у=0 и обозначим с=f(0) , получим f(х+с)=х . Замена t=х+с дает f(t)=t-c . Несмотря, на то, что точное значение с нам известно, мы уже знаем, что лишь функция вида f(х)=х-с , где c=const , могут удовлетворять уравнению при всех х,у. чтобы найти с, подставим найденную функцию в исходное уравнение (заодно таким образом сделаем проверку):

Отсюда видим, что равенство f(x+f(y))=x+у для всех х,у при с = 0 и только при нем. Поэтому ответ f(x)=x.

1. Решить уравнение f( x – f(y)) = x – y.

Решая это уравнение аналогично предыдущему, получим f(x) = x+c.

Если теперь сделать проверку, окажется, что

f(x — f(y)) = f(x — (y + c)) = (x — (y + c)) + c = x – y, для всех x; y; c € R .

Поэтому ответом будет семейство функций f ( x ) = x + c; c € R .

1. Уравнение относительно f(x)

1. Найти все f : R  R такие, что (f(x))² = 1

Рассматривая это как уравнение относительно неизвестного f(х) , получаем

Может показаться, что ответом будут две функции, f(х)=1, f(х)=-1 . Однако, это не так. Рассмотрим, например функцию

Несложно видеть, что данная функция удовлетворяет уравнению. Какой же смысл придать совокупности? Поскольку исходное равенство должно выполнятся для всех х € R, то и совокупность также должна выполняться для всех х € R, то есть для каждого х имеет место одно из равенств. Однако, неверным будет предположение, что одно из равенств выполняется сразу для всех х. Как мы увидели на примере, для одних х может выполняться одно из равенств, а для других – другое.

Попробуем охарактеризовать множество функций, задаваемое данным уравнением. Пусть А – множество тех х , для которых выполнено первое равенство. Тогда для всех остальных х должно быть выполнено второе. Мы видим, что множество А однозначно задает функцию f:

Ответ: E(f) = <±1>, где Е(f) обозначает множество значений f.

1. Найти все f: R  R такие, что ( f ( x ) + f ( y ))² = ( x + y ) ² .

Подстановка x = y = 0 дает f(0) = 0.

Подставив теперь у = 0, получим (f(x))² = x² .

Как мы уже знаем, для каждого х € R существуют две возможности:

f(x) = x или f(x) = -x. Однако в этом случае не все функции f с f ( x ) = ± x

будут решениями. Именно докажем, что лишь функции (x) = x и f(x) = -x удовлетворяют данному условию. Если f не совпадает ни с одной из этих функций, то найдутся такие x; y ≠ 0, что f(x) = x, f(y) = -y . Тогда подставив их в исходное уравнение, получим (x-y)² = (x+y)², откуда следует, что xy = 0 . Получили противоречие. Остается проверить, что указанные функции удовлетворяют уравнению при всех х, у € R.

1. Графическое решение функционального уравнения

При каких а и b для функции f(х)=a|x-b| +3a|x-b | выполнено условие при всех действительных х : f(х)=f(f(х)) ?

1. При а=0 функция f(х)=0, и уравнение, очевидно, удовлетворяется.
2. Пусть а>0, тогда при больших х>0 функция f(х)=а(х-b)+3a(x-b )=4ax-a(b+3b )>0

По рис.1 определяем, что возможно только равенство f(х)=х, если значения х достаточно велики и х>0. Конкретно, х>max.

Следовательно, возможные значения для параметров a и b определяются из системы:

которая имеет два решения:

При а=1/4, b=-1/3 получаем функцию

Ее график (рис.2) является графическим решением уравнения f(х)=f(f(х))

1. Теперь предположим, что а

Следовательно, возможные значения для параметров а и b определяются из системы

которая имеет два решения

Если a=-1/4, b=0, то функция f(х)=-|х| удовлетворяет уравнению f(х)=f(f(х))

Если a=-1/4, b=-1/3, тогда получаем функцию

А вот ее график (рис. 3) не является графическим решением уравнения f(х)=f(f(х)).

Целью данной работы было изучение понятия Функциональные уравнения, поиск способов решения и их практическое применение. В результате проведенных исследований я пришла к выводу, что термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Не зная методов их решения, решить их практически невозможно. Хотя функциональными уравнениями ученые – математики занимаются с очень давних пор, этому курсу так и не нашлось достойного места в школьных математических программах. А жаль. Ведь решение отдельных функциональных уравнений требует достаточно глубокого понимания предмета и прививает любовь к самостоятельной творческой работе.

Вопросы, рассмотренные в работе, не только расширяют кругозор, но и несут обучающую функцию, так как при поступлении в престижные Вузы, на олимпиадах, в заданиях части С ЕГЭ такие задачи встречаются, что только подчеркивает значимость выбранной темы.

Функциональный метод решения уравнений

В стандартном курсе школьной математике свойства функций применяются в основном для построения их графиков. Функциональный метод решения уравнений применяют тогда и только тогда, когда уравнение F(x) = G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения.

В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения, при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решения уравнений.

В работе рассмотрены следующие свойства функции: область определения функции; область значений функции; свойства монотонности функции; свойства выпуклости функции; свойства четности и нечетности функции.

Цель работы: провести некоторую классификацию нестандартных уравнений по использованию общих свойств функций, описать суть каждого свойства, дать рекомендации по его использованию, указания к применению.

Вся работа сопровождается решением конкретных задач, предлагавшихся на ЕГЭ различных лет.

Глава 1. Использование понятия области определения функции.

Введем несколько ключевых определений.

Областью определения функции y = f(x) называется множество значений переменной х, при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x)- элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений х, которые принадлежат обоим множествам, то есть D = D1∩ D2. Ясно, что когда множество D пустое (D= ∅), то уравнение решений не имеет. (Приложение № 1).

1. arcsin (x+2) +2x- x2 = x-2.

ОДЗ:-1 =0⇔-3 =0,х>0,8х-2х2-6>=0⇔х∈(-infinity;1∪ 3;infinity),х>01 =0, x>=9.

При x>=9 x+2>0, 7-x 0, таким образом, произведение трех сомножителей, стоящих в левой части уравнения отрицательно, а правая часть уравнения положительна, значит, уравнение решений не имеет.

⇔ -3 =М (соответственно fx 0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство f(x) =0 и g(x) f(x2).

Функцию y = f(x) называют нестрого возрастающей (соответственно нестрого убывающей) на Х, если из х1∈Х, х2∈Х и х1 =f(x2)).

Функции, возрастающие и убывающие на Х, называют монотонными на Х, а функции, нестрого возрастающие или нестрого убывающие на Х, называют нестрого монотонными на Х.

Для доказательства монотонности функций используются следующие утверждения:

1. Если функция f возрастает на множестве Х, то для любого числа С функция f+С тоже возрастает на Х.

2. Если функция f возрастает на множестве Х и С > 0, то функция Сf тоже возрастает на Х.

3. Если функция f возрастает на множестве Х, то функция — f убывает на этом множестве.

4. Если функция f возрастает на множестве Х и сохраняет знак на множестве Х, то функция 1f убывает на этом множестве.

5. Если функции f и g возрастают на множестве Х, то их сумма f+g тоже возрастает на этом множестве.

6. Если функции f и g возрастают и неотрицательны на множестве Х, то их произведение fg тоже возрастает на Х.

7. Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве Х и n — натуральное число, то функция fn тоже возрастает на Х.

8. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие, то функция h(x) = f(g(x)) — возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая. А другая убывающая, то h(x) = f(g(x)) — убывающая функция.

Сформулируем теоремы об уравнениях.

Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(x) = С имеет на промежутке Х не более одного корня.

Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(g(x)) = f(h(x)) равносильно на промежутке Х уравнению g(x) = h(x).

Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, а g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение g(x) = f(x) имеет на промежутке Х не более одного корня.

Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, то уравнение f(f(x)) = x равносильно на промежутке Х уравнению f(x) = х.

1. Найдите все значения a, при которых имеет ровно три корня уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду

Если положить u = x2-2x, v=2x-a-1, то придем к уравнению

Функция f (t) = 2tlog3(t+3) монотонно возрастает при t >-2, поэтому от последнего уравнения можно перейти к равносильному u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1)2=2x-a.

Это уравнение, как видно из рисунка, имеет ровно три корня в следующих случаях:

1. Вершина графика функции у = 2x-a располагается в вершине параболы у = (x-1)2, что соответствует a = 1;

2. Левый луч графика у = 2x-a касается параболы, а правый пересекает ее в двух точках; это возможно при a=12;

3. Правый луч касается, а левый — пересекает параболу, что имеет место при a=32.

Поясним второй случай. Уравнение левого луча у = 2a-2x, его угловой коэффициент равен -2. Следовательно, угловой коэффициент касательной к параболе равен

2(х -1) = -2 ⇒ х = 0 и точка касания имеет координаты (0; 1). Из условия принадлежности этой точки лучу находим a=12.

Третий случай можно рассмотреть аналогично или привлечь соображения симметрии.

Можно рассмотреть подробнее и другие уравнения. (Приложение №4).

Глава 4. Использование свойств выпуклости.

Пусть функция f(x) определена на промежутке Х она называется строго выпуклой вниз (вверх) на Х, если для любых u и v из Х, u!=v и 0 λf(u) + (1 — λ)f(v)).

Геометрически это означает, что любая точка хорды ВС (то есть отрезка с концами в точках B(u;f(u)) и C(v;f(v)), отличная от точек В и С, лежит выше (ниже) точки А графика функции f(x), соответствующей тому же значению аргумента. (Приложение №5).

Функции строго выпуклые вверх и вниз называются строго выпуклыми.

Справедливы следующие утверждения.

Пусть функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке Х, u ,v ∈X, u =0. Так как x=0 не является корнем уравнения, рассмотрим два промежутка: (0;2, 2;infinity.

а) На промежутке (0;2 имеем:

8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.

b) На промежутке 2;infinity имеем:

8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.

Но так как х = 0 не является корнем уравнения, то для х>0 данное уравнение имеет корень x= 43. Тогда x=- 43 также является корнем уравнения.

Автор полагает, что работа может быть использована учителями и учащимися общеобразовательных типов на факультативных занятиях, при подготовке к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ, вступительным экзаменам в технические учебные заведения.