Функция задана неявно системой уравнений

Неявные функции

Неявные функции, определяемые одним уравнением.

Пусть функция $F(x,y)$ определена в $R^2$. Рассмотрим уравнение
$$
F(x,y)=0.\label
$$

Множество $G_F$ точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению \eqref, было названо графиком уравнения. Через $A_F$ будем обозначать проекцию графика $G_F$ на ось $x$. Будем рассматривать такие уравнения \eqref, графики которых не есть пустые множества.

Так, график уравнения $x^2 + y^2 — 1 = 0$ есть окружность, график уравнения $(x-1)(x+y-1)=0$ есть пара прямых $x = 1$ и $x+y-1=0$ (рис. 28.1).

Рис. 28.1

Если график $G_F$ уравнения \eqref взаимно однозначно проектируется на $A_F$, то существует единственная функция $f: \; A_F\rightarrow R$, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_F$ ставит в соответствие тот единственный $y$, для которого $F(x,y)=0$. Говорят, что уравнение \eqref определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Но, как правило, график уравнения \eqref не проектируется взаимно однозначно на $A_F$. Тогда на $A_F$ в общем случае определено бесконечное множество функций, графики которых совпадают с некоторым подмножеством графика $G_F$ уравнения \eqref. Так, разбивая отрезок $[-1,1]$ точками \(x_0= -1 Рис. 28.2

Меняя местами переменные $x$ и $y$, можно говорить о том, что уравнение \eqref определяет в некотором прямоугольнике переменную $x$ как неявную функцию переменной $y$.

Докажем теорему, дающую достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением \eqref в некотором прямоугольнике.

функция $F(x,y)$ имеет в окрестности точки $(x_0,y_0)$ непрерывные частные производные $F_x(x,y)$ и $F_y(x,y)$;
$F(x_0,y_0)=0$;
$F_y(x_0,y_0)\neq 0$.

Тогда существует прямоугольник
$$
K = \<(x,y): \; x_0-a\leq x\leq x_0+a, \; y_0-b\leq y\leq y_0+b\>,\nonumber
$$
в котором уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$. Функция $y=f(x)$ непрерывно дифференцируема на интервале $(x_0-a,x_0+a)$ и
$$
f'(x)=-\frac.\label
$$

$\circ$ Разобьем доказательство на два пункта.

Доказательство существования неявной функции. Из условия $F_y(x_0,y_0)\neq 0$ следует, что либо $F_y(x_0,y_0) > 0$, либо $F_y(x_0,y_0) 0.\label
$$
Если \(F_y(x_0,y_0) 0$.

Так как функция $F_y(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$ непрерывна и в силу условия \eqref принимает в этой точке положительное значение, то найдется такой прямоугольник (рис. 28.3)
$$
K_1=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a_1, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
в котором функция $F_y(x,y) > 0$.

Рис. 28.3

Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\psi (y)=F(x_0,y),\quad y_0-b\leq y\leq y_0+b.\nonumber
$$
Функция $\psi (y)$ строго возрастает на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$, так как
$$
\psi'(y)=F_y(x_0,y) > 0.\nonumber
$$
Кроме того, в силу условия $F(x_0,y_0)=0$
$$
\psi (y_0) = F(x_0,y_0) = 0.\nonumber
$$
Поэтому
$$
\psi (y_0-b)= F(x_0,y_0-b) 0.\label
$$
Неравенства \eqref в силу непрерывности функции $F(x,y)$ должны сохраняться в некоторых окрестностях точек $(x_0,y_0-b)$ и $(x_0,y_0+b)$. Поэтому существует такое $a\in (0,a_1)$, что для всех $x\in [x_0-a,x_0+a]$ выполнены неравенства
$$
F(x,y_0-b) 0.\label
$$
Покажем, что в прямоугольнике
$$
K=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Возьмем любую точку $x^*\in [x_0-a,x_0+a]$ и рассмотрим непрерывную на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$ функцию одной переменной $\varphi (y)=F(x^*,y)$. В силу условия \eqref эта функция принимает на концах отрезка значения разных знаков:
$$
\varphi(y_0-b)= F(x^*,y_0-b) 0.\nonumber
$$
По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка $y^*\in [y_0-b,y_0+b]$, что
$$
\varphi(y^*) = F(x^*,y^*)=0.\nonumber
$$

Так как $\varphi'(y) = F_y(x^*,y) > 0$, то функция $\varphi(y)$ строго возрастает на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$ и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.

Таким образом, для любого $x\in [x_0-a,x_0+a]$ найдется единственный $y\in [y_0-b,y_0+b]$ такой, что $F(x,y) = 0$. Это означает, что в прямоугольнике $K$ уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной функции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике $K$ функция $F_y(x,y)$ по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике свое наименьшее значение $\alpha$. Так как $F_y(x,y) > 0$ на $K$, то
$$
F_y(x,y)\geq a > 0,\qquad (x,y)\in K.\label
$$

Непрерывная на $K$ функция $F_x(x,y)$ ограничена на $K$. Поэтому
$$
|F_x(x,y)| Замечание 1.

Если известно, что уравнение $F(x,y)=0$ определяет в прямоугольнике $a\leq x\leq b, \; c\leq y\leq d$ переменную $y$ как неявную функцию $x$, то связь между $dy$ и $dx$ можно установить, формально дифференцируя тождество $F(x,y(x)) = 0$. Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получаем
$$
F_x(x,y)dx + F_y(x,y)dy = 0.\nonumber
$$
Дифференцируя последнее тождество еще раз, можем найти второй дифференциал $d^2y$
$$
F_ dx^2 + 2F_ dx dy + F_ dy^2 + F_y d^2y = 0.\nonumber
$$

Неявные функции, определяемые системой уравнений.

Рассмотрим систему $m$ уравнений с $n+m$ неизвестными
$$
\left\<\beginF_1(x_1,\ldots,x_n,x_,\ldots,x_)=0,\\…..\\F_m(x_1,\ldots,x_n,x_,\ldots,x_)=0\end\right.\label
$$

При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобно пользоваться понятием декартова произведения множеств. Если $A$ и $B$ — произвольные множества, то их декартово произведение $A\times B$ есть множество пар $(x,y)$, где $x\in A$, $y\in B$. Так, декартово произведение $[a,b]\times [c,d]$ есть множество пар вещественных чисел таких, что $a\leq x\leq b,$ и $c\leq y\leq d$, то есть прямоугольник в $R^2$.

Клеточной окрестностью точки $x^0 =(x_1^0,\ldots,x_n^0)$ будем называть следующее множество:
$$
K(x^0)=\\>,\nonumber
$$
где $\varepsilon_i, \; i =\overline<1,n>$ — положительные числа, $x = (x_1,…,x_n)$.

Легко видеть, что в том случае, когда $K_1(x^0)\subset R^n$ и $K_2(y^0)\subset R^m$ — клеточные окрестности, их декартово произведение $K_1(x^0)\times K_2(y^0)$ есть клеточная окрестность точки $(x^0,y^0)=(x_1^0,…,x_n^0,y_1^0,…,y_m^0$ в пространстве $R^$.

Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая $x=(x_1,…,x_n), \; y=(y_1,…,y_m)$, где $y_1=x_,…,y_m=x_$.

Тогда систему уравнений \eqref можно записать в более кратком виде:
$$
F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>.\label
$$

Функции $F_i(x,y) = 0$ будем считать определенными в некоторой клеточной окрестности точки $(x^0,y^0)$.

Пусть $K(x^0)\subset R^n$ и $Q(y_0)\subset R^m$ есть клеточные окрестности. Будем говорить, что система уравнений $F_i(x,y)=0, \; i=\overline<1,m>$, определяет в $K(x^0)\times Q(y_0)$ переменные $y_1,…,y_m$ как неявные функции переменных $x_1,…,x_n$, если для любого $x\in K(x^0)$ найдется единственный $y\in Q(y^0)$ такой, что $F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>$.

Пусть выполнены следующие условия:

Тогда найдутся клеточные окрестности $K(x^0) \subset R^n$ и $Q(y^0) \subset R^m$ такие, что в $K(x^0)\times Q(y^0)$ система уравнений \eqref определяет переменные $y_1,…,y_m$ как неявные функции переменных $x_1,…,x_n$. Неявные функции $y_j =\varphi_j(x)$ непрерывно дифференцируемы в $K(x^0)$ и $y_j^0=\varphi_j(x^0), \; j=\overline<1,m>$.

$\circ$ Воспользуемся методом индукции по числу уравнений $m$. При $m=1$ доказательство теоремы 2 не отличается от доказательства теоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случай теоремы 2 как на теорему 1).

Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, когда система \eqref содержит $m-1$ уравнение. Докажем, что тогда теорема верна и для системы \eqref из $m$ уравнений.

Так как определитель \eqref отличен от нуля, то, раскладывая его по элементам последней строки, получаем, что хотя бы один из соответствующих миноров $m-1$-го порядка отличен от нуля. Пусть, например
$$
<\begin\displaystyle\frac<\partial F_1><\partial y_1>&…&\displaystyle\frac<\partial F_1><\partial y_>\\…&…&…\\\displaystyle\frac<\partial F_><\partial y_1>&…&\displaystyle\frac<\partial F_><\partial y_>\end>_<(x^0,y^0)>\neq0\nonumber
$$
(Здесь и в дальнейшем символ $0$ означает, что значение соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом $0$).

Тогда в силу индукции найдутся такие клеточные окрестности
$$
\beginK_1=\displaystyle\left\<(x,y_m): \; \vert x_i-x_i^0\vert\leq\varepsilon_i’, \; i=\overline<1,n>, \; \vert y_m-y_m^0\vert Замечание 2.

Существует несколько способов доказательства теоремы о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.

Локальная обратимость регулярного отображения.

Пусть на множестве $E\subset R^n$ заданы $n$ функций
$$
f_1(x),…,f_n(x).\nonumber
$$

Они задают отображение $f: \; E\rightarrow R^n$, которое каждой точке $x\in E$ ставит в соответствие точку $y=f(x)$, где
$$
y_1=f_1(x),\quad,…,\quad y_n=f_n(x).\nonumber
$$

Точка $y=f(x)$ называется образом точки $x$ при отображении $f$. Точка $x$ называется прообразом точки $y$.

Если $\Omega\subset E$, то множество
$$
f(\Omega)=\\nonumber
$$
называется образом множества $\Omega$ при отображении $f$. Если $\omega\subset f(E)$, то множество
$$
f^<-1>(\omega)=\\nonumber
$$
называется прообразом множества $\omega$.

Пусть $G \subset R^n$ есть открытое множество. Отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ называется непрерывным в точке $x^0$, если $\forall \varepsilon > 0 \; \exists\delta > 0$ такое, что $\forall x$ таких, что \(\rho(x,x^0) Лемма 1.

Если $G$ есть открытое множество, а $f: \; G\rightarrow R^n$ — непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества $\omega\in f(G)$ есть открытое множество.

$\circ$ Пусть $\Omega= f^<-1>(\omega)$. Возьмем любую точку $x^0\in\Omega$. Тогда $f(x^0)=y^0\in \omega$. Так как множество $\omega$ открыто, то найдется окрестность $S_<\varepsilon>(y^0)\in \omega$. В силу непрерывности отображения $f$ в точке $x^0$ найдется шаровая окрестность $S_<\delta>(x^0)$, для которой выполнено условие \eqref.

Следовательно,
$$
S_<\delta>(x^0)\subset f^<-1>(\omega)\subset\Omega,\nonumber
$$
и $\Omega$ — открытое множество. $\bullet$

Как обычно, под окрестностью $A(x^0)$ точки $x^0$ будем понимать любое множество $A$, для которого точка $x^0$ внутренняя.

Пусть $G \subset R^n$ — открытое множество. Отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции $f_1(x),…,f_n(x)$, задающие это отображение, непрерывно дифференцируемы в $G$. Непрерывно дифференцируемое отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ будем называть регулярным, если в области $G$ якобиан отображения $j_f(x)\neq 0$. Якобианом отображения $j_f(x)$ называется следующий функциональный определитель:
$$
j_f(x)=\begin\frac<\partial f_1(x)><\partial x_1>&…&\frac<\partial f_1(x)><\partial x_n>\\…&…&…\\\frac<\partial f_n(x)><\partial x_1>&…&\frac<\partial f_n(x)><\partial x_n>\end.\nonumber
$$

Пусть $G$ — открытое множество в $R^n$, а отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ регулярно. Тогда в каждой точке $x^0\in G$ оно локально регулярно обратимо, то есть $\forall x^0\in G$ найдутся такие окрестности $A(x^0) \subset G$ и $B(y^0)\subset f(G)$, где $y^0= f(x^0)$, что отображение $f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)$ будет взаимно однозначным, причем обратное отображение $f^<-1>: \; B(y^0)\rightarrow A(x^0)$ регулярно.

$\circ$ Рассмотрим в $G\times R^n$ систему уравнений
$$
F_i(x,y)\equiv y_i-f_i(x)=0,\quad i=\overline<1,n>.\label
$$

Пусть $x^0$ — произвольная точка множества G и $y^0=f(x^0)$. Тогда функции $F_i(x,y)$ непрерывно дифференцируемы в $G\times R^n$ и $y_i^0= f_i(x^0), \; i=\overline<1,n>$. Так как отображение $f$ регулярно, то
$$
<\begin\frac<\partial F_1><\partial x_1>&…&\frac<\partial F_1><\partial x_n>\\…&…&…\\\frac<\partial F_n><\partial x_1>&…&\frac<\partial F_n><\partial x_n>\end>_<(x^0,y^0)>=(-1)^nj_f(x^0)\neq0.\nonumber
$$
Для системы уравнений \eqref выполнены все условия теоремы 2 о неявных функциях. Поэтому найдутся такие клеточные окрестности
$$
\beginK(x^0)=\left\\right\>,\quad K(x^0)\subset G,\\Q(y^0)=\left\\right\>,\quad Q(y^0)\subset f(G),\end\nonumber
$$
что в $K(x^0)\times Q(y^0)$ система уравнений \eqref определяет переменные $x_1,…,x_n$ как неявные непрерывно дифференцируемые функции переменных $y_1,…,y_n$:
$$
\beginx_1=\varphi_1(y),\quad …,\quad x_n=\varphi_n(y),\\x\in K(x^0),\quad y\in Q(y^0),\quad x_i^0=\varphi_i(y^0),\quad i=\overline<1,n>.\end\label
$$
Пусть $B(y^0)$ есть внутренность $Q(y^0)$:
$$
B(y^0) = \left\

Если $f: \; G\rightarrow R^n$ есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества $\Omega\subset G$ есть открытое множество.

$\circ$ Пусть $\omega=f(\Omega)$. Возьмем произвольную точку $y^0\in\omega$ и пусть $x^0$ есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся такие окрестности $A(x^0) \subset \Omega$ и $B(y^0) \subset \omega$; что отображение $f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)$ регулярно обратимо. Поэтому каждая точка $y^0\in\omega$ принадлежит $\omega$ вместе с некоторой окрестностью $B(y^0)$. Множество $\omega=f(\Omega)$ открыто. $\bullet$

Производные различных порядков от неявных функций — справочник студента

канд. физ.-мат. наук,.

Доцент Московского государственного университета информационных технологий, радиотехники и электроники, РФ, г. Серпухов

SOME PROPERTIES OF IMPLICIT FUNCTION
Christina Gladysheva
Student Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russia, Serpukhov
Vera Taperechkina
candidate of Physical and Mathematical Sciences, docent Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russia, Serpukhov
АННОТАЦИЯ
В работе рассмотрены некоторые способы нахождения производных и дифференциалов первого и второго порядков для неявных функций одного и двух переменных, в том числе неявных функций, заданных системой.
ABSTRACT
In this work we reviewed some methods of finding of first and second differentials for Implicit function with one and two Variables including Implicit functions defined by system.
Ключевые слова : неявная функция; частные производные; дифференциал.
Keywords : Implicit function, Partial derivatives, differential.

1. Теоретические предпосылки.

Будем предполагать, что выполняемы требования теоремы существования неявной функции [1] (и ее обобщения для случая нескольких переменных [1]).

Пусть функция F(x, y) непрерывна в некоторой окрестности точки (,) и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные , . Если F(,)=0, (,)0, то существует единственное решение уравнения F(x, y)=0. Функция удовлетворяет условию и имеет непрерывную производную

Будем предполагать также выполнение условий теоремы Шварца о равенстве смешанных производных [1].

2. Формула для второй производной неявной функции одной переменной.

=0 (2)
Если в тождестве еще раз взять производную по x, с учетом того, что зависят и от x и, то получим новое тождество:
+ + (+)=0 или
+2 ++=0
Отсюда, используя (1) получаем формулу:

Обычно метод нахождения второй производной для функции, заданной неявно, сводится к повторному дифференцированию данного в задаче условия, что фактически приводит к необходимости вывода на каждом конкретном примере формулы (3). Использование готовой формулы (3) существенно упрощает решение.

Пример 1. Найти производную второго порядка функции, заданной неявно уравнением:

Найдем от все частные производные первого и второго порядка:

Отсюда по формуле (3) получаем после преобразования ответ:

Пример 2. Найти в точке М(0; 1), если функция задана неявно уравнением:

По формуле (1) получаем и, следовательно, . По формуле (3) получаем и, следовательно, .

3. Вывод формул для вторых частных производных функции двух переменных, заданной неявно.

Рассмотрим функцию двух независимых переменных x и y, заданную неявно уравнением F(x; y; z)=0. Фиксируя по очереди переменные у и х, получим из формулы (1) соответственно:

Найдем формулы, выражающие через частные производные от F(x; y; z). Для этого от (4) повторно берем производную. При повторном взятии производной от первой из формул (4) по переменной х следует учесть, что у фиксирована, а z, которое содержится в и , зависит от x. Таким образом, и зависят от x непосредственно, а также через z.

С учетом (4) получим
Таким образом, получена формула:
(5)
Аналогично
(6)

Формулы (5) и (6), конечно, согласуются с (3). Найдем теперь смешанную производную второго порядка. Для этого от первой из формул (4) берем производную по у. Отметим, что у входит и как непосредственно, так и через z.

С учетом (4) получим:
Таким образом, получена формула:
(7)
Для нахождения первого и второго дифференциала подставляем (4), (5), (6), (7) в известные формулы [1].
(8)
(9)
Пример3. Найти первый и второй дифференциал от функции функцию, заданной неявно уравнением:
Найти

Решение: Обозначим F(x; y; z)=, М(1; -1; 0). Находим последовательно все частные производные первого и второго порядка в точке М(1; -1; 0).

По формулам (4), (8) получаем:
Далее по формулам (5), (6), (7), (9) получаем:
;
.
Пример 4 [2].
Найти , если z=1 в точке и функция , задана неявно уравнением:

Решение. Обозначим F(x; y; z)=; М(1; 0; 1). Находим последовательно все частные производные первого и второго порядка в точке М(1; 0; 1).

4. Производные неявных функций одной переменной, заданных системой.

Пусть функции F(х; y; z) и G(х; y; z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные в точки ( и некоторой ее окрестности. Точка ( удовлетворяет системе:

Пусть определитель отличен от 0 в точке (. Тогда в некоторой окрестности точки ( система (10) определяет две функции y=y(x) и z=z(x), такие что y(; z(. Функции y(х) и z(х) непрерывны и имеют производные [1].

Способ нахождения этих производных состоит в том, что от уравнений системы (10) берется производная по х и далее из полученной системы находится , а именно:
или (11)
Система (11) линейная по , и ее определитель отличен от 0. По правилу Крамера из (12) получим:
; =; (12)
Для вычисления вторых производных следует от уравнений системы (11) еще раз взять производную по х и далее, используя уже известные , найти .
Пример5. Функции y(x), z(x) заданы неявно системой
Найти , если у(1)=1; z(1)=1.

Решение. Возьмем производную по х от уравнений системы, учитывая, что х — независимая переменная, y=y(х), z=z(х).

(13)
Отсюда:
Возьмем еще раз производную по х от уравнений системы (13), тогда получим
Умножим первое уравнение на 2 и далее сложим уравнения, тогда
.
Из второго уравнения последней системы найдем
.
.

5. Производные неявных функций двух переменных, заданных системой.

Пусть теперь система двух уравнений задает две функции, где — независимые переменные
способы нахождения частных производных и дифференциалов первого и второго порядков.
Пример 6 [3].
Найти du, dv, , если u(х, у) и v(х, у) заданы системой
Преобразуем условия
(14)
Берем от системы (14) производную по x, при этом y считаем постоянным, .
Решая эту систему, например, по правилу Крамера, получим:
Берем от системы (14) производную по у, при этом х считаем постоянным, .
Решая эту систему, например, по правилу Крамера, получим:
Так как то получим ответы для первых дифференциалов.
(15)
Первый дифференциал можно найти, если к системе(14) применить операцию взятия дифференциала с учетом инвариантности формы 1-ого дифференциала и свойств дифференциала ;
;
).
(16)

Из первого уравнения . Подставим во второе уравнение.

Найдем отсюда du:
Аналогично, если из первого уравнения системы (16) выразить du и подставить во второе уравнение системы (16), получим:
И вновь получили ответ (15).

Второй дифференциал аналогично можно найти двумя способами. Во втором способе (метод взятия дифференциала) при повторном взятии дифференциала следует обратить внимание на то, что Рассмотрим этот способ. Берем дифференциал от (16). Первое уравнение системы (16) дает:

Подставляем в это уравнение и решаем его относительно .
Здесь du и dv найденные нами ранее значения (15).
Список литературы:

1.Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу, М.:Дрофа, 2004.

2.Виноградова И.Л., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу М.В.Ш., 2002.

3.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М.:Наука, 1990.

2.8. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y» или (x).

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядкаи обозначается: y»’ или (x).

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной (n – 1)-го порядка и обозначается: y(n) или f (n)(x). Итак, f (n)(x) = (f (n-1)(x))‘.

Производные y», y»’, … называются производными высших порядков.

Пример 2. Найти производную n-го порядка для функции y = e3x.

Рассмотрим механический смысл второй производной.

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой S = f(t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V = . В момент времени t + Dt скорость получит приращение

Отношение называется средним ускорениемза время Dt. Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда Dt ® 0:

Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S»(t).

Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.

Пусть y = f(x), xÎX. Дифференциал этой функции y = f’(x)dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается d2y или d2f(x).
Итак, d2y = d(dy), но dy=dx, поэтому
d2y = d(dx) = (dx)dx = (dx)2.
Будем вместо (dx)2 писать dx2.
Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка и обозначается d3y или d3f(x):

Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется. Так, вместо будем писать: , вместо пишем: .

Пример 3. Найти d3y для функции y = cos2x.

y’ = (cos2x)‘ = –2cosxsinx = –sin2x, y» = (–sin2x)‘ = –2cos2x, y»’ = 4sin2x.
Следовательно, d3y = 4sin2xdx3.
Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.
Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями
, tÎT
(T – некоторый промежуток).

Найдем . Известно, что = = (разд.2.6), поэтому

Аналогично будут вычисляться и т.д.

Пример 4. Функция y от x задана параметрически уравнениями:
, 0£ t £ p.
Найти .
Решение. = = = = –tgt;
= = = —= .
Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.

Пример 5. Найти , для функции, заданной неявно уравнением: ey + xy = e. Вычислить y’(0), y»(0).

Решение. Найдем сначала y’, как описано в в разд. 2.5:

(ey + xy)‘ = (e)‘, ey×y’ + y + xy’ = 0, y’(ey + x) = –y, y’ = –.
Для нахождения y» будем дифференцировать равенство ey×y’ + y + xy’ = 0, получим:
ey×(y’)2 + ey×y» + y’ + y’ + xy» = 0, отсюда найдем y», затем подставим найденное значение y’: y»(ey + x) = –ey×(y’)2 – 2y’,
y» = –= = =
= .
Итак, y’ = –, y» = . Подставим x = 0 в исходное уравнение ey + xy = e, получим: ey + 0×y = e, откуда y = 1, значит,
y(0) = 1; y’(0) = –; y»(0) = = .

Производная функции, заданной неявно

Формула производной функции, заданной неявно. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения (1) . И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем . Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле: (2) .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной : . Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения (3) : . Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то (4) ; .

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения: (4) . При этом и являются сложными функциями от переменной : ; . Зависимость определяет уравнение (1): (1) .

Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4). По формуле производной сложной функции имеем: ; . По формуле производной произведения: . По формуле производной суммы: .

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то (5) . Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка : . Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением: (П1) .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2): (2) .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид . . Отсюда .

Находим производную по , считая постоянной. ; ; ; .

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной. ; ; ; .

По формуле (2) находим: .

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим : . Умножим числитель и знаменатель на : .

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Применяем формулу производной сложной функции: . Применяем формулу производной дроби: ; . Применяем формулу производной сложной функции: . Дифференцируем исходное уравнение (П1).

; . Умножаем на и группируем члены. ; .

Подставим (из уравнения (П1)): . Умножим на : .

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения: (П2.1) .

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от : ; . Применяем формулу производной сложной функции.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1): ; . Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим : . Раскрываем скобки и группируем члены:

(П2.2) . Находим производную первого порядка:

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2). ; ; ; . Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):

Умножим на : ; . Отсюда находим производную второго порядка.

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения: (П3.1) .

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от . ; ; ; ; ; ; (П3.2) ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной . ; ; ; ; ; (П3.3) .

Дифференцируем уравнение (П3.3). ; ; ; ; ; (П3.4) .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при . ; ; .

Найти производную второго порядка

Данный онлайн калькулятор позволяет находить производную функции второго порядка.
Производная служит обобщенным понятием скорости изменения функции. Производная f’(x) функции f(x) в точке x – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Нахождение производной функции называется дифференцированием функции.

Так как производная функции также является функцией, то эту функцию можно дифференцировать еще раз. Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f(x) и она обозначается f’’(x).

Вторая производная определяет скорость изменения скорости, другими словами, ускорение. Нахождение производной второго порядка может быть использовано, например, для анализа выпуклости функций.

Калькулятор поможет найти производную функции второго порядка онлайн.

Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Неявные функции, определяемые системой уравнений

Неявные функции, определяемые системой уравнений. Система уравнений. П(х, г)= 0, 1 = 1, 2 м х ^ НН г = Хм,(41.7） Или более подробно、 Р (* 1,•••, Хп, У1,…Ю. М.) ® (41.8） РП (Х1,…, хп, У1,…Юм) 0 Р1(х Людмила Фирмаль

Якобиан-определитель ООН, или называемый Якобиан матрицы, показано, как*） d («1 и»） Д(С * П)’ * * *） К. Якоби (1804-1851) немецкий математик. Обозначение также применяется0(1 Два * Прежде чем перейти к описанию основной теоремы, кратко приведем краткий пример(не уточняя всех деталей） § 41.Неявная функция Тридцать шесть Докажите и покажите, как Якобиан проверяемой системы происходит при ее условии. Непрерывно дифференцируемая функция Р и Φ в окрестности точки (x0, y0, −0)、 П(Хо, УО, 2 ′ О)= 0、 Ф (о, уо, 2-о) = 0. Предположим вам нужно решить систему уравнений Р (Х, Y, Р)= 0、 Φ (x, y, 2)= 0 Найти переменные y = gr (x) и r =φ (x) оттуда, в некоторой окрестности указанной точки.

Например, непрерывные функции переменных x, φ и φ, где φ (x0)= V0, φ (x0)= 20.Для этого, например, первое уравнение о 2 получает r = f (x, y).Если подставить эту формулу во 2-е уравнение и решить его относительно y, то получим y = q (x). пусть φ ()= f [x, φ (x)] даст вам решение, которое вы хотите. Г = Ч (*). 2 =φ (x). (Естественно, для какого значения переменной henna мне нужно найти, где эти функции определены? Мы не будем подробно разбирать этот вопрос, чтобы не отвлекаться от главных мыслей.

Этот раздел теоремы 2 рассматривается в доказательствах. ） Например, для 1 из этих уравнений достаточно решить в окрестности точки (x0, y0, r0) относительно переменной r (см. теорему 1 в§ 41.1). Если-P ^ X° ’dg°’ g°^Ф0-2 = / (x, y) соответствующее решение、 Для того чтобы полученное уравнение было разрешимо относительно переменной y во 2-м уравнении Φ[x, y, y)] = 0, достаточно убедиться, что сумма частных производных в левой части полученного уравнения не исчезает в точке. (x0, y0), то есть в этот момент Вы также можете использовать его в качестве шаблона. Но согласно пункту 41.1、 Ух… д> to делать-д-р дециграмм 41.3.Неявные функции, определяемые одновременными уравнениями Тридцать семь Поэтому, если вы присвоите это выражение более раннему неравенству, вы увидите, что условие разрешимости может быть записано в следующем виде: 2О).

Очевидно из этого условия, в точке (x0, y0, r0) Может быть определена в отношении Таким образом, для данной системы уравнений неравенство к нулю в точках Якобиана^(x0, y0, m) гарантирует существование решения вида в окрестности точек (x0, y0, r0). г = ч(х） * = （）• Теперь мы поговорим об основных теоремах в этом разделе. Теорема 2.Функция P1(x, y)= P1 (x1,…, хп, У1,…Юм), Р = 1, 2,…, m-точка(x^°, r / 0)), x(0 =(x ^ 0′,…, x’n), y’0)=(y [0′,… …им).Тогда P1 (x. 0, 1-1, 2,…, м, и если Если Якобиан не равен нулю в точке (x°\ y (0))、 Такие соседи V x и Pu даны для точек x в пространстве x и 0 (0 и/соответственно), а для 1e (/соответственно) существует единственное решение в системе уравнений (41.7). Г-Ф(Х) <Ык = Ф (ХХ,…, хп), к = 1, 2,…м.

Конечно, условия, при которых может быть выполнена указанная операция, или, точнее, проблема возникает, если все вышеперечисленные функции существуют и однозначно определены. Людмила Фирмаль

Далее, функции, образующие это решение[k (x), k = 1, 2,…m непрерывно дифференцируемо с хχ и [(x(0))= y (0). Таким образом, если гипотезы теоремы выполнены, то условие Y）- ® *»= 1、2、…. м (Х, Y)^ 1 / ХХ1 / г Эквивалентно условиям Y = Hx), xeE1Gx, y 1 1Gy. * Система функций (K (x1,…, xn), 6 = 1, 2 м обозначается 1 знаком ox /(x), чтобы определить четкое соответствие. Точка определенного набора пространства K » указанная функциональная система связывает определенную точку пространства или отображает указанный набор пространства Px в пространство P™, как он говорит. Тридцать восемь Доказательство. Прежде всего, обратите внимание на его утверждение.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

источники:

http://school16rostov.ru/gumanitarnye/proizvodnye-razlichnyh-poryadkov-ot-neyavnyh-funktsij-spravochnik-studenta.html

http://lfirmal.com/neyavnye-funkcii-opredelyaemye-sistemoj-uravnenij/