Функция задана неявно уравнением примеры

Производная функции, заданной неявно

Производная первого порядка

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1) .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2) .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3) :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4) ;
.

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4) .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1) .

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5) .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1) .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2):
(2) .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .

Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.

По формуле (2) находим:
.

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1) .

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2) .
Находим производную первого порядка:
(П2.3) .

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :

;
.
Отсюда находим производную второго порядка.

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1) .

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3) .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-02-2017

Производная фукнции, заданной неявно: руководство, примеры

Как найти производную функции, заданной неявно

Будем учиться находить производные функций, заданных неявно. Что значит неявно? Сравним с обычной функцией. Обычная функция задана уравнением вида y=f(x) , где игрек, то есть функция, задан некоторым выражением, в котором присутствует икс. Таким образом, из переменных в левой части — только игрек, в правой — только икс. Если же функция задана неявно, то в левой части различные слагаемые с игреком «смешаны» с различными слагаемыми с иксом (или переменной, обозначенной другой буквой). Примеры функций, заданных неявно:

При этом и икс, и игрек могут быть в различных степенях, а в одном слагаемом могут быть и игрек, и икс.

Если функция задана неявно, то как получить игрек, то есть явную функцию? Просто: выразить игрек через другую переменную, то есть получить в левой части только игрек. А если нужно найти производную функции, заданной неявно, то есть получить в левой части только игрек со штрихом? Нужно сначала найти производные обеих частей уравнения, то есть продифференцировать их. А затем выразить производную игрека через производные других переменных.

Теперь приведенный выше «скелет» решения обрастет «мясом», то есть необходимыми подробностями. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые, в которых присутствуют и икс, и игрек, нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, то есть учитывать, что игрек — это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот «игрек штрих» и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примерах.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек — функция от икса:

Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:

Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.

y = f(x) . Так, например, заданные неявно функции

не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.

Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Выражаем игрек штрих и — на выходе — производная функции, заданной неявно:

Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Выражаем и получаем производную:

Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.

Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Выражаем и получаем производную:

Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Путь к ответу и в конец сам ответ:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Найти производную функции, заданной неявно:

Пример 7. Найти производную функции, заданной неявно:

Пример 8. Найти производную функции, заданной неявно:

Неявные функции

Неявные функции, определяемые одним уравнением.

Пусть функция $F(x,y)$ определена в $R^2$. Рассмотрим уравнение
$$
F(x,y)=0.\label
$$

Множество $G_F$ точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению \eqref, было названо графиком уравнения. Через $A_F$ будем обозначать проекцию графика $G_F$ на ось $x$. Будем рассматривать такие уравнения \eqref, графики которых не есть пустые множества.

Так, график уравнения $x^2 + y^2 — 1 = 0$ есть окружность, график уравнения $(x-1)(x+y-1)=0$ есть пара прямых $x = 1$ и $x+y-1=0$ (рис. 28.1).

Рис. 28.1

Если график $G_F$ уравнения \eqref взаимно однозначно проектируется на $A_F$, то существует единственная функция $f: \; A_F\rightarrow R$, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_F$ ставит в соответствие тот единственный $y$, для которого $F(x,y)=0$. Говорят, что уравнение \eqref определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Но, как правило, график уравнения \eqref не проектируется взаимно однозначно на $A_F$. Тогда на $A_F$ в общем случае определено бесконечное множество функций, графики которых совпадают с некоторым подмножеством графика $G_F$ уравнения \eqref. Так, разбивая отрезок $[-1,1]$ точками \(x_0= -1 Рис. 28.2

Меняя местами переменные $x$ и $y$, можно говорить о том, что уравнение \eqref определяет в некотором прямоугольнике переменную $x$ как неявную функцию переменной $y$.

Докажем теорему, дающую достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением \eqref в некотором прямоугольнике.

функция $F(x,y)$ имеет в окрестности точки $(x_0,y_0)$ непрерывные частные производные $F_x(x,y)$ и $F_y(x,y)$;
$F(x_0,y_0)=0$;
$F_y(x_0,y_0)\neq 0$.

Тогда существует прямоугольник
$$
K = \<(x,y): \; x_0-a\leq x\leq x_0+a, \; y_0-b\leq y\leq y_0+b\>,\nonumber
$$
в котором уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$. Функция $y=f(x)$ непрерывно дифференцируема на интервале $(x_0-a,x_0+a)$ и
$$
f'(x)=-\frac.\label
$$

$\circ$ Разобьем доказательство на два пункта.

Доказательство существования неявной функции. Из условия $F_y(x_0,y_0)\neq 0$ следует, что либо $F_y(x_0,y_0) > 0$, либо $F_y(x_0,y_0) 0.\label
$$
Если \(F_y(x_0,y_0) 0$.

Так как функция $F_y(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$ непрерывна и в силу условия \eqref принимает в этой точке положительное значение, то найдется такой прямоугольник (рис. 28.3)
$$
K_1=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a_1, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
в котором функция $F_y(x,y) > 0$.

Рис. 28.3

Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\psi (y)=F(x_0,y),\quad y_0-b\leq y\leq y_0+b.\nonumber
$$
Функция $\psi (y)$ строго возрастает на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$, так как
$$
\psi'(y)=F_y(x_0,y) > 0.\nonumber
$$
Кроме того, в силу условия $F(x_0,y_0)=0$
$$
\psi (y_0) = F(x_0,y_0) = 0.\nonumber
$$
Поэтому
$$
\psi (y_0-b)= F(x_0,y_0-b) 0.\label
$$
Неравенства \eqref в силу непрерывности функции $F(x,y)$ должны сохраняться в некоторых окрестностях точек $(x_0,y_0-b)$ и $(x_0,y_0+b)$. Поэтому существует такое $a\in (0,a_1)$, что для всех $x\in [x_0-a,x_0+a]$ выполнены неравенства
$$
F(x,y_0-b) 0.\label
$$
Покажем, что в прямоугольнике
$$
K=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Возьмем любую точку $x^*\in [x_0-a,x_0+a]$ и рассмотрим непрерывную на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$ функцию одной переменной $\varphi (y)=F(x^*,y)$. В силу условия \eqref эта функция принимает на концах отрезка значения разных знаков:
$$
\varphi(y_0-b)= F(x^*,y_0-b) 0.\nonumber
$$
По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка $y^*\in [y_0-b,y_0+b]$, что
$$
\varphi(y^*) = F(x^*,y^*)=0.\nonumber
$$

Так как $\varphi'(y) = F_y(x^*,y) > 0$, то функция $\varphi(y)$ строго возрастает на отрезке $[y_0-b,y_0+b]$ и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.

Таким образом, для любого $x\in [x_0-a,x_0+a]$ найдется единственный $y\in [y_0-b,y_0+b]$ такой, что $F(x,y) = 0$. Это означает, что в прямоугольнике $K$ уравнение $F(x,y) = 0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной функции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике $K$ функция $F_y(x,y)$ по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике свое наименьшее значение $\alpha$. Так как $F_y(x,y) > 0$ на $K$, то
$$
F_y(x,y)\geq a > 0,\qquad (x,y)\in K.\label
$$

Непрерывная на $K$ функция $F_x(x,y)$ ограничена на $K$. Поэтому
$$
|F_x(x,y)| Замечание 1.

Если известно, что уравнение $F(x,y)=0$ определяет в прямоугольнике $a\leq x\leq b, \; c\leq y\leq d$ переменную $y$ как неявную функцию $x$, то связь между $dy$ и $dx$ можно установить, формально дифференцируя тождество $F(x,y(x)) = 0$. Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получаем
$$
F_x(x,y)dx + F_y(x,y)dy = 0.\nonumber
$$
Дифференцируя последнее тождество еще раз, можем найти второй дифференциал $d^2y$
$$
F_ dx^2 + 2F_ dx dy + F_ dy^2 + F_y d^2y = 0.\nonumber
$$

Неявные функции, определяемые системой уравнений.

Рассмотрим систему $m$ уравнений с $n+m$ неизвестными
$$
\left\<\beginF_1(x_1,\ldots,x_n,x_,\ldots,x_)=0,\\…..\\F_m(x_1,\ldots,x_n,x_,\ldots,x_)=0\end\right.\label
$$

При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобно пользоваться понятием декартова произведения множеств. Если $A$ и $B$ — произвольные множества, то их декартово произведение $A\times B$ есть множество пар $(x,y)$, где $x\in A$, $y\in B$. Так, декартово произведение $[a,b]\times [c,d]$ есть множество пар вещественных чисел таких, что $a\leq x\leq b,$ и $c\leq y\leq d$, то есть прямоугольник в $R^2$.

Клеточной окрестностью точки $x^0 =(x_1^0,\ldots,x_n^0)$ будем называть следующее множество:
$$
K(x^0)=\\>,\nonumber
$$
где $\varepsilon_i, \; i =\overline<1,n>$ — положительные числа, $x = (x_1,…,x_n)$.

Легко видеть, что в том случае, когда $K_1(x^0)\subset R^n$ и $K_2(y^0)\subset R^m$ — клеточные окрестности, их декартово произведение $K_1(x^0)\times K_2(y^0)$ есть клеточная окрестность точки $(x^0,y^0)=(x_1^0,…,x_n^0,y_1^0,…,y_m^0$ в пространстве $R^$.

Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая $x=(x_1,…,x_n), \; y=(y_1,…,y_m)$, где $y_1=x_,…,y_m=x_$.

Тогда систему уравнений \eqref можно записать в более кратком виде:
$$
F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>.\label
$$

Функции $F_i(x,y) = 0$ будем считать определенными в некоторой клеточной окрестности точки $(x^0,y^0)$.

Пусть $K(x^0)\subset R^n$ и $Q(y_0)\subset R^m$ есть клеточные окрестности. Будем говорить, что система уравнений $F_i(x,y)=0, \; i=\overline<1,m>$, определяет в $K(x^0)\times Q(y_0)$ переменные $y_1,…,y_m$ как неявные функции переменных $x_1,…,x_n$, если для любого $x\in K(x^0)$ найдется единственный $y\in Q(y^0)$ такой, что $F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>$.

Пусть выполнены следующие условия:

Тогда найдутся клеточные окрестности $K(x^0) \subset R^n$ и $Q(y^0) \subset R^m$ такие, что в $K(x^0)\times Q(y^0)$ система уравнений \eqref определяет переменные $y_1,…,y_m$ как неявные функции переменных $x_1,…,x_n$. Неявные функции $y_j =\varphi_j(x)$ непрерывно дифференцируемы в $K(x^0)$ и $y_j^0=\varphi_j(x^0), \; j=\overline<1,m>$.

$\circ$ Воспользуемся методом индукции по числу уравнений $m$. При $m=1$ доказательство теоремы 2 не отличается от доказательства теоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случай теоремы 2 как на теорему 1).

Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, когда система \eqref содержит $m-1$ уравнение. Докажем, что тогда теорема верна и для системы \eqref из $m$ уравнений.

Так как определитель \eqref отличен от нуля, то, раскладывая его по элементам последней строки, получаем, что хотя бы один из соответствующих миноров $m-1$-го порядка отличен от нуля. Пусть, например
$$
<\begin\displaystyle\frac<\partial F_1><\partial y_1>&…&\displaystyle\frac<\partial F_1><\partial y_>\\…&…&…\\\displaystyle\frac<\partial F_><\partial y_1>&…&\displaystyle\frac<\partial F_><\partial y_>\end>_<(x^0,y^0)>\neq0\nonumber
$$
(Здесь и в дальнейшем символ $0$ означает, что значение соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом $0$).

Тогда в силу индукции найдутся такие клеточные окрестности
$$
\beginK_1=\displaystyle\left\<(x,y_m): \; \vert x_i-x_i^0\vert\leq\varepsilon_i’, \; i=\overline<1,n>, \; \vert y_m-y_m^0\vert Замечание 2.

Существует несколько способов доказательства теоремы о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.

Локальная обратимость регулярного отображения.

Пусть на множестве $E\subset R^n$ заданы $n$ функций
$$
f_1(x),…,f_n(x).\nonumber
$$

Они задают отображение $f: \; E\rightarrow R^n$, которое каждой точке $x\in E$ ставит в соответствие точку $y=f(x)$, где
$$
y_1=f_1(x),\quad,…,\quad y_n=f_n(x).\nonumber
$$

Точка $y=f(x)$ называется образом точки $x$ при отображении $f$. Точка $x$ называется прообразом точки $y$.

Если $\Omega\subset E$, то множество
$$
f(\Omega)=\\nonumber
$$
называется образом множества $\Omega$ при отображении $f$. Если $\omega\subset f(E)$, то множество
$$
f^<-1>(\omega)=\\nonumber
$$
называется прообразом множества $\omega$.

Пусть $G \subset R^n$ есть открытое множество. Отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ называется непрерывным в точке $x^0$, если $\forall \varepsilon > 0 \; \exists\delta > 0$ такое, что $\forall x$ таких, что \(\rho(x,x^0) Лемма 1.

Если $G$ есть открытое множество, а $f: \; G\rightarrow R^n$ — непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества $\omega\in f(G)$ есть открытое множество.

$\circ$ Пусть $\Omega= f^<-1>(\omega)$. Возьмем любую точку $x^0\in\Omega$. Тогда $f(x^0)=y^0\in \omega$. Так как множество $\omega$ открыто, то найдется окрестность $S_<\varepsilon>(y^0)\in \omega$. В силу непрерывности отображения $f$ в точке $x^0$ найдется шаровая окрестность $S_<\delta>(x^0)$, для которой выполнено условие \eqref.

Следовательно,
$$
S_<\delta>(x^0)\subset f^<-1>(\omega)\subset\Omega,\nonumber
$$
и $\Omega$ — открытое множество. $\bullet$

Как обычно, под окрестностью $A(x^0)$ точки $x^0$ будем понимать любое множество $A$, для которого точка $x^0$ внутренняя.

Пусть $G \subset R^n$ — открытое множество. Отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции $f_1(x),…,f_n(x)$, задающие это отображение, непрерывно дифференцируемы в $G$. Непрерывно дифференцируемое отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ будем называть регулярным, если в области $G$ якобиан отображения $j_f(x)\neq 0$. Якобианом отображения $j_f(x)$ называется следующий функциональный определитель:
$$
j_f(x)=\begin\frac<\partial f_1(x)><\partial x_1>&…&\frac<\partial f_1(x)><\partial x_n>\\…&…&…\\\frac<\partial f_n(x)><\partial x_1>&…&\frac<\partial f_n(x)><\partial x_n>\end.\nonumber
$$

Пусть $G$ — открытое множество в $R^n$, а отображение $f: \; G\rightarrow R^n$ регулярно. Тогда в каждой точке $x^0\in G$ оно локально регулярно обратимо, то есть $\forall x^0\in G$ найдутся такие окрестности $A(x^0) \subset G$ и $B(y^0)\subset f(G)$, где $y^0= f(x^0)$, что отображение $f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)$ будет взаимно однозначным, причем обратное отображение $f^<-1>: \; B(y^0)\rightarrow A(x^0)$ регулярно.

$\circ$ Рассмотрим в $G\times R^n$ систему уравнений
$$
F_i(x,y)\equiv y_i-f_i(x)=0,\quad i=\overline<1,n>.\label
$$

Пусть $x^0$ — произвольная точка множества G и $y^0=f(x^0)$. Тогда функции $F_i(x,y)$ непрерывно дифференцируемы в $G\times R^n$ и $y_i^0= f_i(x^0), \; i=\overline<1,n>$. Так как отображение $f$ регулярно, то
$$
<\begin\frac<\partial F_1><\partial x_1>&…&\frac<\partial F_1><\partial x_n>\\…&…&…\\\frac<\partial F_n><\partial x_1>&…&\frac<\partial F_n><\partial x_n>\end>_<(x^0,y^0)>=(-1)^nj_f(x^0)\neq0.\nonumber
$$
Для системы уравнений \eqref выполнены все условия теоремы 2 о неявных функциях. Поэтому найдутся такие клеточные окрестности
$$
\beginK(x^0)=\left\\right\>,\quad K(x^0)\subset G,\\Q(y^0)=\left\\right\>,\quad Q(y^0)\subset f(G),\end\nonumber
$$
что в $K(x^0)\times Q(y^0)$ система уравнений \eqref определяет переменные $x_1,…,x_n$ как неявные непрерывно дифференцируемые функции переменных $y_1,…,y_n$:
$$
\beginx_1=\varphi_1(y),\quad …,\quad x_n=\varphi_n(y),\\x\in K(x^0),\quad y\in Q(y^0),\quad x_i^0=\varphi_i(y^0),\quad i=\overline<1,n>.\end\label
$$
Пусть $B(y^0)$ есть внутренность $Q(y^0)$:
$$
B(y^0) = \left\

Если $f: \; G\rightarrow R^n$ есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества $\Omega\subset G$ есть открытое множество.

$\circ$ Пусть $\omega=f(\Omega)$. Возьмем произвольную точку $y^0\in\omega$ и пусть $x^0$ есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся такие окрестности $A(x^0) \subset \Omega$ и $B(y^0) \subset \omega$; что отображение $f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)$ регулярно обратимо. Поэтому каждая точка $y^0\in\omega$ принадлежит $\omega$ вместе с некоторой окрестностью $B(y^0)$. Множество $\omega=f(\Omega)$ открыто. $\bullet$

источники:

http://function-x.ru/derivative7.html

http://univerlib.com/mathematical_analysis/functions_several_variables/implicit_functions/