Линейная функция, ее свойства и график
теория по математике 📈 функции
Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.
Число k называется угловым коэффициентом прямой.
Свойства линейной функции
- Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
- Областью значений также является множество всех действительных чисел.
- Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
- При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
- При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
- При k=0 прямая параллельна оси х.
- Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.
Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.
Пример №1
Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:
х |
у |
Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).
х | 0 | 3 |
у |
Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:
у=2х – 1=2 × 0 – 1= –1;
у=2х – 1=2 × 3 – 1= 5.
Вписываем в таблицу значения у:
х | 0 | 3 |
у | –1 | 5 |
Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5),
Проводимость — способность живой ткани проводить возбуждение.
Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.
Пример №2.
Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.
х | 0 | 2 |
у | 4 | –2 |
По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).
Пример №3
Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:
Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.
На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.
В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:
График данной функции зависит от k и b.
- если k 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
- коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b 0, то выше ноля в точке y = b
- если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Задание №11 ОГЭ по математике
В 11-ом задании ОГЭ по математике идет работа с графиками функций. В большинстве случаев требуется установить соответствие между графиком функции и математическим выражением (формулой). В задании сопоставляется различная информация о функциях. Необходимо находить и использовать в выполнении задания область определения функции, ее промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, уметь читать графики функций. Работать надо с функциями, описывающими прямую пропорциональную зависимость, линейными функциями, гиперболами, квадратичными функциями.
Хотя на самом экзамене мы ожидаем работу именно с графиками функций, тем не менее в некоторых заданиях дается вместо рисунков их описание. Это делается, чтобы подчеркнуть те детали, на которые надо обратить внимание при работе с графиками функций.
Задание 11 несложное, тем не менее последние задания придуманы таким образом, чтобы любознательным школьникам было над чем подумать.
Ответом в задании 10 является набор цифр, описывающий соответствие между различными объектами.
Теория к заданию №11
Так как в данном задании речь идет о функциях и их графиках, приведем основные понятия и формулы.
На произвольном примере ознакомимся с исследованием функции:
- область определения и множество значений
- корни и критические точки
- промежутки возрастания убывания
Теперь рассмотрим данный материал на линейной функции:
y = kx + b
где k – угловой коэффициент, b – свободный член
Рассмотрим случай квадратичной функции:
Также вспомним, что такое коренная функция и модуль:
Я разобрал три случая — случай с параболой и влияние коэффициентов на вид параболы — в первом примере. Во втором примере разобрана гипербола и общие закономерности зависимости общего вида графика от математического выражения. Третий случай рассматривает прямую и варианты её построения в зависимости от коэффициентов.
Разбор типовых вариантов задания №11 ОГЭ по математике
Первый вариант задания (параболы)
На рисунках изображены графики функций вида
Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
В) a > 0, c 0, то ветви направлены вверх, а если a 0.
Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.
Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:
если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х
Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:
Второй вариант задания (гиперболы)
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Решение:
В данной ситуации можно воспользоваться двумя подходами — можно руководствоваться общими соображениями, а можно просто решить задачу подстановкой. Я рекомендую решать задачу общими соображениями, а проверять подстановкой.
- если уравнение гиперболы положительное (то есть не стоит знак -, как во втором и третьем случае), то график функции лежит в первой и третьей координатной четверти
- если перед уравнением гиперболы стоит знак — (как в первом случае), то график лежит во второй и четвертой четвертях
Таким образом можно сразу определить, что первое уравнение соответствует графику под номером 2.
Второе правило, которым я пользуюсь, звучит так:
- чем больше число в знаменателе гиперболы (рядом с x), тем сильнее гипербола жмется к осям координатной плоскости
- чем больше число в числителе уравнения гиперболы, тем слабее и медленнее график функции прижимается к осям
Следовательно, функция Б слабее прижимается к осям и ей соответствует график 3, а функции В соответствует график 1, так как она сильнее прижимается к осям.
Третий вариант задания (линейный график)
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Экзамен по алгебре в 9-м классе «Функции»
Разделы: Математика
№1. Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает в трех различных точках график функции
Построим график данной функции. Прямые y=2x+1 и
y=2x-3 параллельны ,т.к. у них одинаковый угловой коэффициент , равный 2. Прямая y= — 1 параллельна оси абсцисс.
y=2x+1, | y=2x — 3. |
y(0)= 1, y(-1)= -1, | y(0)= — 3, y(1)= — 1. |
Прямая n задана уравнением y=2x. Для нахождения уравнения прямой l необходимо подставить координаты точки А(-1; -1) в уравнение y=kx.
-1=(-1)k. Отсюда k=1. Уравнение прямой l имеет вид y=kx.
Для того чтобы искомая прямая m пересекала график данной функции в трех различных точках (рис.1), она должна располагаться между прямыми n и l. При этом 1
№2 Постройте график функции y = f(x), где
При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком этой функции три общие точки?
1. Графиком функции является парабола.
а) Ветви параболы направлены вниз.
б)
(–1;2) – координаты вершины параболы.
– координаты точек пересечения параболы и оси Оx (оси абсцисс).
(0;1) – координаты точки пересечения параболы и оси Оy(оси ординат).
2. Графиком функции является парабола.
а) Ветви параболы направлены вверх.
б)
– координаты точки вершины параболы.
– координаты точек пересечения параболы и оси Оx(оси абсцисс).
(0; – 5) – координаты точки пересечения параболы и оси Оy(оси ординат).
Найдём дополнительные точки для точного построения графика функции :
Найдём дополнительные точки для точного построения графика функции :
График данной функции (рис.2) только в трёх точках пересекают прямые
№ 3. Постройте график функции y= ¦ (x) , где
При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком этой функции две общие точки?
Построим график данной функции. Для этого проведем исследования.
1. Графиком функции y= — x — 4x – 3 является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:
x= = — 2, y= y( — 2 ) = -4+8-3= 1.
Определим точки пересечения параболы с осями координат:
x=0, y = -3; y=0, x= — 3, x= — 1. y (-4)= -16+16-3= — 3.
2. Графиком функции y= x + 1 является прямая.
y ( — 1 )= 0 , y (1) = 2.
3. Графиком функции y= является гипербола. В нашем случае достаточно построить одну ветвь гиперболы , т.к. нам нужна часть гиперболы при x > 1. y(1) = 2, y(2)= 1, y(4)=0,5.
График данной функции (рис.3) только в двух точках пересекает прямая y=0 и прямые y=m при 1
№ 4. Постройте график функции y = .
При каких значениях x выполняется неравенство y ? 3 ?
Найдем область определения функции:
2x — x 0, x (2 – x) 0, x 0, x 2.
Преобразуем выражение, задающее функцию:
y = = — (x + 1),
x, x=2, x= — 1.
Построим прямую y= -(x + 1)= — x – 1 и “ выколем ” на ней точки, абсциссы которых равны 0 и 2 (рис.4).
y(- 4) = 3, y(0) = -1, y( 2) = -3.
— 4 x 2.
Ответ: [- 4; 0) E (0; 2) E (2; + ? ).
№ 5. Постройте график функции y= .
1. Найдем область определения данной функции:
x+6x+8 0 ,
x+6x+8 =0, x= -4, x= -2.
Значит, областью определения является множество всех действительных чисел , кроме – 4 и – 2.
2. Для разложения числителя на множители решим уравнения :
а) x+7x+12=0, б) x+3x+2=0,
x= — 3, x= — 4 ; x= — 2, x= -1.
3. Упростим данную функцию:
y= = (x+3)(x+1)=x+4x+3 .
4.Исследуем полученную квадратичную функцию: графиком функции y = x+4x+3 является парабола , ветви которой направлены вверх, вершина её имеет координаты x= — 2, y= -1; точки пересечения с осями координат — x=0, y=3; y=0 при x=-3 и x=-1.
5. Построим параболу и “выколем” на ней точки, абсциссы которых равны — 4 и – 2, поскольку при этих значениях переменной исходная функция не определена (рис.5).
№ 6. Постройте график функции y= .
1. Найдем область определения данной функции:
2. Упростим данную функцию:
y== ==x+1.
3. Построим прямую y=x+1 на промежутках (- 1; — 1) и (1; + ) (рис.6).
№ 7. Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке 7.
Ломаная состоит из двух звеньев, одно из них является графиком линейной функции y=kx+b при x 2, а другое – графиком линейной функции при x > 2.
В каждом случае необходимо найти k и b.
Для этого необходимо на каждом из звеньев выбрать по две точки, подставить их координаты в уравнение линейной функции и решить две получившиеся системы уравнений относительно k и b.
1)На левом звене возьмем точки с координатами (-2;0) и (2; -6).
решая эту систему получаем b= — 3, k = — 1,5.
Получим уравнение прямой y= -1,5 x–3 при x 2.
2) На второй части ломаной возьмем точки с координатами (2; — 6) и (4;0).
вычитая из второго уравнения первое, получим k=3, а b= — 12.
Получим уравнение прямой y= 3x – 12 при x > 2.
Зададим теперь заданную графически функцию аналитически:
http://ezmath.ru/ogje/zadanie-11/
http://urok.1sept.ru/articles/551125