Построение графиков функций
О чем эта статья:
11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — наглядно.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида область определения выглядит так
- х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
- стационарные и критические точки;
- точки экстремума;
- нули функции;
- точки разрыва функции.
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
- Найти область определения функции.
- Найти область допустимых значений функции.
- Проверить не является ли функция четной или нечетной.
- Проверить не является ли функция периодической.
- Найти нули функции.
- Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
- Найти асимптоты графика функции.
- Найти производную функции.
- Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
- На основании проведенного исследования построить график функции.
x | y |
0 | -1 |
1 | 2 |
Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.
x | y |
0 | 2 |
1 | 1 |
k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.
x | y |
0 | 0 |
1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.
Задача 5. Построить график функции
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б)
г)
д)
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а)
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Преобразование в одно действие типа f(x — a).
Сдвигаем график вправо на 1:
В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г)
Преобразование в одно действие типа
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д)
Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
Функция задана уравнением y 1 3x какая линия
Примеры
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
С применением синуса и косинуса
Гиберболические синус и косинус
Гиберболические тангенс и котангенс
Гиберболические арксинус и арккосинус
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Прямые на координатной плоскости
Линейная функция |
График линейной функции |
Прямые, параллельные оси ординат |
Уравнения вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые |
Линейная функция
Линейной функцией называют функцию, заданную формулой
y = kx + b, | (1) |
где k и b – произвольные (вещественные) числа.
При любых значениях k и b графиком линейной функции является прямая линия .
Число k называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число b – свободным членом .
График линейной функции
При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.
Рис.1 |
Рис.2 |
Рис.3 |
При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.
Рис.4 |
Рис.5 |
Рис.6 |
При k линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.
k y = kx + b1 и y = kx + b2 , имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены , параллельны . имеющие разные угловые коэффициенты , пересекаются при любых значениях свободных членов. y = kx + b1 и перпендикулярны при любых значениях свободных членов. Угловой коэффициент прямой линии
равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).
Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b . При прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле Прямые, параллельные оси ординатПрямые, параллельные оси Oy , задаются формулой
где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.
Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .; Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые
где p, q, r – произвольные числа. В случае, когда уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию . что и требовалось. В случае, когда получаем: откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3). В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид
и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости: В случае, когда уравнение (5) решений вообще не имеет. Замечание 2 . При любом значении r1 , не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением
параллельна прямой, заданной уравнением (4) . Замечание 3 . При любом значении r2 прямая линия, заданная уравнением
перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4) . Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и
В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде
где r1 – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде
где r2 – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство источники: http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/xy/ http://www.resolventa.ru/spr/algebra/degree1.htm |