Где и когда возникли уравнение

Из истории возникновения квадратных уравнений

Из истории возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 2. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = — 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если решить эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то можно прийти к решению уравнения:

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая

А двенадцать по лианам

Всласть поевши, развлекалась

Стали прыгать, повисая

Их в квадрате часть восьмая

Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась

Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 3 уравнение:

,

Бхаскара пишет под видом:

x2 — 64x = — 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

x2 — б4х + 322 = -768 + 1024,

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Задача 4. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.[3,75]

Квадратные уравнения в Европе XII—XVII в.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.[5,12].

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Итак, ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики связано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования.

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, надо знать:

· формулу нахождения дискриминанта;

· формулу нахождения корней квадратного уравнения;

· алгоритмы решения уравнений данного вида.

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

· преобразования данного уравнения к простейшим;

· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы «Квадратные уравнения»:

I этап – «Решение неполных квадратных уравнений».

II этап – «Решение полных квадратных уравнений».

III этап – «Решение приведенных квадратных уравнений».

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это уравнения вида: ах2 = 0, ах2 + с = 0, где с≠ 0, ах2 + bх = 0, где b ≠ 0. Рассмотрим решение несколько таких уравнений:

1. Если ах2 = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

Например, 5х2 = 0 . Разделив обе части уравнения на 5 получается: х2 = 0, откуда х = 0.

2. Если ах2 + с = 0, с≠ 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму:

1) перенести слагаемые в правую часть;

2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.

Например, х2 — 5 = 0,Это уравнение равносильно уравнению х2 = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два и — . Таким образом, уравнение х2 — 5 = 0 имеет два корня: x1 = , x2 = — и других корней не имеет.

3. Если ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) перенести общий множитель за скобки;

Например, х2 — 3х = 0. Перепишем уравнение х2 – 3х = 0 в виде х ( х – 3 ) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x1 = 0, x2 = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х ( х – 3 ) = 0 получится число, не равное нулю.

Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:

1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0;

2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x1 = 0; x2 = — ;

3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду ах2 = — с и далее х2.= — В случае, когда — 0, т. е. — = m, где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня

= , = —, (в этом случае допускается более короткая запись = .

Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a, b,c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D 0.

1. Если D 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: ; (1)

Например, 3х2 +8х – 11 = 0. Решение: а = 3, b = 8, с = -11. D = b2 – 4ас = 82 – 4*3*(-11) = 64 + 132 = 196.

Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:

.

Составляется алгоритм решения уравнения вида ах2 + bx + c = 0.

1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 – 4ас.

2. Если D 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня: ; .

Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.

Математики – люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой: . (2)

Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное выше правило; можно – записать сразу формулу (2) и с ее помощью делать необходимые выводы. [1,98].

На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х2 +px + q = 0 (3), где p и q – данные числа. Число p – коэффициент при х, а q – свободный член. Дискриминант уравнения равен: D = p2 – 4q. Рассматривают 3 случая:

1. D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле . (4)

2. D = 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как горят, два совпадающих корня:

Математические уравнения, которые изменили мир

Для большинства людей математика — это что-то скучное и совершенно ненужное в обычной жизни. Глядя на все эти цифры, сложно понять, что в них такого. На самом деле математика, наравне с физикой — самые важные предметы, ведь она по сути раскрывает секреты мироздания.

В этой статье мы расскажем о математических уравнениях, которые изменили мир. И, может быть, в очередной раз взглянув на эти цифры, ты уже будешь думать о них не просто как о наборе символов, а как о чем-то, что помогло человечеству продвинуться вперед.

Теорема Пифагора

Вряд ли кто-то не слышал или не видел этой теоремы, даже если он плохо учился в школе. Она говорит о том, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату гипотенузы. Если говорить простыми словами, то это отношение длин сторон прямоугольного треугольника.

Казалось бы, одна из самых простых формул, глядя на которую, глаза не начинают слезиться от огромного количества символов, но она сделала для человечества очень много. Помимо архитектуры и других инженерных дисциплин, теорема Пифагора применяется в навигации, картографии и других важных для человечества науках.

Теорему Пифагора применяют в таком большом количестве точных наук, что проще сказать, где она не используется. Несмотря на то, что теорема была открыта несколько тысячелетий назад, она до сих пор служит на благо человечества.

Закон всемирного тяготения Ньютона

Эта формула выглядит чуть сложнее, чем предыдущая, и она принесла не меньше благ человечеству. Исаак Ньютон, одна из самых выдающихся личностей в науке, открыл этот закон около 1666 года и буквально перевернул им мир.

Эта формула позволила лучше понять движение различных физических объектов и явлений. Причем Ньютон своим законом заложил основы для более сложных научных теорий, таких как Общая теория относительности и Квантовая гравитация.

Логарифмы

Пожалуй, самые нелюбимые формулы у школьников, ведь мало кто понимает их суть и необходимость. Может сейчас важность логарифмов и не так велика, но в прошлом, до появления цифровых компьютеров, они являлись наиболее быстрым способом умножения больших чисел.

Ну, и что такого, спросишь ты, умножать стали быстрее, как же это повлияло на мир? А так, что теперь ученые смогли сосредоточиться на воплощении своих теорий в жизнь, а не на долгих и нудных подсчетах.

Второй закон термодинамики

Второй закон термодинамики говорит о том, что в закрытой системе энтропия всегда постоянна и возрастает. Звучит непонятно, если не разобраться. Если сказать просто, то в системе, которая первоначально находится в упорядоченном неравномерном состоянии, например, горячая рядом с холодной, они будут стремиться к выравниванию, то есть к стабилизации температур, пока они не станут одинаковыми. Кроме того, уравнение говорит, что каждый раз, когда энергия изменяется или перемещается, она становится менее полезной.

Казалось бы, и что здесь такого, и чем это поменяло мир? А тем, что благодаря этому закону началось развитие двигателей внутреннего сгорания, современной металлургии, эффективного производства электроэнергии и других сфер деятельности.

Преобразование Фурье

Французский математик Жан-Батист Жозеф Фурье сформулировал свое уравнение интегралов еще в начале 19 века, но они до сих пор используются в науке. Если говорить простым языком, то преобразования Фурье необходимы для понимания более сложных волновых структур, например, человеческой речи, позволяя разбить беспорядочную функцию на комбинацию простых волн. Это значительно упрощает анализ сигналов.

Для каких сфер она несет пользу? Для астрономии, акустики, радиотехники и для других, работающих со звуком. Ты сталкиваешься с преобразованием Фурье каждый раз, когда слушаешь музыку или голосовое сообщение, включаешь радио в машине и так далее.

Концепция эквивалентности массы и энергии

Думаем, ты слышал об уравнении Альберта Эйнштейна, сформулированном им в 1905 году, хотя на самом деле оно было предложено еще до знаменитого ученого. Казалось бы, что в нем особенного, ведь оно куда короче всего того, что преподают на математике даже на гуманитарных факультетах. Но с этой концепцией человечество вступило в новую эпоху.

Опираясь на эту формулу, ученые изучают космос, строят ускорители частиц, стараются понять природу субатомного мира. Концепция стала настолько известной, что, наравне со значком атома, является одним из главных символов науки.

Уравнения Максвелла

Британский физик, математик и механик Джеймс Клерк Максвелл был весьма плодовит в плане науки и заложил основы современной классической электродинамики, а также ввел несколько понятий в физику, которые используются и по сей день.

Одним из главных трудов Максвелла стала система из 20 уравнений, описывающих работу электрических и магнитных полей, а также их взаимодействие. В настоящее время уравнения Максвелла представляют собой систему из четырех уравнений, которые можно описать следующими словами:

1. Электрический заряд является источником электрической индукции.
2. Магнитные заряды не обнаружены.
3. Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.
4. Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле.

Выглядит как китайская грамота для гуманитарных умов, но поверь, без этих четырех уравнений ты бы, возможно, не пользовался сейчас благами цивилизации вроде компьютеров, смартфонов и другой техники, работающей на электричестве, или, как минимум, они выглядели бы иначе.

Уравнение Шредингера

Многие знают ученого Эрвина Шредингера только по мысленному эксперименту «кота Шредингера». Но этот австрийский ученый сделал для науки куда больше, чем простой мысленный эксперимент, выведя уравнение, описывающее, как состояние квантовой системы изменяется со временем и определяет поведение атомов и субатомных частиц в квантовой механике.

Эта сложная формула открыла человечеству путь к атомной энергетике, микрочипам, квантовым вычислениям и другим важным для современного общества дисциплинам.

Где и когда возникли уравнение

История возникновения и развития уравнений.

Работу выполнила:
Ученица 8 «В» класса
Садомова Юлия Вадимовна

Учитель:
Неугасимова Н.М.

Глава 1. По страницам истории. …………………………………… 4
1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.…………………… 4
1.2. Квадратные уравнения в Индии. …………………………… 5 1.3. Квадратные уравнения у ал — Хорезми. …………………………… 7
1.4. Уравнения в Древней Греции. ……………………………… 8 1.5. Уравнения в Китае. ………………………………………………… 10
1.6. Страны арабского языка. Узбекистан. Таджикистан. 10
1.7. Средневековая Европа. …………………………………………… 11 10 Глава 2. Уравнения в 21 веке. 2.1 Основные понятия линий уравнений. …………………………… 13
2.2 Основные понятия уравнений. …………………………………… 14
2.3. Классификация преобразований уравнений. ……………… 15
2.4. Обобщённые приёмы решения уравнений. ……………………… 15
2.5. Искусство составлять уравнение. ……………………………… 15
2.6. Применение уравнений в жизни. …………………………………… 17
Заключение ……………………………………………… 18
Список литературы ………………………………………………… 19

По словам математика Лейбница
“Кто хочет ограничиваться настоящим без знания прошлого,
тот никогда его не поймет”.
Почему я заинтересовалась вопросом возникновения и развития уравнений?
С уравнениями мы знакомы еще с начальных классов. Я очень люблю решать уравнения и меня всегда интересовало, где и когда возникли уравнения, кто вывел закономерности составления и решения уравнений, для чего нужно изучать уравнения, как в обыденной жизни можно применить знания по данной теме.
Цель моей работы узнать историю возникновения уравнений, проанализировать применение уравнений в разных странах, найти общее в разрешении разных ситуаций из повседневной жизни с помощью уравнений.
Актуальность данного вопроса вытекает из того, что уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Необходимо четко определить систему умений и навыков, которые необходимы для решения уравнений различного характера.
Основной источник, который я использовала в своей работе это «История математики в школе VII – VIII классы» Г.И. Глейзера, в своей работе Герш Исаакович знакомит с теми разделами истории математики, которые изучаются в школе, эти исторические сведения повышают интерес к изучению математики и углубляют понимание изучаемого раздела математики. Еще я опиралась на материалы: А. Н. Бекаревич. «Уравнения в школьном курсе математики»; Е. В. Рисс «Математика».
Итак, в своей работе я рассматриваю следующие вопросы:
История возникновения и развития уравнений
Основные понятия линий уравнения.
Обобщенные приемы решения уравнений с одной переменной.
Изучение основных классов уравнений и их систем.
Искусство составлять уравнение.

Глава 1. История возникновения уравнений.
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Уже около 4000 лет назад вавилонские учёные владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, одно из которых второй степени. Среди клинописных текстов были найдены примеры решения неполных, а также частичных случаев полных квадратных уравнений.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений, уравнения записывались в словесной форме.
Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что они пользовались квадратичной формулой для решения квадратных уравнений и могли решать некоторые специальные типы задач, включавших до десяти уравнений с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвёртой степени. На глиняных табличках запечатлены только задачи и основные шаги их решения. Так как для обозначения неизвестных величин использовалась геометрическая терминология, то и методы решения в основном заключались в геометрических действиях с линиями и площадями. Что касается алгебраических задач, то они формулировались и решались в словесных обозначениях.
1.2. Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ax2 + bх = с, а> 0. (1)
В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
3адача №1

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам
Всласть поевши, развлекалась Стали прыгать, повисая
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее задаче 1 уравнение
Бхаскара пишет под видом
x2 — 64x = — 768
и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

x2 — б4х + 322 = -768 + 1024,
(х — 32)2 = 256,
х — 32= ±16,
x1 = 16, x2 = 48.

1.3. Квадратные уравнения у ал-Хорезми
В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.
2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.
Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
Приведем пример. Задача №2
«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
Считают, что слово «Алгебра» произошло от названия сочинения Мухаммеда аль-Хорезми «Аль — джебр и аль — мукабала», в котором впервые алгебра излагалась как самостоятельный предмет.
1.4. Уравнения в древней Греции.
Первые сокращённые обозначения для неизвестных величин встречаются у древнегреческого математика Диофанта. Неизвестное Диофант именует «аритмос» (число), вторую степень неизвестного – «дюнамис». Третью степень называет «кюбос» (куб) и т. д.
В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических построений. Методы, которые не связывались с геометрией, впервые приводит Диофант Александрийский в III в. н.э. В своих книгах «Арифметика» он приводит примеры решения неполных квадратных уравнений, ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из задач. Задача №3
« Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 – х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение (10 + х)(10 – х) = 96, 100 — х = 96, х — 4 = 0. Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12,другое 8. Решение х = — 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Задача №4
В одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минуло седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только пол жизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Задача загадка сводится к составлению и решению уравнения:
Вывод:
х + х + х + 5 + х + 4 = х, откуда х = 84 лет жил Диофант.
1.5. Уравнения в Китае.
За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Им были знакомы отрицательные и иррациональные числа. Так как в китайском письме каждый знак обозначает некоторое понятие, то в китайской алгебре не могло быть «сокращённых» обозначений. В следующие эпохи китайская математика обогатилась новыми достижениями. Так, в конце 13 века китайцы знали закон образования биноминальных коэффициентов, известный ныне под именем «Треугольник Паскаля». В западной Европе этот закон был открыт на 250 лет позднее.

1.6. Страны арабского языка. Узбекистан. Таджикистан.

Поэт, учёный Омар Хайям написал «Алгебру» — выдающееся сочинение, в котором содержалось систематическое исследование уравнений третьей степени. Он также успешно занимался проблемой иррациональных и действительных чисел. Ему принадлежит философский трактат «О всеобщности бытия». В 1079г. он ввел календарь, более точный, чем современный григорианский.
1.7. Средневековая Европа.
В 12 веке «Алгебра» аль-Хорезми стала известна в Европе и была переведена на латинский язык. С этого времени начинается развитие науки в европейских странах. Появляются сокращённые обозначения неизвестных, решается ряд новых задач, связанных с потребностями торговли.
В первой трети 16 века итальянцы дель – Ферро и Тарталья нашли правила для решения кубических уравнений вида х + px = q; х = px + q; х + q = px, а Кардана в 1545г. показал, что всякое кубическое уравнение сводится к одному из этих трёх. В тоже время Феррари, ученик Кардана, нашёл решение уравнения 4-й степени.
В конце 16 века выдающийся французский математик Франсуа Виет, один из основоположников алгебры, ввёл буквенные обозначения, притом не только для неизвестных, но и для известных величин (неизвестные обозначались заглавными гласными буквами, известные – заглавными согласными).
В середине 17 века алгебраическая символика, благодаря французскому учёному Декарту приобретает вид, очень близкий нынешнему.
Общее правило решения квадратных уравнений было сформировано немецким математиком Штифелем (1487 – 1567). Выводом формулы общего решения квадратных уравнений занимался Виет. Он же вывел формулы зависимости корней уравнения от коэффициентов в 1591году. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений приобрёл современный вид.
Таким образом, я могу сделать вывод, что полезно знать, кто и когда вывел закономерности составления и решения уравнений. Если бы не эти люди, то мы возможно и в 21 веке не придумали бы как решать уравнения разных степеней, а тем более системы из этих уравнений.

Глава 2. Уравнения в 21 веке.

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.
Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться зачатки алгебраических представлений.
Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.
Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.
2.1. Основные понятия линий уравнения.
Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:
a) уравнение как средство решения текстовых задач;
b) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.
с) уравнение как средство исследования функции.
Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств, в школьном курсе математики.
а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике.
В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.
б) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем.
Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b—неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.
в) Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.).
Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений заключается, прежде всего, в возможности использования ее понятий для описания алгоритмов решения уравнений и систем различных классов.
2.2. Основные понятия уравнений.
Переход к определению уравнения осуществляется на основе анализа содержания задачи в алгебраической форме. Аналогично вводится и понятие корня уравнения.
Вот эти определения:
«Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство».
Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина: «решить уравнение». Определение: «Решить уравнение, значит найти все его корни или доказать, что корней нет».
Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение».
2.3. Классификация преобразований уравнений и их систем.
Можно выделить основные типы преобразований:
1) Преобразование одной из частей уравнения.
Такие преобразования используются при необходимости упрощения выражения, входящего в запись решаемого уравнения.
2) Согласованное преобразование обеих частей уравнения.
Эти преобразования состоят в согласованном изменении обеих частей уравнения в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций.
2.4. Обобщенные приемы решения уравнений.
Для того чтобы решить любое уравнение с одной переменной, надо знать: во-первых, правило, формулы или алгоритмы решения простейших уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим.
Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
1) преобразования данного уравнения к простейшим;
2) решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.
2.5. Искусство составлять уравнение.
Язык алгебры — уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический », — писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический, Ньютон показал на примерах. Вот один из них: Задача №5
На родном языке На языке алгебры
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х — 100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х — 100) + х — 100 / 3 = 4х — 400 / 3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью часть. 4х — 400 / 3 — 100 = 4х — 700 / 3
4х — 700 / 3 + 4х — 700 / 9 = 16х — 2800 / 9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов 16х — 2800 / 9 — 100 = 16х — 3700 / 9
После того как он добавил к остатку третью его часть. 16х — 3700 / 9 + 16х — 3700 / 27 =
= 64х — 14800 / 27
Капитал его стал вдвое больше первоначального 64х — 14800 / 27 = 2х
Умножим уравнение на 27 получим
64х- 14800 = 54х, 10х = 14800, х = 1480.

Задача №6
Из корзины яиц взяли половину всего количества яиц, потом ещё половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. После этого в корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц было в корзине первоначально?
Решение: Всего х – яиц. х — х = х; х — * х = х;
х — * х = х; х — * х = х; х = 10; х = 160.
2.6. Применение уравнений в жизни
Использование уравнений в экономике:
3адача №7
Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возрасла на 5%?
Решение: Пусть х руб. – заработная плата при 8 – часовом рабочем дне.
На 0,05х руб. возросла зарплата. (х + 0,05х) руб. – заработная плата после повышения производительности труда.
руб/ч – производительность труда при 8 – часовом рабочем дне.
руб/ч — производительность труда при 7 – часовом рабочем дне.
На — = = = руб/ч увеличилась производительность труда.
составляет 100%, тогда составляет 20%. Ответ: 20%.

Использование уравнений в сельском хозяйстве:
3адача №8
Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 часов. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если скорости выполнения работы бригадами относятся, как 3 : 2?

Решение: Пусть t ч – время, за которое первая бригада может обработать участок; t ч- время, за которое вторая бригада может обработать участок.
Обе бригады за 1 час вместе обрабатывают часть участка.
И, следовательно, .
По условию t = t . Тогда + , , , ,
t = = 20. Ответ: 20часов и 30 часов.
Итак, я могу сделать вывод, что язык алгебры — уравнения. Чтобы решить задачу с помощью уравнения, необходимо перевести текст задачи с родного языка на язык алгебраический. Уравнения широко используются в различных разделах математики, а также в повседневной жизни: экономике, сельском хозяйстве и т.д.

В своей работе я проследила историю возникновения и развития уравнений. Оказывается, решать уравнения могли еще в глубокой древности, чтобы решить уравнение учёным приходилось делать большие вычисления.
Например, древние греки решали квадратные уравнения графическим методом. Рене Декарт мог решать графическим методом уравнения 2-й,3-й,4-й степеней.
Уравнениями занимались такие известные математики как Эйлер, Виет, Ньютон, Гаусс.
Зарождение математики произошло от потребностей человека решать проблемы быта и существования, постепенно математика стала развиваться как самостоятельная наука.
Так же я узнала интересный факт, что в Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Решение уравнений имеет особое место и в 21 веке.
В повседневной жизни, экономике, сельском хозяйстве и т.д. нам приходится решать задачи с помощью уравнений.
В заключении мне хотелось бы отметить важность ознакомления с историческими фактами: расширяется умственный кругозор, повышается интерес к математике, углубляется понимание изучаемого, повышается общая культура и осознание роли математики в современном обществе.
Моя работа содержит лишь малую часть истории математики и истории развития уравнений, я нашла очень большой и интересный материал по данной теме, так, что планирую на будущее продолжить эту работу.
Список литературы
1. А. Н. Бекаревич «Уравнения в школьном курсе математики» Минск. 1968 г., 99 стр.
2. В. С. Гиренович «Математика в школе» № 3 Виды самостоятельных работ. 1998 г., 187 стр.
3. Г. И. Глейзер «История математики в школе VII – VIII классы» Москва «Просвещение» 1982 г., 230 стр.
4. И.Я. Депман «История арифметики» Москва «Просвещение» 1979 г., 405 стр.
5. В. Г. Коваленко «Дидактические игры на уроках математики» Москва «Просвещение» 1990 г.,70 стр.
6. С. А. Пиляковский «Алгебра 8 класс» Москва «Просвещение» 1991 г., 270 стр.
7. Г. А. Пичурина «Математика» № 7 Практикум по алгебре 2000 г., 360 стр.
8.
. Е. В. Рисс «Математика»
№ 6 Дидактические материалы по алгебре 2000 г., 80 стр
9 М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра в древнем мире.
Москва «Наука» 1967, 246 стр.

10 К.А. Рыбников, История математики Москва «Наука», 1974, 113 стр.

11 Д.Я.Стройк, Краткий очерк истории математики.5-е издание, исправленное.
Москва «Наука», 1990, 57 стр.

1. А. Н. Бекаревич «Уравнения в школьном курсе математики» Минск. 1968 г. стр. 99
2. В. С. Гиренович «Математика в школе» № 3 Виды самостоятельных работ. 1998 г. стр. 187
3. Г. И. Глейзер «История математики в школе VII – VIII классы» Москва «Просвещение» 1982 г. стр. 230
4. И.Я. Депман «История арифметики» Москва «Просвещение» 1979 г. стр. 405
5. В. Г. Коваленко «Дидактические игры на уроках математики» Москва «Просвещение» 1990 г. стр. 70
6. С. А. Пиляковский «Алгебра 8 класс» Москва «Просвещение» 1991 г. стр. 270
7. Г. А. Пичурина «Математика» № 7 Практикум по алгебре 2000 г., стр. 360
8.

11. Е. В. Рисс «Математика»

М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра в древнем мире.