11.3.6. Решение систем показательных уравнений
Что является обязательным при решении системы показательных уравнений? Конечно, преобразование данной системы в систему простейших уравнений.
Решить системы уравнений:
Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы.
Решаем (2) -ое уравнение полученной системы:
2 х +2 x +2 =10, применяем формулу: a x + y =a x ∙a y .
2 x +2 x ∙2 2 =10, вынесем общий множитель 2 х за скобки:
2 х (1+2 2 )=10 или 2 х ∙5=10, отсюда 2 х =2.
2 х =2 1 , отсюда х=1. Возвращаемся к системе уравнений.
Ответ: (1; 2).
Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2, а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5.
Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с основаниями 5.
Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.
Находим х=2 и это значение подставляем вместо х во второе уравнение системы.
Находим у.
Ответ: (2; 1,5).
Если в предыдущих двух примерах мы переходили к более простой системе приравнивая показатели двух степеней с одинаковыми основаниями, то в 3-ем примере эта операция невыполнима. Такие системы удобно решать вводом новых переменных. Мы введем переменные u и v, а затем выразим переменную u через v и получим уравнение относительно переменной v.
Решаем (2) -ое уравнение системы.
v 2 +63v-64=0. Подберем корни по теореме Виета, зная, что: v1+v2=-63; v1∙v2=-64.
Получаем: v1=-64, v2=1. Возвращаемся к системе, находим u.
Так как значения показательной функции всегда положительны, то уравнения 4 x = -1 и 4 y = -64 решений не имеют.
Представляем 64 и 1 в виде степеней с основанием 4.
Приравниваем показатели степеней и находим х и у.
Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Содержание:
Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:
Уравнения такого вида принято называть показательными.
Решении показательных уравнений
При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.
Пусть
Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.
Пример:
Решение:
Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению
Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:
Решив это уравнение, получим
Ответ:
При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно уравнению
Решая его, получаем:
Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим
б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим
Ответ:
При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Обозначим тогда
Таким образом, из данного уравнения получаем
откуда находим:
Итак, с учетом обозначения имеем:
При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Пример:
При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?
Решение:
Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство
Решив это уравнение, найдем
Ответ: при
Показательные уравнения и их системы
Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:
Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.
1 Приведение к одному основанию.
Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда
Пример №1
Решите уравнение
Решение:
Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде
Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.
Пример №2
Решить уравнение
Решение:
Переходя к основанию степени 2, получим:
Согласно тождеству (2), имеем
Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.
2 Введение новой переменной.
Пример №3
Решить уравнение
Решение:
Применив тождество 2, перепишем уравнение как
Введем новую переменную: Получим уравнение
которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,
Пример №4
Решить уравнение
Решение:
Разделив обе части уравнения на получим:
последнее уравнение запишется так:
Решая уравнение, найдем
Значение не удовлетворяет условию Следовательно,
Пример №5
Решить уравнение
Решение:
Заметим что Значит
Перепишем уравнение в виде
Обозначим Получим
Получим
Корнями данного уравнения будут
Следовательно,
III Вынесение общего множителя за скобку.
Пример №6
Решить уравнение
Решение:
После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим
Системы простейших показательных уравнений
Пример №7
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей
системе :Отсюда получим систему
Очевидно, что последняя система имеет решение
Пример №8
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:
Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим
Пример №9
Решите систему уравнений:
Решение:
Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:
Очевидно, что эта система уравнений имеет решение
Тогда получим уравнения
Приближенное решение уравнений
Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что
Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.
Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .
Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности
- вычисляется значение f(х) выражения
- отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
- вычисляется значение выражения f(х) в точке
- проверяется условие
- если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
- если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
- для нового отрезка проверяется условие
- если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.
Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:
Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения
Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству
Пример №10
Найдите интервал, содержащий корень уравнения
Решение:
Поделив обе части уравнения на 2 , получим,
Так как, для нового уравнения
Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,
выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия
Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).
Нахождение приближенного корня с заданной точностью
Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу
ПустьЕсли приближенный
корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.
Пример №11
Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью
Решение:
Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале
(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).
Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если
Пусть
Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Показательные уравнения и системы
п.1. Определение показательного уравнения
Например:
1) \(5^
Мы получили решение: \(x=\pm 1\)
2) \(\left(\frac13\right)^<\sqrt
Мы получили решение: \(x=4\frac14\)
п.2. Методы решения показательных уравнений
Для решения показательных уравнений применяются следующие методы:
1) переход от уравнения \(a^
2) графический метод;
3) замена переменной.
Первый метод был продемонстрирован выше, второй – показан в примере 3 предыдущего параграфа (§26 данного справочника).
Рассмотрим третий метод.
Решим уравнение \(9^x-6\cdot 3^x-27=0\)
Заметим, что \(9^x=3^<2x>\). Проведём замену переменной \(t=3^x\gt 0\)
Получаем: \(t^2-6t-27\Rightarrow (t+3)(t-9)=0\Rightarrow \left[ \begin
Возвращается к исходной переменной: \(3^x=9\Rightarrow 3^x=3^2\Rightarrow x=2\)
Ответ: 2
При замене переменной в показательном уравнении необходимо помнить, что область значений показательной функции \(t=a^x\gt 9\) — всегда положительна.
п.3. Примеры
в) \(3^x\cdot 4^
Выражение слева: \(3^x\cdot 4^
Подставляем: \(\frac14\cdot 12^x=\frac14\cdot 12^<3-2x>\)
\(12^x=12^<3-2x>\)
\(x=3-2x\)
\(3x=3\)
\(x=1\)
Ответ: 1
e) \(5^x-5\cdot 5^<-x>=4\)
Замена: \(t=5^x\gt 0\)
\(t-\frac5t-4=0\Rightarrow\frac
\( \Rightarrow \left[ \begin
\(5^x=5\)
\(x=1\)
Ответ: 1
в) \(x\cdot 3^
\(x\cdot 3^
\(3^
\(3^
\(\left(3^
\( \left[ \begin
Решаем первое уравнение:
\( \begin
ОДЗ: \( \begin
\(x^2-2x+1=7-x\Rightarrow x^2-x-6\Rightarrow (x+2)(x-3)=0\Rightarrow \left[ \begin
Корень \(x=-2\notin [1;7]\) — не подходит по ОДЗ.
Остается только \(x=3\), который совпадает с корнем из скобки \((x-3)\).
Ответ: 3
г) \(5\cdot 3^<2x>+15\cdot 5^<2x-1>=8\cdot 15^x\) \begin
$$ 3t^2-8t+5=0\Rightarrow (3t-5)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin
д) \((2+\sqrt<3>)^x+(2-\sqrt<3>)^x)=4\)
Заметим, что \((2+\sqrt<3>)\cdot(2-\sqrt<3>)=4-3=1\Rightarrow 2-\sqrt<3>=\frac<1><2+\sqrt<3>>\)
\begin
\begin
e) \(2\sqrt
ОДЗ: \(x\geq 0\)
\begin
Остается \(x=1\). И ещё есть \(x=4\) из скобки (\(\sqrt
Ответ:
Пример 3. Решите систему:
a) \( \begin
в) \( \begin
Замена: \( \begin
г) \( \begin
\( \begin
Решаем первое уравнение: \(2^x+\frac<2^5><2^x>=12\)
\(t=2^x\gt 0\) \begin
Ответ:
д*) \( \begin
\begin
\begin
Получаем две пары решений: \( \left[ \begin
Возвращаемся к исходным переменным:
\( \left[ \begin
Ответ:
http://www.evkova.org/pokazatelnyie-uravneniya-i-neravenstva
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/pokazatelnye-uravneniya-i-sistemy/