Гдз решение уравнений методом замены переменной

Гдз по алгебре за 10 класс Мерзляк, Полонский, Якир. Учебник базовый уровень ФГОС Вентана-Граф

Авторы: Мерзляк А.Г. , Номировский Д.А. , Полонский В.Б. , Якир М.С. .

Издательство: Вентана-граф 2013-2022

Тип: Учебник, Базовый уровень

Десятый класс мог бы смело побороться за звание самого беззаботного года старшей школы. В отличие от девятого или одиннадцатого, ребята не тяготятся ожиданием очередной экзаменационной нервотрепки и в мае спокойно уйдут на последние школьные каникулы. Однако будни десятиклассника по-прежнему полны бесконечных домашних заданий, в том числе по алгебре – одному из самых сложных предметов, который с каждым новым этапом становится все насыщеннее. Детям предстоит научиться математическому анализу, освоить понятие производной и ее применение, изучить свойства и способы решения главных тригонометрических функций и уравнений соответственно. И все это сопровождается неустанными напоминаниями учителей про важность заблаговременной подготовки к грядущему ЕГЭ. Справиться с обеими этими задачами подросткам поможет виртуальный консультант ГДЗ по алгебре за 10 класс Мерзляк, ведь он вселяет в ребенка уверенность в собственных знаниях и открывает в нем тягу к самостоятельному труду.

Как работать с онлайн-решебником по алгебре для 10 класса от Мерзляка

Вопреки бытующему среди родителей и педагогов мнению о вреде ГДЗ, их появление вызвало динамичный рост общей успеваемости российских школьников. И заслуга тут не в бездумном списывании готовых ответов, а в регулярной, усердной и, что важнее, добровольной работе с онлайн-репетитором. Для достижения успеха в учебе, пользователю пособия всего лишь нужно придерживаться единственно верного алгоритма взаимодействия с ним, а он включает в себя три шага:

1. Попытаться выполнить упражнение или ответить на вопрос, опираясь только на свои познания в алгебре.
2. Заглянуть в задачник и свериться с данным там решением.
3. При обнаружении несовпадений найти и исправить ошибку.

Действуя по этому принципу, учащийся овладеет всеми практическими навыками, требующимися для успешной сдачи ЕГЭ.

Помимо скрупулезного следования порядку изложения тем в оригинальном УМК, книга привлекает обучающихся и другими положительными сторонами. Это, к примеру, удобная навигация по параграфам и номерам, интуитивно понятный интерфейс и, разумеется, достоверность информации и авторитетность предоставляющих ее специалистов. С ГДЗ по алгебре за 10 класс Мерзляка тяжелейшая техническая дисциплина превратится в интересный и доходчивый урок.

Метод замены переменной

Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.

Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

Заменим выражение \(x+\frac<1>\) буквой \(t\).

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).

Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:

Попробуем сделать замену здесь.

Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.

Примеры использования метода замены переменной

Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

Теперь используем метод замены.

Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).

Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

Ответ: \(±1\); \(±\) \(\frac<1><2>\) .

Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) — строго обязателен!

Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Приступим к решению.

Раскладываем левую часть неравенства на множители .

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

п.1. Метод подстановки

Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

п.2. Метод сложения

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Решаем методом подстановки: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Для нижнего уравнения: \( \mathrm \)
Подставляем в верхнее уравнение: \( \mathrm \)

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(x^2+y^2)xy=10>& \end\right. \)
Замена переменных: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(a^2-2b)b=10>& \end\right.\Rightarrow \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <9b-2b^2=10>& \end\right. \)
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm< D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac<9\pm 1><4>> = \left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Возвращаемся к исходным переменным: \( \left[\begin < l >\left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right.& \\ \left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \end\right. \)