Геометрическая модель линейного уравнения это

Геометрическая модель линейного уравнения это

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Нам часто встречались уравнения вида ах + b = 0, где а, b — числа, х — переменная. Например, bх — 8 = 0, х + 4 = О, — 7х — 11 = 0 и т. д. Числа а, Ь (коэффициенты уравнения) могут быть любыми, исключает лишь случай, когда а = 0.

Уравнение ах + b = 0, где а , называют линейным уравнением с одной переменной х (или линейным уравнением с одним неизвестным х). Решить его, т. е. выразить х через а и b, мы с вами умеем:

Ранее мы отмечали, что довольно часто математической моделью реальной ситуации служит линейное уравнение с одной переменной или уравнение, которое после преобразований сводится к линейному. А теперь рассмотрим такую реальную ситуацию.

Из городов A и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?

Составим математическую модель задачи. Пусть х км/ч — скорость первого поезда, у км/ч — скорость второго поезда. Первый был в пути 5 ч и, значит, прошел путь bх км. Второй поезд был в пути 3 ч, т.е. прошел путь Зу км.

Их встреча произошла в пункте С. На рисунке 31 представлена геометрическая модель ситуации. На алгебраическом языке ее можно описать так:

или
5х + Зу — 500 = 0.

Эту математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными х, у.
Вообще,

где а, b, с — числа, причем , — линейное уравнение с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у).

Вернемся к уравнению 5х + Зу = 500. Замечаем, что если х = 40, у = 100, то 5 • 40 + 3 • 100 = 500 — верное равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть таким: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 100 км/ч. Пару чисел х = 40, у = 100 называют решением уравнения 5х + Зу = 500. Говорят также, что эта пара значений (х; у) удовлетворяет уравнению 5х + Зу = 500.

К сожалению, это решение не единственно (мы ведь все любим определенность, однозначность). В самом деле, возможен и такой вариант: х = 64, у = 60; действительно, 5 • 64 + 3 • 60 = 500 — верное равенство. И такой: х = 70, у = 50 (поскольку 5 • 70 + 3 • 50 = 500 — верное равенство).

А вот, скажем, пара чисел х = 80, у = 60 решением уравнения не является, поскольку при этих значениях верного равенства не получается:

Вообще, решением уравнения ах + by + с = 0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много.

Замечание. Вернемся еще раз к уравнению 5х + Зу = 500, полученному в рассмотренной выше задаче. Среди бесконечного множества его решений имеются, например, и такие: х = 100, у = 0 (в самом деле, 5 • 100 + 3 • 0 = 500 — верное числовое равенство); х = 118, у = — 30 (так как 5 • 118 + 3 • (-30) = 500 — верное числовое равенство). Однако, являясь решениями уравнения, эти пары не могут служить решениями данной задачи, ведь скорость поезда не может быть равной нулю (тогда он не едет, а стоит на месте); тем более скорость поезда не может быть отрицательной (тогда он едет не навстречу другому поезду, как сказано в условии задачи, а в противоположную сторону).

Пример 1. Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у — 3 = 0 точками в координатной плоскости хОу.

Решение. Подберем несколько решений заданного уравнения, т. е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).

Построим в координатной плоскости хОу точки А (3; 0), B(2; 1), С (1; 2), D (0; 3), Е (- 2; 5) (рис. 32). Обратите внимание: все эти пять точек лежат на одной прямой I, проведем ее.

Говорят, что прямая I является графиком уравнения х + у — 3 = 0. Говорят также, что прямая I — геометрическая модель уравнения х + у — 3 = 0

Итак, если пара чисел (х; у) удовлетворяет уравнению х + у — 3 = 0, то точка М (х; у) принадлежит прямой I; если точка М(х; у) принадлежит прямой I, то пара (х; у) — решение уравнения х + у — 3 = 0. Например, точка Р(6; -3) принадлежит прямой I (рис. 32) и пара (6; -3) — решение уравнения х + у-3 = 0

Доказать теорему нам с вами пока не под силу — это будет сделано позднее, в курсе геометрии. Но пользоваться теоремой мы, конечно, имеем право уже сейчас.

Кстати, догадываетесь ли вы, откуда появился термин «линейное уравнение»? Это фактически напоминание о геометрической модели — прямой линии, которая служит график уравнения.

Пример 2. Построить график уравнения Зх-2у+6=0.

Решение. Подберем несколько решений заданного уравнения:

1) (0; 3); в самом деле, если х = 0, у = 3, то 3 • 0-2 • 3 + 6 = 0 — верное равенство (в уравнение Зx — 2у + 6 = 0 мы подставили значения х = 0, у = 3);

2) (- 2; 0); действительно, если х = — 2, у = 0, то 3 • (-2)-2 • 0 + 6 = 0 — верное равенство;

3) (2; 6); если х = 2, у = 6, то 3 • 2-2 • 6 + 6 = 0 — верное равенство;

4) (4; 9); если х = 4, у = 9, то 3 • 4-2 • 9 + 6 = 0 — верное равенство.

Построим точки (3; 3), (- 2; 0), (2; 6), (4; 9) на координатной плоскости хОу. Они лежат на одной прямой, проведем ее (рис. 33). Эта прямая и Рис. 33 есть график уравнения Зx — 2у + 6 = 0.

Пример решен, хотя и верно, но очень нерационально. Почему? Давайте рассуждать.

1. Мы знаем, что графиком линейного уравнения Зx — 2у + 6 = 0 является прямая (это утверждается в теореме). Чтобы провести прямую, достаточно указать две ее точки. Через две точки можно провести прямую и притом только одну — этому нас учит геометрия. Поэтому построенные выше четыре точки — это явный перебор. Достаточно было построить точки (0; 3) и (-2; 0) и с помощью линейки провести через них прямую.

2. Решения данного уравнения мы подбирали, т.е. угадывали. Угадать что-либо всегда труднее, чем действовать по определенному правилу. Нельзя ли было и здесь не угадывать, а действовать по какому-то правилу? Можно. Например, так. Дадим переменной х конкретное значение, например х = 0 (обычно пишут х₁ = 0). Подставив это значение в уравнение Зx — 2у + 6 = 0, получим: 3 • 0 — 2у + 6 = 0, т.е. -2у + 6 = 0. Из этого уравнения находим: у = 3 (обычно пишут у₁ = 3). Значит, если х = 0, то у = 3; пара (0; 3) — решение данного уравнения.

Дадим переменной х еще одно конкретное значение, например х = — 2 (обычно пишут хг = — 2). Подставив это значение в уравнение Зх-2у + 6 = 0, получим: 3 • (-2) — 2у + 6 = 0, т. е. — 2у = 0. Из этого уравнения находим у = 0 (обычно пишут у2 = 0). Значит, если х = -2, то у = 0; пара (- 2; 0) — решение данного уравнения.

Вот теперь мы в состоянии сформулировать алгоритм построения графика линейного уравнения ах + by + с = 0 (где, напомним, а,b,с — любые числа,

Алгоритм построения графика уравнения
ах + by + с = 0

Замечание. Чаще всего на первом шаге алгоритма берут значение х = 0. Второй шаг иногда немного изменяют: полагают у = 0 и находят соответствующее значение х.

Пример 3. Построить график уравнения

Решение. Будем действовать по алгоритму (с учетом замечания).

1) Положим х = 0, подставим это значение в уравнение 4х + Зу- 12 = 0, получим: 4 • 0 + Зу -12 = 0, Зу-12 = 0, у = 4.

2) Положим у = 0, подставим это значение в уравнение 4х + Зу — 12 = 0, получим: 4 • х + 3 • 0 — 12 — 0, 4х — 12 = 0, х = 3.

3) Построим на координатной плоскости хОу две точки: (0; 4) — она найдена на первом шаге алгоритма и (3; 0) — она найдена на втором шаге.

4) Проведем через точки (0; 4) и (3; 0) прямую. Это и есть искомый график (рис. 34).

Пример 4. Иванов и Петров посадили на своих садовых участках яблони, причем Петров посадил яблонь в 2,5 раза больше, чем Иванов. На следующий год они увеличили число яблонь (подсадили новые саженцы), причем у Иванова стало яблонь в 3 раза больше, чем было, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В итоге у них вместе стало 16 яблонь. Сколько яблонь посадили Иванов и Петров в первый год?

Первый этап. Составление математической модели. Пусть х — число яблонь, посаженных в первый год Ивановым, а у — число яблонь, посаженных в первый год Петровым. По условию задачи у = 2,5х. Здесь целесообразно умножить обе части уравнения на 2, получим: 2у = 5х. Это уравнение перепишем в виде:

Далее, на второй год Иванов увеличил число саженцев на своем участке в 3 раза и, значит, у него стало Зx яблонь. Петров увеличил число саженцев на своем участке в 2 раза, т. е. у него стало 2у яблонь. По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. Зх + 2у= 16. Перепишем это уравнение в виде

3x + 2у — 16 = 0. (2)

Математическая модель задачи готова, она состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными хну — из уравнений (1) и (2). Обычно в таких случаях уравнения записывают одно под другим и используют специальный символ — фигурную скобку:

Второй этап. Работа с составленной моделью. Интересующая нас пара чисел (х; у) должна удовлетворять и уравнению (1), и уравнению (2), т. е. интересующая нас точка (х; у) должна лежать как на прямой (1), так и на прямой (2). Что делать?

Ответ очевиден: надо построить прямую (1), затем прямую (2) и, наконец, найти точку пересечения этих прямых.

1) строим график уравнения Ьх — 2у = 0. Если х = 0, то у = 0; если х = 2, то у = 5. Проведем через точки (0; 0) и (2; 5) прямую I₁ (рис. 35).

2) строим график уравнения Зx + 2у — 16 = 0. Если х = 0, то у = 8; если х = 2, то у = 5. Проведем через точки (0; 8) и (2; 5) прямую 12 (см. 35).

3) прямые I₁ и I₂ пересекаются в точке (2; 5), т. е. х = 2, у = 5.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Иванов и Петров, т. е. чему равны хну? Ответ на этот вопрос уже получен: х — 2, у = 5.

О т в е т: в первый год Иванов посадил 2 яблони, а Петров — 5 яблонь.

Как видите, не зря мы с вами учились строить графики линейных уравнений с двумя переменными. Это позволило нам от одной математической модели (алгебраической модели (3)) перейти к другой математической модели — геометрической (две прямые на координатной плоскости на рисунке 35), что и дало возможность довести решение до конца.

А можно ли работать непосредственно смоделью (3), не переходя к геометрической модели?

Можно, но об этом речь впереди, в главе 8. Там, используя новые знания, мы снова вернемся к модели (3).

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

Линейные уравнения. Виды линейных уравнений.

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение. В этом уравнении полная степень составляющих его многочленов равна единице.

Линейные уравнения представляют в таком виде:

Линейное уравнение с одной переменной.

Линейное уравнение с 1-ой переменной приводится к виду:

Число корней зависимо от a и b:

— Когда a=b=0, значит, у уравнения есть неограниченное число решений, так как .

— Когда a=0, b≠ 0, значит, у уравнения нет корней, так как .

— Когда a ≠ 0, значит, у уравнения есть только один корень .

Линейное уравнение с двумя переменными.

Уравнением с переменной x является равенство типа A(x)=B(x), где A(x) и B(x) — выражения от x. При подстановке множества T значений x в уравнение получаем истинное числовое равенство, которое называется множеством истинности этого уравнения либо решение заданного уравнения, а все такие значения переменной — корни уравнения.

Линейные уравнения 2-х переменных представляют в таком виде:

— в общей форме: ax + by + c = 0,

— в канонической форме: ax + by = -c,

— в форме линейной функции: y = kx + m, где .

Решением либо корнями этого уравнения является такая пара значений переменных (x;y), которая превращает его в тождество. Этих решений (корней) у линейного уравнения с 2-мя переменными неограниченное количество. Геометрической моделью (графиком) данного уравнения есть прямая y=kx+m.

Если в уравнении есть икс в квадрате, то такое уравнение называется квадратным уравнением.

Презентация к уроку математики 7 класса «Линейные уравнения с двумя неизвестными»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Алгебра 7 класс

Повторим, что знаем!

В какой координатной четверти находятся точки: (5; -2),(-4;7),(-1;-3), (8;5)? Где в координатной плоскости находятся точки (0;7), (-9;0)? Что собой представляет геометрическая модель точек, ординаты которых = 5? Что собой представляет геометрическая модель точек, абсциссы которых = -2?

Рассмотрим реальную ситуацию: «В классе 30 человек. Девочек в 2 раза меньше, чем мальчиков» Пусть в классе х девочек, тогда мальчиков – 2х. х + 2х = 30

Если упростить уравнение, то 3х = 30. По другому: 3х – 30 = 0. Решая, получаем х = 10. 10 – корень уравнения или решение уравнения.

Уравнение вида: ах + в = 0, называется линейным уравнением с одной переменной, где а и в – числа. Решаем его. ах = — в, х = -в : а (число) – корень уравнения или решение уравнения. Если а = 0, то 0х = -в, х = -в : 0, что нельзя, следовательно решений нет; Если а = 0, в = 0, то 0х = 0 , что говорит о том, что решений бесчисленное множество.

Рассмотрим другую ситуацию.

Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2ч раньше второго. Через 3ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?

5х + 3у = 500 или 5х + 3у — 500 = 0 Если х = 10, то 50 + 3у = 500, 3у = 500 — 50, 3у = 450, у = 450 : 3, у = 150, то есть пара чисел (10; 150) — решение уравнения

5х + 3у = 500 или 5х + 3у — 500 = 0 Если х = 40, то 200 + 3у = 500, 3у = 500 — 200, 3у = 300, у = 300 : 3, у = 100, то есть пара чисел (40; 100) — решение уравнения. И так далее… Сколько решений имеет уравнение?

Уравнение вида ах + ву + с = 0, называется линейным уравнением с двумя переменными, где а,в,с – числа (коэффициенты).

Линейные уравнения с двумя переменными

Уравнение вида ах + ву + с = 0, называется линейным уравнением с двумя переменными, где а,в,с – числа (коэффициенты). Выполним устно: № 7.1, №7.2, №7.3, № 7.4

Пара чисел (х;у) является решением уравнения ах + ву + с = 0. Сколько решений имеет уравнение? НО. ВНИМАНИЕ. Если с помощью такого уравнения решается задача, то не все решения уравнения являются решением задачи (н-р: 5х + 3у = 500; если х = 100, то … у = 0, т.е. (100;0) –решение уравнения, но! не решение задачи!, т.к. скорость не может быть = 0, поезд двигался!)

Выполняем № 7.5 (устно) Является ли решением уравнения 5х + 2у – 12 = 0 пара чисел (3;2) (1;3,5) (12;5) (4;-4)

Найдём(или подберём) несколько решений уравнения х + у – 3 = 0 (или х + у = 3) и изобразим их в координатной плоскости.

Говорят, что прямая является графиком уравнения х + у – 3 = 0 или прямая – это геометрическая модель уравнения х + у – 3 = 0

Итак, если пара чисел (х;у) удовлетворяет уравнению х + у – 3 = 0, то точка с координатами (х;у) принадлежит графику этого уравнения (прямой). И, наоборот, если точка с координатами (х;у) принадлежит прямой, то пара (х;у) – решение данного уравнения или удовлетворяет этому уравнению.

Интересно получается! Словесная модель Алгебраическая модель Геометрическая модель Сумма двух чисел равна 3 х+ у = 3 Прямая в координатной плоскости (графикданного уравнения)

Рассмотрим несколько частных случаев линейного уравнения ах + ву + с = 0 и соответственно их графиков Пусть а = 0, в = 0, с = 0. Уравнение примет вид: 0 = 0. график уравнения – вся координатная плоскость; Пусть а = 0, в = 0, с ≠ 0. Уравнение примет вид: с = 0. уравнение не имеет решения.

Рассмотрим несколько частных случаев линейного уравнения ах + ву + с = 0 и соответственно их графиков Пусть а = 0, в ≠ 0. Уравнение примет вид: ву +с = 0, у = — с : в, у = числу. график уравнения – прямая параллельная оси х; Пусть а ≠ 0, в = 0. Уравнение примет вид: ах +с = 0, х = — с : а, х = числу. график уравнения – прямая параллельная оси у; Пусть а ≠ 0, в ≠ 0. График – прямая!

ВЫВОД: Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая, если хотя бы один из коэффициентов а или в отличен от 0.

Внимание! Чтобы построить геометрическую модель уравнения х + у + 3 = 0 мы брали 6 точек. Вспомним из геометрии: Сколькими точками определяется прямая? Чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными (прямую) сколько достаточно точек?

Построим график уравнения 4х + 3у -12 =0.

Алгоритм построения графика уравнения ах + ву + с = 0 1.Придавая переменной х два конкретных значения, найти соответствующие значения переменной у; 2.Построить в координатной плоскости две точки с полученными координатами; 3.Провести через эти точки прямую – она и будет графиком уравнения ах + ву + с = 0.

Д/З: параграф 7, №7.17, 7.18

Спасибо за внимание.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 589 961 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мордкович А.Г.

§ 7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 31.03.2018
• 788
• 0

• 31.03.2018
• 1408
• 0

• 28.03.2018
• 410
• 1

• 28.03.2018
• 727
• 8

• 25.03.2018
• 361
• 1

• 24.03.2018
• 849
• 11

• 24.03.2018
• 5896
• 18

• 22.03.2018
• 475
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 02.04.2018 743
• PPTX 968.6 кбайт
• 26 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Зубрилина Ольга Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 7813
• Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки