Геометрическая система уравнений с двумя переменными

Системы уравнений с двумя переменными

п.1. Понятие системы уравнений с двумя переменными и её решения

п.2. Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными

Поскольку каждое из уравнений с двумя переменными можно изобразить в виде графика на плоскости, графический метод решения систем таких уравнений достаточно удобен.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите графическим способом систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <4x+3y=0>& \end\right. \)
\( \mathrm \) – окружность с центром в начале координат
\( \mathrm <4x+3y=0>\) – прямая \( \mathrm \)

Система имеет два решения (–3; 4) и (3; –4)
Ответ: <(–3; 4) ; (3; –4)>.

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
\( \mathrm \) – гипербола \( \mathrm \)
y – x = 4 – прямая y = x + 4

Система имеет два решения (–5; –1) и (1; 5)
Ответ: <(–5; –1) ; (1; 5)>.

в) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
x 2 + y = 1 – парабола y = –x 2 + 1
x 2 – y = 7 – парабола y = x 2 – 7

Система имеет два решения (–2; –3) и (2; –3)
Ответ: <(–2; –3) ; (2; –3)>.

г) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
xy = 1 – гипербола \( \mathrm \)
x 2 + y 2 = 2 – окружность с центром в начале координат, радиусом \( \mathrm<\sqrt<2>> \)

Система имеет два решения (–1; –1) и (1; 1)
Ответ: <(–1; –1) ; (1; 1)>.

Пример 2*. Решите графическим способом систему уравнений
a) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <\frac1x-y=1>& \end\right. \)
x 3 – y = 1 – кубическая парабола y = x 3 – 1, смещённая на 1 вниз.
\( \mathrm <\frac1x-y=1>\) – гипербола \( \mathrm \), смещённая на 1 вниз

Система имеет два решения (–1; –2) и (1; 0)
Ответ: <(–1; –2) ; (1; 0)>.

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm <|x|+|y|=2>& \\ \mathrm & \end\right. \)
|x| + |y| = 2 – квадрат с диагоналями 4, лежащими на осях
x 2 + y 2 = 4 – окружность с центром в начале координат, радиусом 2

Система имеет четыре решения (2; 0), (0; 2) , (–2; 0) и (0; –2)
Ответ: <(2; 0) ; (0; 2) ; (–2; 0) ; (0; –2)>.

в) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
y – x 2 = 4x + 6 – парабола y = (x 2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2) 2 + 2, ветками вверх, смещённая на 2 влево и на 2 вверх
y + |x| = 6 – ломаная, y = –|x| + 6. Для x > 0, y = –x + 6, для x 0, y = x, для x

Урок математики в 9 классе по теме «Геометрическая интерпретация системы двух уравнений с двумя переменными»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Урок математики в 9 классе по теме «Геометрическая интерпретация системы двух уравнений с двумя переменными».

18.02.2020 года учитель математики Бахир С.А.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний

v создать условия для закрепления знаний по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными и способы их решения»;

v способствовать получению новых знаний, необходимых при моделировании реальных ситуаций с помощью систем уравнений и знакомству с геометрической интерпретацией систем двух уравнений с двумя переменными; развитию познавательной активности и самостоятельности учащихся;

v создать условия для формирования математической грамотности и культуры мышления.

Применяемые технологии : технология проблемного обучения, технология развития критического мышления.

Организационные формы работы с учащимися:

Оборудование: учебник, тетради, таблицы, схемы графиков, доска.

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний

Шринивасана Рамануджан: «Для меня уравнение не имеет никакого смысла, если не выражает мысль Бога».

Ребята, как вы, наверное, уже догадались из этих слов индийского мыслителя, сегодня на уроке мы продолжим с вами работу над уравнениями, а именно над их системами. Вспомним основные методы решения уравнений и познакомимся с новым графическим методом решения систем двух уравнений с двумя переменными.

Учащимся предлагаются таблицы, которые необходимо заполнить по ходу урока. На начальном этапе заполняется графа «З», в которую учащиеся вписывают уже имеющиеся у них знания по теме урока. Например:

Что значит решить систему уравнений;

Способы решения систем уравнений:

способ подстановки и способ сложения;

Алгоритм решения систем двух линейных и нелинейных уравнений с двумя переменными.

III. Проверка домашнего задания:

Решить систему уравнений:

а) способом сложения

б) способом подстановки

IV . Изучение нового материала и первичное закрепление знаний

Решим систему уравнений графическим методом.

Для этого построим в одной системе координат графики каждого из уравнений системы. Первое уравнение системы равносильно уравнению у = , графиком которого является гипербола, проходящая через точки (1;1), (0,5;2) (смотрите рисунок 68 на с. 157 учебника).

Графиком второго уравнения системы является парабола с вершиной в точке (1;1), пересекающая ось ординат в точке (0;2). По графикам на рисунке видно, что единственной точкой пересечения параболы и гиперболы является точка(1;1). Данная пара чисел является решением системы двух уравнений с двумя переменными, а полученное нами изображение – геометрической интерпретацией решения этой системы.

Обратите внимание на доску. Здесь мы видим два изображения (рис.3 и рис.4), на которых изображены графики конкретных функций, соответствующих определенным системам уравнений с двумя переменными. Давайте попробуем решить эти системы. (Самостоятельная работа учащихся с последующим объяснением алгоритма решения у доски).

Укажите с помощью изображенных графиков системы уравнений:

1) имеющие два решения,

2) имеющие одно решение,

3) не имеющие решений.

VI .Моделирование реальных процессов с использованием систем уравнений с двумя переменными.

Системы уравнений с двумя переменными помогают нам в моделировании реальных процессов. Обратимся вновь к учебнику и разберем задачу № 2 на с. 162. Из поселка А в поселок В вышел пешеход. Одновременно с ним из поселка В в поселок А выехал велосипедист. Через 50 минут они встретились. Сколько времени потребовалось бы пешеходу для того, чтобы пройти весь путь из А в В, если известно, что велосипедист проделал бы тот же путь на 4 часа быстрее пешехода?

Для решения задачи составим таблицу зависимостей между величинами.

Графический метод решения системы уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.