Геометрическая теория уравнений с частными производными

Дифференциальные уравнения в частных производных с примерами решения и образцами выполнения

Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение вида
(1)

связывающее независимые переменные x1, х2, … , хn искомую функцию и = и(х1, х2,…, хn) и ее частные производные (наличие хотя бы одной производной обязательно). Здесь ki,k2,… ,кn — неотрицательные целые числа, такие, что к1 + к2 + … + кп = т.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящие в уравнение частных производных. Так, если х, у — независимые переменные, и = и(х, у) — искомая функция, то

— дифференциальное уравнение 1-го порядка;

— дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Для упрощения записи пользуются также следующими обозначениями:

Пусть имеем дифференциальное уравнение с частными производными (1) порядка т. Обозначим через С m (D) множество функций, непрерывных в области D вместе со всеми производными до порядка m включительно.

Определение:

Решением дифференциального уравнения (1) в некоторой области D изменения независимых переменных x1, x2…xn,. называется всякая функция и = и(х1, х2,…, xп) ∈ С m (D) такая, что подстановка этой функции и ее производных в уравнение (1) обращает последнее в тождество по x1, x2, …., хп в области D.

Пример:

Найти решение и = и(х,у) уравнения

Равенство (2) означает, что искомая функция и не зависит опт х, но может быть любой функцией от у,

u = φ(y). (3)

Таким образом, решение (3) уравнения (2) содержит одну произвольную функцию. Это — общее решение уравнения (2).

Приме:

Найти решение u = u(z, у) уравнения

Положим = о. Тогда уравнение (4) примет вид = 0. Его общим решением будет произвольная функция v = w(у). Поскольку v= приходим к уравнению = w(у). Интегрируя по у (считая х параметром), получим

где g(x) — произвольная функция. Так как w(у) — произвольная функция, то и интеграл от нее также является произвольной функцией; обозначим его через f(у). В результате получим решение уравнения (4) в виде

u(x, y) = f(y) + g(x) (5)

произвольные дифференцируемые функции).

Решение (5) уравнения с частными производными 2-го порядка (4) содержит уже две произвольные функции. Его называют общим решением уравнения (4), так как всякое другое решение уравнения (4) может быть получено из (5) подходящим выбором функций f и g.

Мы видим, таким образом, что уравнения с частными производными имеют целые семейства решений. Однако существуют уравнения с частными производными, множества решений которых весьма узки и, в некоторых случаях, да же пусты.

Пример:

Множество действительных решений уравнения

исчерпывается функцией u(x, y) = const, а уравнение

вовсе не имеет действительных решений.

Мы не ставим пока вопрос об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т.е. функцию, удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и этим дополнительным условиям.

Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Свойства их решений

Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных, входящих в уравнение; в противном случае уравнение называется нелинейным.

Пример:

— линейное уравнение; уравнения

Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка для функции двух независимых переменных х, у в общем случае имеет вид
(1)

где А(х, у), В(х, у), …, с(х,у), f(x,y) — функции переменных х, у, заданные в некоторой области D плоскости хОу. Если f(x,y) ≡ 0 в D, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным.

Обозначив левую часть уравнения (1) через L[u], запишем (1) в виде

L[u] = f(x, у). (2)

Соответствующее однородное уравнение запишется так:

L[u] = 0. (3)

Здесь L — линейный дифференциальный оператор, определенный на линейном пространстве C 2 (D) функций и = и(х, у).

Пользуясь свойством линейности оператора L, легко убедиться в справедливости следующих теорем, выражающих свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений с частными производными.

Теорема:

Если и(х, у) есть решение линейного однородного уравнения (3), то си(х, у), где с — любая постоянная, есть также решение уравнения (3).

Теорема:

Если и₁(х, у) и и₂(х, у) — решения линейного однородного уравнения (3), то сумма и₁(х, у) + и₂(x, у) есть также решение этого уравнения.

Следствие:

Если каждая из функций и₁(х, у) и и₂(х, у), u k(x, у) является решением уравнения (3), то линейная комбинация

где c1, c2 …, сk — произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.

В отличие от обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения, имеющего конечное число линейно независимых частных решений, линейная

комбинация которых дает общее решение этого уравнения, уравнение с частными производными может иметь бесконечное множество линейно независимых частных решений.

Пример:

имеет общее решение k = φ(х), так что решениями его будут, например, функции 1,х,…, х n ,… . В соответствии с этим в линейных задачах для уравнений с частными производными нам придется иметь дело не только с линейными комбинациями конечного числа решений, но и с рядами , членами которых являются произведения постоянных Сп на частные решения иn(х, у) дифференциального уравнения.

Возможны случаи, когда функция и(х, у; λ) при всех значениях параметра λ из некоторого интервала (λо, λ1), конечного или бесконечного, является решением уравнения (3). В этом случае говорят, что решения уравнения зависят от непрерывно меняющегося параметра λ. Если теперь взять функцию С(λ) такую, что первые и вторые производные интеграла

по х и по у могут быть получены с помощью дифференцирования под знаком интеграла, то этот интеграл также будет решением уравнения (3). Для линейного неоднородного уравнения

L[u] = f (4)

справедливы следующие предложения.

Теорема:

Если и(х, у) есть решение линейного неоднородного уравнения (4), a v(x, у) — решение соответствующего однородного уравнения (3), то сумма и + v есть решение неоднородного уравнения (4).

Теорема:

Принцип суперпозиции. Если и1(х, у) —решение уравнения L[u] = f1, a u2(x,y) — решение уравнения L[u] = f2, то и1 + u2 — решение уравнения L[u] = f1 + f2.

Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными

Определение:

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

в некоторой области Q на плоскости хОу называется

1) гиперболическим в Ω, если

2) параболическим в Ω, если

3) эллиптическим в Ω, если

Пользуясь этим определением, легко проверить, что уравнения

— гиперболические при всех х и у, уравнение

— параболическое при всех х и у, а уравнение

— эллиптическое при всех х и у. Уравнение

— эллиптическое при у > 0, параболическое на линии у = 0 и гиперболическое в полуплоскости у

с помощью которой уравнение (1) преобразуется к более простому, каноническому виду, своему для каждого типа уравнения.

Уравнение гиперболического типа (∆ > 0) преобразуется к вшу

(два канонических вида уравнений гиперболического типа).

Уравнение параболического типа (∆ ≡ 0) преобразуется к виду

(канонический вид уравнения параболического типа).

Уравнение эллиптического типа (∆

(канонический вид уравнения эллиптического типа). Здесь F и Ф — некоторые функции, зависящие от искомой функции и, ее первых производных и независимых переменных ξ, η. Вид функций F и Ф определяется исходным уравнением (1).

В некоторых случаях каноническая форма уравнения позволяет найти общее решение исходного уравнения.

Как правило, приведениеуравнения(1) к каноническому виду путем замены независимых переменных имеет локальный характер, т. е. осуществимо лишь в некоторой достаточно малой окрестности рассматриваемой точки Mo(xo, уo).

Когда число п независимых переменных больше двух, также различают уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов. Например, при п = 4 простейшая каноническая форма таких уравнений имеет вид

Здесь и = и(х, у, z, t).

Замечание:

В общем случае, когда число независимых переменных больше двух, приведение линейною уравнения с переменными коэффициентами

к каноническому виду возможно только в данной точке и невозможно в любой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Мы ограничимся рассмотрением линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка. К таким уравнениям приводит большое количество различных физических задач.

Так, колебательные процессы различной природы (колебания струн, мембран, акустические колебания газа в трубах, электромагнитные колебания и т. д.) описываются уравнениями гиперболического типа. Простейшим из таких уравнений является уравнение колебаний струны (одномерное волновое уравнение): (2)

Здесь х — пространственная координата, t — время, где Т — натяжение струны, р — ее линейная плотность.

Процессы теплопроводности и диффузии приводят к уравнениям параболического типа. В одномерном случае простейшее уравнение теплопроводности имеет вид
(3)

Здесь где р — плотность среды, с — удельная теплоемкость, k — коэффициент теплопроводности.

Наконец, установившиеся процессы, когда искомая функция не зависит от времени, определяются уравнениями эллиптического типа, типичным представителем которых является уравнение Лапласа
(4)

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что решением уравнения (2) является всякая функция и(х, t) вида

Можно показать, что решениями уравнения (3) являются функции вида

произвольные постоянные, А — числовой параметр). Интегрируя решение и(х, t; λ) = уравнения (3) по параметру λ в пределах от — ∞ до + ∞ , получим так называемое фундаментальное решение U(x, t) = уравнения теплопроводности.

Наконец, нетрудно убедиться, что действительнозначные функции Рn(х,у) и Qn(x, у), определяемые из соотношения

являются решениями уравнения Лапласа (4) для п = 0, 1, 2…..Этот последний результат есть частный, случай общего утверждения, что и действительная и мнимая части аналитической функции

f(z) = u(x, у) + iv(x, у)

комплексного переменного z = х + iy являются решениями уравнения Лапласа (4).

В силу линейности уравнения (4) ряды

тоже будут решениями уравнения (4), если они сходятся равномерно, как и ряды, полученные из них двукратным почленным дифференцированием по каждому из аргументов х, у.

Таким образом, для простейшей — канонической — формы уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов мы располагаем о решениях этих уравнений некоторой информацией.

Постановка основных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Для полного описания того или иного физического процесса мало иметь только дифференциальное уравнение процесса, надо еще задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе S той области Ω, в которой процесс происходит (граничные условия). Это обусловлено неединственностью решения дифференциальных уравнений.

Пример:

Общее решение уравнения

имеет вид и(х, у) = f(x) + g(y), где f(x) и g(y) — произвольные дифференцируемые функции. Поэтому чтобы выделить решение, описывающее данный физический процесс, необходимо задать дополнительные условия.

Различают три основных типа задач для дифференциальных уравнений с частными производными (число независимых переменных равно п):

а) задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область Ω совпадает со всем пространством R n , граничные условия отсутствуют;

б) краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе S области Ω, начальные условия отсутствуют;

в) смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные и граничные условия, Ω ≠ R n

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Теория дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка

Теория дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка

Геометрическая теория уравнений 1-го порядка в случае двух независимых переменных

В данном разделе мы будем рассматривать дифференциальные уравнения вида: (1)

Геометрически решение этого уравнения v=v(x,y) будем изображать в виде некоторой поверхности. Рассмотрим на интегральной поверхности точку Р и продифференцируем функцию v по любому касательному направлению в этой точке. Запишем дифференциал dv=v’_xdx+v’_ydy. Это выражение удобно переписать в виде v’_xdx+v’_ydy+(-1)dv=0.

Введем обозначение Монжа (франц. математик) , .

Тогда предыдущее выражение перепишется в виде pdx+qdy+(-1)dv=0. Перепишем как скалярное произведение (p,q,-1)(dx,dy,dv)=0.

Так как dx,dy,dv – проекции бесконечно малого касательного вектора в точке Р, и этот вектор — произвольный касательный вектор в этой точке, то из равенства нулю скалярного произведения следует, что вектор (p,q,-1) – нормаль к поверхности в точке Р.

Запишем уравнение (1) в обозначениях Монжа: ap+bq+c(-1)=0. Или, рассматривая как скалярное произведение найдем: (a,b,c)(p,q,-1)=0. Откуда видно, что если v(x,y) – решение нашего уравнения, то нормаль к интегральной поверхности в каждой точке пространства x,y,v должна быть ортогональна вектору (a,b,c) заданному в этой точке. Таким образом, д. у. (1) накладывает на интегральную поверхность единственное требование: в каждой точке нормаль к интегральной поверхности должна быть ортогональна заданному в этой точке вектору (a,b,c).

Рекомендуемые файлы

Если в точке Р провести касательную плоскость к интегральной поверхности, то нормаль к интегральной поверхности будет также и нормалью к касательной плоскости.

Очевидно, что трехмерному вектору (a,b,c) можно провести бесконечное однопараметрическое множество нормалей и соответствующее бесконечное множество допустимых касательных плоскостей к интегральной поверхности. Введенное нами множество касательных плоскостей называется пучком Монжа, а вектор (a,b,c), который они все пересекают, называется осью Монжа.

Аналогия

, — tg угла наклона в каждой точке.

Ищем поверхность, которую в каждой точке касается вектор (a,b,c).

Рассмотрим в некоторой точке пространства (x,y,v) бесконечно малый вектор (dx,dy,dv), коллинеарный в этой точке вектору (a,b,c). У коллинеарных векторов проекции пропорциональны и можем записать:

Эти три равные величины обозначим dS. Разделив эти три равенства на dS, получим 3 дифференциальных уравнения:

, , (2)

Мы получили три д.у., которые называются уравнениями характеристик для д. у. (1). Всякое решение этой системы дифференциальных уравнений:

(3)

замечательно тем, что по построению, в каждой точке кривые (3) касаются вектора (a,b,c) (зависят еще от начальных условий).

Всякая поверхность v=v(x,y), которую можно покрыть однопараметрическим множеством характеристик (построить из однопараметрического множества характеристик) является интегральной поверхностью уравнения (1).

Обратно: всякую интегральную поверхность можно покрыть однопараметрическим множеством характеристик.

Докажем первую часть теоремы:

Проведем в пространстве некоторую кривую, которую зададим параметрически. И потребуем, чтобы эта кривая ни в одной точке не касалась вектора (a,b,c). Из каждой точки этой кривой проведем с помощью д. у. (2) характеристики:

Если, построенное таким образом однопараметрическое множество характеристик образует поверхность, то эта поверхность будет интегральной. Действительно, рассмотрим произвольную точку Р на этой поверхности. Через эту точку проходит некоторая характеристическая кривая (по построению), которая в точке Р касается соответствующего вектора (a,b,c). В этом случае нормаль к построенной поверхности в данной точке будет одновременно и нормалью к характеристике, и, следовательно, нормалью к вектору (a,b,c), откуда следует, что построенная поверхность удовлетворяет в данной точке единственному требованию, которое накладывает д. у. (1) на интегральную поверхность. И так для каждой точки построенной поверхности, откуда следует, что поверхность является интегральной.

Докажем вторую часть теоремы:

Нам задана интегральная поверхность v=v(x,y). Мы докажем данную теорему, если покажем, как ее можно покрыть однопараметрическим множеством характеристик. На плоскости x,y построим с помощью дифференциальных уравнений:

, (4)

в правые части которых подставлена функция v=v[x(S),y(S)], однопараметрическое множество кривых, проходящих через кривую С.

Через каждую такую кривую проведем цилиндрическую поверхность (образующие которой параллельны оси v) до пересечения с интегральной поверхностью. Вдоль кривой на интегральной поверхности выполняются дифференциальные уравнения (4). Кроме того, дифференцируя функцию v (она задана) вдоль полученной кривой, найдем:

, подставим из (4): .

И так как поверхность является интегральной, то в силу д. у. (1) вдоль построенной кривой выполняются уравнения (4) и уравнение (5).

Нетрудно видеть, что они совпадают с уравнениями (2) и, таким образом построенная кривая является характеристикой. Ясно, что таким образом можно покрыть всю поверхность однопараметрическим множеством характеристических кривых.

Задача Коши для дифференциального уравнения (1)

Пусть на плоскости x,y параметрически задана кривая x=x(t), y=y(t). t – параметр вдоль кривой, и пусть в каждой точке этой кривой задана функция v=v(t). Полученная таким образом кривая С представляет собой пространственную кривую заданную параметрически.

Для дальнейшего потребуем, чтобы функции x(t), y(t), v(t) были непрерывными вместе со своими первыми производными.

Задача Коши: заключается в нахождении решения уравнения (1), которое принимает заданное значение v(t) на кривой C. Другими словами требуется найти в окрестности C’ интегральную поверхность, проходящую через кривую С.

Для построения решения воспользуемся характеристиками

, , (2)

Решая уравнение (2) из каждой точки кривой С выпустим характеристику. Пусть уравнения этих характеристик имеют вид:

,

(t входит через начальные данные). Эти уравнения можно решить относительно параметров S и t: , .

Подставим найденные решения в функцию v: .

Однако, разрешить уравнение относительно S и t не всегда возможно.

Заменим дифференциалы малыми конечными приращениями. Обозначим индексом «0» значения величин на начальной кривой C:

или .

Условие разрешимости полученной системы относительно S и t – это неравенство нулю определителя из коэффициентов при S и t:

, или .

Так как x’_S=a, и y’_S=b, то (3).

Таким образом, если выполняется условие (3) на начальной кривой (а в силу непрерывности входящих в якобиан величин он будет неравен нулю в некоторой окрестности начальной кривой), то мы можем в окрестности начальной кривой найти поверхность v=v(x,t) проходящую через эту кривую. Продифференцируем эту поверхность вдоль любой характеристики:

Используя уравнения характеристик, получаем .

Таким образом, видим, что построенная поверхность удовлетворяет д. у. (1), и, следовательно, является его решением.

Рассмотрим теперь случай, когда якобиан (3) равен нулю: , а решение v=v(x,y) при этом существует. Покажем, что в этом случае начальная кривая сама является характеристикой.

Перепишем якобиан в виде: . Сократим на dt и поделим на ab , откуда получим два уравнения , (*).

Так как решение задачи по предположению существует, то функция v(x,y) выполняется и на начальной кривой, и, следовательно, можем дифференцировать эту функцию вдоль начальной кривой:

Или, воспользовавшись уравнением характеристик:

, v есть решение уравнения (1). (**).

Равенства (*) и (**) говорят о том, что начальная кривая будет характеристикой.

Далее покажем, что в случае, когда якобиан равен нулю, решений существует бесконечно много. Пусть задана начальная кривая C, которая является характеристикой. На ней Δ=0 и решение существует. Требуется найти интегральную поверхность, проходящую через кривую C. Проведем любую кривую С₁, которая пересекает нашу кривую в некоторой точке, и на которой якобиан нигде не равен нулю. Как было показано выше, задача Коши для С₁ разрешима и мы методом характеристик можем построить интегральную поверхность. Так как коэффициенты a,b,c являются непрерывными функциями, то задача Коши для о. д. у. (2) имеет единственное решение. Откуда следует, что через точку пересечения кривых может проходить единственная характеристика, которая, очевидно, совпадает с кривой С. Таким образом, мы построили решение (если C не совпадет, то решение будет не единственно, что не так по условию).

Проведем через точку пересечения кривых С и С₁ кривую С₂, на которой тоже Δ≠0. Также как и в предыдущем случае можно построить интегральную поверхность, проходящую через кривую С. Ясно, что таким образом можно построить бесконечное множество поверхностей. Полученные результаты сформулированы в виде теоремы:

Если якобиан (3) на начальной кривой не равен нулю, то задача Коши для уравнения (1) разрешима единственным образом. В том случае, когда якобиан равен нулю на начальной кривой и решение существует, то это решение не единственно.

Общие требования к постановке классических задач для уравнений в частных производных

Эти требования впервые сформулировал Адамар. Задача для уравнения в частных производных называется корректно поставленной (по Адамару), если она удовлетворяет следующим требованиям:

1. Решение задачи должно существовать

На решение задачи не должно быть наложено слишком много дополнительных условий, и они не должны противоречить друг другу.

2. Решение задачи должно быть единственным

Точки ветвления – параметры, при которых возникает неединственность решения (например существует 2 решения в одной точке).

3. Решение задачи должно быть устойчивым

А именно, малому изменению данных задачи должно отвечать малое изменение решения. В противном случае задача называется неустойчивой. Адамар считал, что поскольку данные задачи получаются из экспериментов, которые всегда содержат ошибки, то для неустойчивой задачи ошибки эксперимента будут приводить к каким угодно решениям, а такие задачи решать не имеет смысла.

При любом возмущении поверхности на границе раздела двух сред ртути и воды, кусок ртути начнет падать.

Рассмотрим пример , здесь a=1, b=1, c=0. Поэтому уравнения характеристик можно записать:

, , .

Параметр S можно исключить: 1-ое и 3-е разделим на 2-ое:

,

Из 1-го уравнения следует, что характеристиками уравнения (1) будут прямые (угол наклона 45º) .

Константу С определим при t=0 в точке пересечения характеристики с осью абсцисс. При t=0 x=x₀ (где x₀ – значение абсциссы в точке, где характеристика пересекает ось абсцисс), тогда .

Из равенства следует, что вдоль этой характеристики u=const. Вдоль каждой характеристики константа может быть своя, поэтому в общем случае, функция u не является постоянной, она постоянна только вдоль характеристики.

Для дальнейшего удобно записать общее решение уравнения (1). Введем новые переменные ξ=x—t, η=x+t, и сделаем замену, тогда:

,

При подстановке производных в уравнение, получим , откуда , следовательно, u зависит только от ξ, и общее решение .

Требуется найти решение в полосе, ограниченной отрезком оси абсцисс (x’;x’)’ и характеристиками, выходящими из точек x’ и x’’. Потребуем также, чтобы функция u принимала заданные значения φ(x) на отрезке x’x’’.

Таким образом, решение поставленной задачи существует.

Пусть требуется найти решение уравнения (1) в полосе, ограниченной отрезком (0;t’) оси ординат и характеристиками, выходящими из точек t=0 и t=t’. И пусть функция u задана на указанном отрезке оси ординат u=ψ(t) (ψ – известная функция).

Для решения задачи воспользуемся снова общим решением. Константу С на характеристике определим при x=0: x=C+t, следовательно C=-t₀. t₀ – точка, в которой характеристика пересекает ось ординат. Тогда уравнение характеристик x=t—t₀ или x—t=-t₀. Общее решение запишем в виде произвольной функции u=f[-(x—t)].

Таким образом, решение данной задачи также существует, мы его нашли.

Рассмотрим теперь задачу поиска решения в полосе, показанной на рисунке с дополнительными данными, заданными на отрезках (0;x’) и (0;t’).

Разбивая эту полосу на 2 полосы характеристикой, выходящей из начала координат x=t, сведем нашу задачу к двум предыдущим, и, таким образом, найдем решение, для непрерывности которого необходимо только потребовать, чтобы φ(0)=ψ(0), т. е. функции φ и ψ в начале координат совпадают.

Рассмотрим задачу для области, показанной на рисунке. При этом потребуем, чтобы на отрезке (x’;0) решение принимало значение u=φ(x), а на отрезке (0;t’) u=ψ(t). Эта задача похожа на предыдущую, но решение ее не существует. Если потребовать, чтобы решение задачи при t=0 принимало значение φ(x), то можем записать u=φ(x—t), где φ – известная (заданная) функция.

При x=0 эта функция принимает значение φ(-t)≠ψ(t). Таким образом, в общем случае удовлетворить второму условию невозможно, следовательно, поставленная задача не существует.

Пример 5 (пример неединственного решения)

Пусть требуется найти решение уравнения (1) в области, показанной на рисунке, ограниченной отрезком (a;b) оси абсцисс и характеристиками, выходящими из этих точек. И пусть дополнительные данные задачи заданы на отрезке (a’;b’): u=φ(x) при a’≤x≤b’. Для того, чтобы решить поставленную задачу продолжим непрерывным образом функцию φ(x) на весь отрезок (a;b), и продолженную функцию обозначим , a≤x≤b. Как мы знаем, решение такой задачи существует и единственно. Однако, осуществляя продолжение различным образом, мы получим различные решения задачи. Откуда следует, что исходная поставленная задача имеет неединственное решение.

Пример 6 (пример неустойчивого решения, рассмотрел Адамар)

Рассмотрим в полуплоскости y>0 решение задачи Коши для уравнения Лапласа: .

Пусть первое решение удовлетворяет при y=0 начальным условиям: u₁(x,0)=0, (2 условия — 2 произвольные функции).

Вторую задачу поставим так, чтобы она удовлетворяла при y=0 условиям: (производная по нормали)

Ещё посмотрите лекцию «3 — Поиски и разведка месторождений» по этой теме.

Простой проверкой можно установить (методом разделения переменных), что решением данной задачи будет .

При достаточно больших n начальные условия в данной задаче отличаются сколь угодно мало. В то же время растет как показательная функция . Из анализа мы знаем, что показательная функция растет быстрее любой степени аргумента, поэтому при больших n разность будет сколь угодно велика за счет . Следовательно, сколь угодно малому изменению данных задачи может отвечать неограниченное изменение решения.

На самом деле многие физические задачи являются неустойчивыми с точки зрения физики. Для их решения применяют регуляризирующие численные методы.

Концы стержня находятся в воде T=const. Через промежуток времени определить то, что было раньше невозможно.