Геометрические способы решения квадратных уравнений пифагора

Геометрические способы решения квадратных уравнений

Скачать
презентациюПребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек И ныне >>

Геометрические способы решения квадратных уравнений.

Слайд 11 из презентации «Теорема Пифагора 8 класс». Размер архива с презентацией 382 КБ.

Геометрия 8 класс

«Таблицы по геометрии» — Многоугольники Параллелограмм и трапеция Прямоугольник, ромб, квадрат Площадь многоугольника Площадь треугольника, параллелограмма и трапеции Теорема Пифагора Подобные треугольники Признаки подобия треугольников Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Взаимное расположение прямой и окружности. Таблицы. Касательная к окружности Центральные и вписанные углы Вписанная и описанная окружность Понятие вектора Сложение и вычитание векторов. Содержание:

«Урок Площадь трапеции» — Подсчитывают количество полученных баллов в данном задании. Решение поставленной задачи. Поочередно рассказывают все о трапеции: определение, виды, свойства равнобедренной трапеции. Деятельность учителя: Как можно выразить площадь трапеции ? Самостоятельная работа (Задания для самоконтроля оцениваются в баллах.). В прямоугольной трапеции основания 5см. и 17см., а меньшая боковая сторона 10см. Вариант 1 (3 балла) Основания трапеции m= 6см. и n= 8см., высота трапеции x=2см. Вариант 2. Какие свойства прямоугольного треугольника вы использовали при решении задач ?

«Четырехугольники» — Прямоугольник. Выбрать капитана. Ответы к кроссворду. Геометрия 8 класс. Защита презентаций. Четырехугольники. МОУ «Могочинская СОШ». Параллелограмм. Разминка! Кроссворд. Квадрат. Правильные ответы. Другие. Четырехугольники: Цели урока:

«Площади фигур» — А=1. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1. А1. Площадь. Отношения площадей. С. Теорема. Учитель математики МОУ лицея №18 И.В.Дымова. D. Второе свойство: SABCDEF=SA1B1C1D1E1F1. Первое свойство: Презентация уроков по геометрии 8 класс по главе учебника. Е. Разрезания и складывания. Работу выполняла ученица 11«4» класса Степанова Аня.

«8 класс Четырехугольники» — Вариант 1. Точки, из которых выходят стороны четырёхугольников. Этапы урока. Цели урока. Подготовила Калачева Н.Н. учитель математики ГОУ СОШ № 851. Четырехугольники. Разминка. Тест по теории. Геометрия 8 класс.

«Теорема Пифагора 8 класс» — 10 см. Высота. Деление чисел на четные и нечетные, простые и составные. Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Мыслитель Философ Математик. ФИГУРЫ. 3. c. Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. Угол. Формулировка Пифагора. Открытия пифагорийцев в математике. Геометрические способы решения квадратных уравнений.

Всего в теме «Геометрия 8 класс» 69 презентаций

Теорема Пифагора в математике и жизни

Разделы: Математика

Основные цели и задачи:

• закрепление умений и навыков по применению теоремы Пифагора к решению задач;
• существенно расширить круг задач, решаемых учащимися;
• познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора;
• осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, литературой.
• развитие грамотной математической речи учащихся, навыков восходящего и нисходящего анализа условия задачи и выбора способа решения;
• воспитание внимательности, активности, самостоятельности.

План урока:

1. Организационный момент
2. Устная работа по актуализации знаний учащихся
3. Исторический экскурс в прошлое
4. Решение задач на применение теоремы Пифагора, в т.ч. старинных
5. Беседа «Пифагор и нравственность»
6. Итоги урока и постановка домашнего задания

Ход урока

На прошлом уроке мы познакомились с вами с одной из важнейших теорем всего курса геометрии — это теоремой Пифагора. Напомните, пожалуйста, как звучит теорема Пифагора. (отвечает один ученик). Для каких геометрических фигур она справедлива?

Устно: используя теорему Пифагора, найдите недостающую сторону прямоугольного треугольника

1. Решите уравнения х 2 =25, х 2 =7, х 2 =-49, х 2 =50

А что мы собственно знаем о самом Пифагоре, где и когда он жил, чем занимался?

ПИФАГОР САМОССКИЙ
(ок. 580 — ок. 500 г . до н.э.)

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г . до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги — в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду. Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при сёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;
• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
• геометрические способы решения квадратных уравнений;
• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
• доказательство того, что не является рациональным числом;
• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев. Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам — даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «: когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста». На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора.

В настоящее время их насчитывается более ста. Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части. Конечно, во времена Пифагора его знаменитая теорема звучала несколько иначе. Кто может сказать, как именно?

Итак, давайте же докажем теорему Пифагора двумя способами: современным, изученным на прошлом уроке, и тем способом, который ученики средних веков назвали «Пифагоровы штаны во все стороны равны». (у доски один ученик доказывает теорему Пифагора, все остальные ищут способ доказательства другим образом) (совместно с учителем с помощью цветной нарезки)

Ученикам средних веков настолько нравилась теорема Пифагора, что с помощью чертежа для доказательства они создавали смешные шаржи друг на друга. (рассмотреть шаржи)

Рассмотрим задачи, в решении которых требуется применение теоремы Пифагора.

Задача индийского математика 12 века Бхаскары.

«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»

Решение: АВ 2 = 9+16, АВ=5 футов (перевести вместе в метры) 1 фут=0,3048м, 8*0,3048=2,438 м, т.е. примерно 2,4м.

2. Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого (18 век)

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.

И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.»

ВС 2 =125 2 -117 2 = (125-117)(125+117)=8*242=4*2*121*2

3. Задача из китайской «Математика в девяти книгах»

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

Решение задач из учебника: Л.С.Атанасян, Геометрия 7-9, №490(б), 495(б), 491(а)

Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников, которые и сегодня достойны подражания. Система морально-этических правил, завещанная ученикам Пифагора, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев — «Золотые стихи». Они переписывались и дополнялись па протяжении всей тысячелетней истории античности, а затем и в эпоху средневековья и Возрождения. В 18 — 19 в.в. «Золотые стихи» были особенно популярны в России. В 1808 году в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжечка «Пифагоровы законы и нравственные правила», начинавшаяся словами:

Пифагор есть законодатель всего человеческого рода.

Вот некоторые из 325 Пифагоровых заповедей:

Мысль — превыше всего между людьми .
• Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.
• Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.
• Юные девицы! Помятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.
• Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.
• Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука, может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.
• Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться.
• Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать.
• Не пренебрегай здоровьем своего тела.
• Научись жить просто и без роскоши.
• Через весы не шагай — избегай алчности.
• Не садись на хлебную меру — не живи праздно.
• Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.
• Ласточек в доме не держи — не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык.
• Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день.
• По торной дороге не ходи — следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих.

Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных заповедей восходят к самому Пифагору. Но совершенно очевидно, что все они выражают вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда, покуда жив человек.

Пифагорейцы с равным усердием заботились и о духовном развитии, и о физическом. У них был особый распорядок дня, в котором находилось время для гимнастических упражнений. Не случайно среди дошедших до нас имён олимпийских победителей так много кротонцев: шестикратный победитель Олимпийских игр среди борцов ученик Пифагора Милон; легендарный прыгун Фаилл. А однажды в беге на одну дистанцию все семь победителей оказались кротонцами.

В те времена в ходу были поговорки: «Последний из кротонцев — первый из остальных греков» или «Здоровье кротонца», что означало высшую степень физического развития. Но вместе с этими благородными истинами было в учении Пифагора и много мистического, туманного и просто смешного не только для наших современников, но и для современников Пифагора. Среди такого было учение о бессмертии души, о переселении души человека в животных после смерти, «что всё рождённое вновь рождается через промежутки времени, что ничего нового на свете нет, и что всё живое должно считаться родственным друг другу». Из учения о переселении душ следовали и предписания, запрещающие убивать животных и питаться их мясом, так как в животном могла обитать душа умершего человека. Но это табу Пифагора грекам приходилось не по душе, и они не упускали случая вспомнить Пифагору его собственные прегрешения.

Забота о чистоте духа не заслоняла для пифагорейцев заботу о чистоте тела. Сам Пифагор всегда облачался в ослепительно белые одежды, подобно египетским жрецам, и любил носить восточный тюрбан. Возможно, жреческой замкнутостью объясняется и тайный характер всего пифагорейского учения.

Поскольку учение Пифагора было тайным, то оно, видимо не записывалось. Вот почему не сохранилось ни одной строчки трудов самого Пифагора, скорее всего он их просто не писал. В силу этого, а также в силу существовавшей в античности традиции приписывались результаты открытий учеников своему учителю, поэтому сегодня невозможно определить, что сделал в науке сам Пифагор, а что — его ученики. Древние верили, что идеи, подобно вину, только улучшаются с возрастом. Поэтому ученики щедро приписывали свои открытия учителям, которые чаще всего об этих открытиях и не подозревали. Споры по этому вопросу, начатые Аристотелем, ведутся третье тысячелетие, однако общего мнения не существует. Вот почему вместо слов «учение Пифагора» принято говорить «пифагорейское учение».

Много загадок осталось нам от Пифагора. Одна из них — это Пифагорова головоломка.

Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E, F, K, L — середины сторон квадрата, О — центр квадрата, ОМ EF, NF EF.

Это и будет ваше первое домашнее задание — решить пифагорову головоломку, а второе — на формате А4 нарисовать шарж на теорему Пифагора.

СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = — 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = — 2.

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. — М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. — М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение, 1970.