Геометрический смысл метода эйлера решения дифференциальных уравнений

Как написать типовую работу на отлично

Геометрический смысл метода Эйлера:

Интегральная кривая заменяется ломаной, звенья которой имеют постоянную горизонтальную проекцию h. Первое звено касается искомой интегральной кривой в (рис. 6).

Повышение точности решения может быть получено с помощью уменьшения шага интегрирования.

Пример 1. При найти приближенное значение решения уравнения , удовлетворяющее начальному условию при .

Решение. Разделим отрезок на 10 равных частей точками ; 0,1; 0,2; …, 1,0. Следовательно, . Значения y1, y2, …, yn будем искать по формуле Эйлера: , или .

Таким образом, получаем

В процессе решения составляем табл. 1.

Мы нашли приближенное значение . Точное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, будет .

Абсолютная погрешность 0,2566; относительная погрешность

Пример 2. Используя метод Эйлера, найти значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением при начальном условии ; шаг 0,1. Ограничиться нахождением первых четырех значений y.

Решение. Находим последовательные значения аргумента: , , , . Вычислим соответствующие значения функции:

Таким образом, получаем следующие значения:

Метод Рунге-Кутта позволяет получить более точное решение дифференциального уравнения. Метод также часто используется для нахождения значений функций в нескольких начальных точках, что требуется в других, еще более эффективных численных методах. Преимущество метода Рунге-Кутта в том, что он совсем не использует предыдущую информацию. Каждый его шаг делается как бы заново, и для вычисления значения функции в точке используется лишь ее значение в точке .

Основным недостатком этого метода является его трудоемкость. Для получения следующего значения функции требуется несколько раз вычислять значение производной y′, т.е. обращаться к правой части дифференциального уравнения.

Существует несколько методов Рунге-Кутта различных порядков. Наиболее распространенным является метод четвертого порядка.

Выбираем шаг h и вводим следующие обозначения:

Для получения значения функции по методу Рунге-Кутта выполняется следующая последовательность операций:

После этого приращение функции находим по формуле

Геометрический смысл легко проследить по формулам (6), из которых видно, что каждый шаг расчета представляет собой, в сущности, шаг по методу Эйлера. Сначала следует шаг h/2 из точки под углом α1, , и приходим в точку . В этой точке вычисляем направление и, делая шаг в этом направлении, снова из точки М0 попадаем в точку . Затем по направлению снова из точки М0 делаем шаг величиной h, который приводит в точку , в которой вычисляем направление . Полученные четыре тангенса усредняются с весами , , , по формуле (7), и по окончательному направлению мы делаем окончательный шаг из в .

Помощь в написании монографии

Геометрический смысл метода Эйлера:

Интегральная кривая заменяется ломаной, звенья которой имеют постоянную горизонтальную проекцию h. Первое звено касается искомой интегральной кривой в (рис. 6).

Повышение точности решения может быть получено с помощью уменьшения шага интегрирования.

Пример 1. При найти приближенное значение решения уравнения , удовлетворяющее начальному условию при .

Решение. Разделим отрезок на 10 равных частей точками ; 0,1; 0,2; …, 1,0. Следовательно, . Значения y1, y2, …, yn будем искать по формуле Эйлера: , или .

Таким образом, получаем

В процессе решения составляем табл. 1.

Мы нашли приближенное значение . Точное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, будет .

Абсолютная погрешность 0,2566; относительная погрешность

Пример 2. Используя метод Эйлера, найти значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением при начальном условии ; шаг 0,1. Ограничиться нахождением первых четырех значений y.

Решение. Находим последовательные значения аргумента: , , , . Вычислим соответствующие значения функции:

Таким образом, получаем следующие значения:

Метод Рунге-Кутта позволяет получить более точное решение дифференциального уравнения. Метод также часто используется для нахождения значений функций в нескольких начальных точках, что требуется в других, еще более эффективных численных методах. Преимущество метода Рунге-Кутта в том, что он совсем не использует предыдущую информацию. Каждый его шаг делается как бы заново, и для вычисления значения функции в точке используется лишь ее значение в точке .

Основным недостатком этого метода является его трудоемкость. Для получения следующего значения функции требуется несколько раз вычислять значение производной y′, т.е. обращаться к правой части дифференциального уравнения.

Существует несколько методов Рунге-Кутта различных порядков. Наиболее распространенным является метод четвертого порядка.

Выбираем шаг h и вводим следующие обозначения:

Для получения значения функции по методу Рунге-Кутта выполняется следующая последовательность операций:

После этого приращение функции находим по формуле

Геометрический смысл легко проследить по формулам (6), из которых видно, что каждый шаг расчета представляет собой, в сущности, шаг по методу Эйлера. Сначала следует шаг h/2 из точки под углом α1, , и приходим в точку . В этой точке вычисляем направление и, делая шаг в этом направлении, снова из точки М0 попадаем в точку . Затем по направлению снова из точки М0 делаем шаг величиной h, который приводит в точку , в которой вычисляем направление . Полученные четыре тангенса усредняются с весами , , , по формуле (7), и по окончательному направлению мы делаем окончательный шаг из в .

Оценка погрешности и точность вычислений Оценить остаточный член метода Рунге-Кутта очень сложно, следует только отметить, что если непрерывна и ограничена со своими производными до четвертого порядка и эти производные не очень велики, то с уменьшением шага сетки приближенное решение сходится к точному равномерно и остаточный член примерно равен .

Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой уравнением , при начальном условии , полагая .

Пример. Найти приближенные значения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию при . Значения решения определить при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.