Геометрический смысл обыкновенного дифференциального уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

Тема 1 Понятие обыкновенного дифференциального уравнения

В процессе решения мно­гих теоретических и практических задач часто не удается сразу непосред­ственно установить функциональную зависимость у = f(x) между величинами, но можно установить связь между этой функцией и ее производными. Такая связь несет информацию о динамике изучаемого процесса, т. е. о характере изменения процесса. Как правило, изучается динамика изменения каких-либо показателей с течением времени, но могут быть ис­пользованы и другие зависимости: например, зависимость спроса на товар от его цены и т. д.

Динамика всех протекающих процессов, в том числе и экономических, описывается одним дифференциальным уравнением или системами дифференци­альных уравнений. При изучении характера экономических процессов чаще всего проводится их математическое моделирование, которое предполагает составление и решение системы дифференциальных уравнений.

Экономические ситуации, которые можно исследо­вать, представляя системами дифференциальных уравне­ний, будут показаны в дальнейшем, в курсе изучения специальных дисциплин. Мы, не углубляясь в экономиче­скую трактовку рассматриваемых ситуаций, рассмотрим пример, приводящий к необходимости составления и реше­ния дифференциального уравнения.

Рассмотрим производство продукции. Объем произ­водимой продукции в течение некоторого времени воз­растает и характеризуется постоянным темпом роста k.

Пусть требуется найти закон, характеризующий изменение объема производимой продукции во времени, если в начальный момент времени объем продукции составлял V0 единиц.

Очевидно: средний темп роста kср объема продукции V за промежуток времени Δt определяется выражением:

где ΔV— прирост объема продукции за промежуток вре­мени Δt

V— объем всей продукции, выпущенной за предшест­вующий промежуток времени, численно равный Δt

Переходя к истинным величинам, получим:

Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка, решая которое определим закон изменения объема продукции во времени. Преобразуем дифференциальное уравнение и проведем непосредственное интегрирование:

С учетом начальных условий при t = 0 V = V0 имеем:

Зависимость объема продукции от времени при постоянном темпе роста характеризуется экспонентой. |

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциальным уравнением называется урав­нение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у = f(x) и ее производные у’, у», , y(n)

Символически дифференциальное уравнение n-го порядка записывается так

(1)

Например, уравнения 4х – у + 2у’ = 0 и у» = 2х + 1 являются диффе­ренциальными уравнениями.

Если искомая функция у = f(x) есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (прилагательное «обыкновенные» обычно опускают). В данном курсе лекций рас­сматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Порядком дифференциального уравнения называ­ется порядок наивысшей производной, входящей в данное уравнение

Например, у’ – 2ху2 + 3 = 0 это уравнение первого порядка, а

у'» + 2у’ + у = sin х – уравнение третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Решением дифференциального уравнения назы­вается такая функция у = φ(х), при подстановке которой в уравнение последнее обращается в тождество.

График этой функции у = φ(х) называется интегральной кривой Если решение задано в неявном виде Ф(х, у) = 0, то оно обычно назы­вается интегралом дифференциального уравнения.

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Функция y = 5ln x – есть решение этого уравнения. Действительно: , подставляя у′ в исходное уравнение, получим − тождество, а это значит, что функция 5ln x – есть решение этого дифференциального уравнения.

Пример 3. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

Функция y = 3e2x есть решение данного уравнения. Действительно:

y′ = 6e2x; y′′ = 12e2x. Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, получим 12e2x + 5∙6e2x + 18e2x = 0, т. е. y = 3e2x удовлетворяет данному уравнению, а это значит, что функция y = 3e2x – есть решение этого дифференциального уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция

зависящая кроме аргумента х от n произвольных постоянных C1, C2,…,Cn и удовлетворяющая данному уравнению при любых значе­ниях этих постоянных.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(3)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка назы­вается функция вида

содержащая произвольную постоянную С такую, что:

1) у=φ(х, С) при любом С есть решение уравнения (3);

2) Для любых начальных условий х=х0; у=у0 существует такое С0, что соотношение у=φ(х, С0) при подстановке значений начальных условий обращается в тождество.

Если общее решение дифференциального уравнения первого порядка найдено в виде, неразрешенном относительно у, т. е. в виде Ф(х, у,С) = 0, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Как мы видели в первом примере, решение дифференциального уравнения связано с необходимостью ин­тегрировать входящие в уравнение функции. Рассмотрим, например, урав­нение у’ = Зх2. Интегрируя его, получаем совокупность функций у =х3 + С, каждая из которых является решением данного дифференци­ального уравнения.

На рисунке 1 изображена совокупность указанных интегральных кривых.

Рис. 1. Интегральные кривые уравнения у′ = Зx2 .

Чтобы из всей совокупности общих решений выделить конкретное ре­шение, необходимо задать дополнительные условия. Чаще всего эти до­полнительные условия определяются в виде начальных условий

у(х0) = y0, у'(х0) = y0 и т. д. Так, например, если решения уравнения у’ = Зх2 искать при начальном условии у(0) = 1, конкретное решение будет иметь вид у = х3 + 1.

Таким образом, начальное условие у(0) = 1 выделяет из множества всех решений конкретное решение, график которого проходит через точку (0,1) На рис. 1 этот график изображен пунктирной линией.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Частным решением дифференциального уравне­ния первого порядка называется любая функция у=φ(х, С0), полученное из общего решения у = φ(х, С) при фиксиро­ванном значении произвольной постоянной С=С0.

Заданное в неявном виде Ф(х, у,С0) = 0, это решение называется частным интегралом.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

xdx + ydy = 0. Интегрируя обе части уравнения, получим:

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В дан­ном случае, с учетом канонического уравнения окружно­сти, ее удобно представить в указанном виде.

Общим решением заданного дифференциального урав­нения является

С точки зрения геометрии — это семейство концен­трических окружностей радиуса С. См. рис. 2.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным ус­ловиям

у0 = 4 при х0 = 3 находится из общего подстановкой началь­ных условий в общее решение:

32 + 42 = С2; С = 5.

Подставляя С = 5 в общее реше­ние, получим

Это есть частное решение диф­ференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных ус­ловиях.

Геометрически — это единственная окруж­ность радиуса 5 , проходящая через точку М0 с коорди­натами (3;4), см. рис 2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Задача определения частного решения у = f(x) удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Как уже говорилось в предыдущей лекции, дифференциальное уравнение первого порядка име­ет вид

Если это уравнение можно разрешить относительно у‘, то его можно записать так

Уравнение (5) называется уравнением первого порядка, разрешен­ным относительно производной

Прежде, чем решать любое дифференциальное уравнение, необходимо знать, существует ли на самом деле решение дифференциального уравне­ния, и, если оно есть, то является ли оно единственным

Условия, при которых дифференциальное уравнение (5) имеет ре­шение, составляют содержание теоремы Коши — теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения первого поряд­ка.

1) для любой внутренней точки (x0;y0), существует непрерывно дифференцируемая функция у =φ(x), являющаяся решением этого уравнения и удовлетворяющая условию φ(х0) =y0:

2) если два решения у =φ(x) и у =ψ(x) совпадают хотя бы для одного значения х = х0 : φ(x0) = ψ(x0), то они тождественно совпадают в области G, т. е. φ(x) ψ(x)для любого .

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в том, что суще­ствует единственная интегральная кривая у =φ(x), график которой про­ходит через точку (x0;y0) (см рис. 1).

Особое решение дифференциального уравнения

Определение 8. Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое нельзя получить из общего ни при каких числовых значениях произвольной постоянной С ( включая ).

Например, проверкой можно убедиться, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y=sin(x + C). В то же время функция у=1 также является решением этого уравнения. Однако это решение не может быть получено из общего решения ни при каких значениях С.

С точки зрения геометрии особому решению соот­ветствует интегральная кривая, не содержащаяся в се­мействе интегральных кривых, составляющих общее ре­шение. Она является огибающей этого семейства.

Например, функция у=С(х – С)2 при любом значении С является решением дифференциального уравнения . При этом функция у=0 являясь особым решение данного уравнения, представляет собой огибающую семейства интегральных кривых (рис. 3)

Рис.3. График функций у=С(х – С)2

В случае, когда уравнение имеет особое решение, нельзя ограничиваться нахождением частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Осо­бое решение может удовлетворять тем же начальным ус­ловиям, что и частное решение, и потому решение будет не единственным. В каждой точке особого решения нарушаются условия теоремы Коши (условия существования и единственности решения).

Через каждую из особых точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной.

На примере решения дифференциального уравнения первого порядка покажем, как может появиться особое решение.

Пример 5. Найти решение дифференциального уравнения.

Запишем данное уравнение в виде

.

Далее умножим обе части этого уравнения на dx:

Разделим обе части уравнения на dy, чтобы отделить переменные:

Получаем общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка

Отсюда общее решение

Особое решение. При делении на у возможна потеря решения у = 0. При подстановке данного решения в исходное дифференциальное уравнение, оно обращается в тождество, следовательно, у = 0 является решением. Очевидно, это решение не содержится в общем ни при каком значении постоянной С, а потому является особым. Итак, особое решение у = 0.

Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение у’ = f(x,у). Это уравнение для каждой точки М(х, у) определяет значение произ­водной , т. е. угловой коэффициент касательной к интегральным кривым у = φ(х, С), являющихся общим решением дифференциального уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Часть плоскости, каждой точке которой со­поставлен отрезок прямой так, что тангенс угла наклона его к оси Ох равен значению в данной точке правой части дифференциального урав­нения у’ = f(x,y), называется полем направлений данного дифференци­ального уравнения.

Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирова­ния дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с полем направлений в соответствующих точках.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Множество всех точек плоскости, в которых поле имеет одно и то же направление, называется изоклиной уравнения.

Уравнение изоклины определяется следующим образом. В каждой точ­ке изоклины тангенс угла наклона отрезков поля имеют одно и то же фиксированное значение tgα = k. Так как, с другой стороны,

то координаты каждой точки изоклины удовлетворяют уравнению.

Пример 6. Построить поле направлений дифференциального урав­нения .

Решение. Уравнение изоклин , или у = – кх, т. е. изокли­нами являются прямые с угловым коэффициентом —k проходящие через начало координат (рис. 4). Определяя конкретные значения k, мы полу­чаем уравнение конкретной прямой. При этом мы одновременно задаем и поле направлений. Например, при k = 1, мы получаем изоклину у = –х, в каждой точке которой tgα = k = 1, т. е. α = 45°. На границе направление α задается единственным вектором через определенные промежутки.

Построив изоклины и поле направлений, можно приближенно нарисо­вать интегральные кривые, проводя их в соответствии с заданным полем направлений. В нашем случае интегральные кривые — это семейство ги­пербол .

Рис. 4. Поле направлений и изоклины дифференциального уравнения

Пример 7. Построим поле направлений дифференциально­го уравнения у’ = х2 + у2.

Решение. Уравнение изоклин этого дифференциального уравнения имеет вид х2 + у2 = k, т. е. изоклинами служат концентриче­ские окружности радиусом у/к с центром в начале координат (рис. 5).

Рис. 5. Изоклины и интегральные кривые уравнения у’ = х2 + у2.

В точках каждой из окружностей нужно провести отрезки, образующие с осью ОХ один и тот же угол α, тангенс которого равен k. Так, при k = 1 изоклиной является единичная окруж­ность х2 + у2 = 1, при k = 4 — окружность х2 + у2 = 22 радиу­са 2, при k = 9 — окружность х2+у2 = З2 радиуса 3 и т. д. Этим изоклинам соответствуют направления отрезков, образующих с осью ОХ углы α1 = arctg 1 = π/4, α2 = arctg 4 и α3 = arctg 9.

При k = 0 получаем х2 + у2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет единственная точка (0, 0). В этом случае изоклина состоит из одной точки, для которой tg α = 0. На рис. 5 построены вышеперечисленные изоклины и изображено поле направ­лений данного дифференциального уравнения. Для того чтобы построить интегральную кривую, возьмем на плоскости произ­вольную точку (х0,у0). Проведем через эту точку кривую так, чтобы она в каждой точке касалась поля направлений. Это и будем искомой интегральной кривой, проходящей через точку (х0,у0). В качестве примера, на рис. 5 построены интегральные кривые, проходящие через точки (0; 0), (–1; 1) и (1; –1).

Далеко не для любого дифференциального уравнения первого поряд­ка можно получить общее решение в виде, как говорят, квадратурных формул, т. е. свести его к вычислению неопределенных ин­тегралов методами рассмотренными в лекциях по интегральному исчислению.

Рассмотрим некоторые из простейших типов уравнений, для которых такое решение может быть получено.

Простейшие дифференциальные уравнения.

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение 11. Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида

. (6)

Для того, чтобы отделить переменные, оставив в каждом слагаемом функцию только одного переменного, нужно обе части уравнения умножить на выражение, равное

.

Полученное при этом уравнение

(7)

называется уравнением с разделенными переменными

Интегри­руя уравнение (7), получаем общее решение уравнения в виде квадра­тур

(8)

Пример 8. Найти общее решение уравнения 2уу’ = 1 – Зх2

Решение. Очевидно, что данное уравнение допускает разделение переменных

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Пример 9. Найти частное решение уравнения у’ =, при у(1)=2 Решение. Разделив переменные

интегрируем и получаем

где произвольная постоянная С0 = lnC1. Воспользовавшись свойством логарифма, после операции потенцирования будем иметь общее решение в виде

Используя начальное условие у(1) = 2, находим 2 =, те С = 2 и искомое частное решение равно у .

При делении на у мы могли потерять решение у = 0, но последнее содержится в формуле у = при С = 0.

Замечание 1. Некоторые дифференциальные уравнения можно привести к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнение у‘ = f(ax + bу + с), (b ≠ 0) приводится к виду уравнений с разделяющимися переменными при помощи замены u = ах + by + с, где u -новая искомая функция.

Пример 10. Найти общее решение уравнения у’ = (8х + 2у + 1)2 Решение. Введем новую переменную и = 8х + 2у +1, откуда

и уравнение примет вид

Найдем решение этого уравнения с разделяющимися переменными

Полученное решение является общим интегралом данного уравнения.

2. Однородные диф­ференциальные уравнения первого порядка.

Например, функция f(x,y) = ху — у2 есть однородная функция второй степени так как

.

Определение 13. Дифференциальное уравнение первого порядка

(9)

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференци­альному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

где t = — новая неизвестная функция.

Пример 11. Найти общее решение уравнения (х2 – 2y2)dx + 2xydy = 0

Решение. В данном уравнении функции Р(х, у) = х2 – 2у2 и Q(x,y) = 2ху — однородные функции второй степени, следовательно, решаемое уравнение является однородным. Положим у = tx, откуда dy = tdx + xdt. Подставим выражения для у и dy в исходное дифферен­циальное уравнение

Разделим переменные в последнем уравнении и проинтегрируем

Возвращаясь к переменной у находим общее решение

Однородное дифференциальное уравнение перво­го порядка может быть так же представлено в виде

(11)

где F(x, у) — однородная функция нулевой степени.

Для того, чтобы решить уравнение в этом виде, можно используя равенство представить это уравнение в виде (9) и далее решать, используя подстановку (10).

Пример 12. Найти все решения уравнения

.

Решение. Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, т. к. оно представлено в виде , где = − однородная функция нулевой степени. Действительно,

. Для решения уравнения заменяем в нем на и приводим его к виду (9)

→ . (12)

Здесь , .

Далее решаем это уравнение способом, рассмотренным в примере 11.

→ , . Подставим и в уравнение (12). Получим . Или . Это уравнение уже позволяет разделить переменные t и x:

.

Интегрируя полученное уравнение , получаем .

Возвращаемся к исходным переменным: , и получаем общее решение

.

Особое решение. В процессе решения было произведено деление на . Следовательно, необходимо проверить, являются ли те значения у, при которых t = 0 решением заданного уравнения и если являются, то содержатся ли они в общем решении. Как видно их подстановки , таким значением у является у = 0 ( х ≠ 0). Это значение является решением заданного дифференциального уравнения, т. к. оно обращает уравнение в тождество. Но в тоже время это решение является особым, т. к. оно не может быть получено из общего решения ни при каком числовом значении постоянной С.

Было произведено деление также на х. Убеждаемся, что х = 0 ( у ≠ 0) – частное решение заданного дифференциального уравнения, т. е. может быть получено из общего решения.

Замечание 2. Если и , то,

полагая в уравнении где постоянные α и β опреде-

ляются из решения системы, уравнений получим однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменных u и v. Если Δ = 0, то, полагая в уравнении u = a1x + b1у, получим сразу уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 13. Найти общее решение уравнения

(2х + у + l)dx + (x + 2y – l)dy = 0

Решение. После преобразований получим

а1 = 2, b1 = 1, а2 = 1, b2 = 2

Тогда в соответствии с замечанием 2 введем новые переменные

где постоянные α и β определяются из решения системы уравнений

и исходное уравнение преобразуется к виду

т. е. к виду однородного дифференциального уравнения относительно u и v

После подстановки в дифференциальное уравнение будем иметь

решая которое, найдем:

Подставим обратно t = u/v и после преобразований найдем:

Наконец, возвращаясь к переменным х и у (u = х + 1, v = у – 1), после элементарных преобразований найдем общий интеграл исходного уравнения:

3. Линейные дифференциальные уравнения первого по­рядка.

Определение 14. Линейным дифференциальным уравнением пер­вого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвест­ной функции и ее производной

Если в частном случае Q(x) = 0, то уравнение (13) называется линейным уравнением без правой части или линейным однородным диф­ференциальным уравнением первого порядка.

Если Q(x) не является тождественным нулем, то уравнение (13) назы­вается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Рассмотрим самый распространенный метод решения линейных урав­нений.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Этот метод в дальнейшем мы будем использовать также и при решении линейных уравнений высших порядков.

Метод вариации произвольной постоянной заключается в следующем.

Первый этап. Рассмотрим сначала линейное однородное дифференциальное уравнение

Переменные здесь отделяются

.

(14)

Второй этап. Общее решение исходного неоднородного уравнения (13), когда Q(x) ≠ 0 будем искать в виде

(15)

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0. (7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или . (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение имеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение — функции где C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С₀) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x₀ равна заданному значению y₀ , то есть y (x₀) = y₀ или (7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие . Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x₀) = y₀.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной .

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение имеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение имеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).

Если задано начальное условие то это означает, что задана точка M₀ (x₀;y₀), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M₀ (x₀; y₀).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f₁ (y) dy = f₂ (x) dx, (7.8)
где f₁ (y) и f₂ (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:


— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
является частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0 (7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f₂ (y) g₁ (x), получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя это уравнение, запишем
.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
.

Интегрируя, получим

— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
откуда

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену будем иметь:

Тогда уравнение (7.10) запишется в виде (7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
или y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение примет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть , откуда .

После интегрирования получим
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить вместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
или .

Отделяя переменные, найдем
откуда или , то есть
.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: .

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем , откуда

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):

откуда

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: или
. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
или

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на , тогда .
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения который удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда

Подставим v в уравнение и найдем u:

Общее решение дифференциального уравнения будет:

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:

Из общего решения получаем частное решение
.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
(или )
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем y» (или x») в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на y»:

Сделаем замену:
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. .
Сделаем замену Тогда

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения

Тогда .

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим , а при y -1 = z = uv, имеем

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную искомую функцию и производные искомой функции до некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Здесь — известная функция, заданная в некоторой области

Число т. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

используя последнее в окрестности тех точек, в которых обращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Обе переменные и входят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию получаем более симметричное уравнение:

где Обратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно или так что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), определена на некотором подмножестве вещественной плоскости Функцию определенную в интервале мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

1. Существует производная для всех значений из интервала (Отсюда следует, что решение представляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
2. Функция обращает уравнение (2) в тождество:

справедливое для всех значений из интервала Это означает, что при любом из интервала точка принадлежит множеству и

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения этого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

является решением уравнения

в интервале ибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

справедливое при всех значениях

Пример 2.

Функция есть решение равнения в интервале

Пример 3.

является решением уравнения

в интервале

Иногда функцию обращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y₁ = y₁ (x), y₂ = y₂ (x), . y_n = y_n (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y₁ , y₂ , . y_n и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила .

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что сила, а соответственно и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от . Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
(7.38)

где x — независимая переменная, y₁, y₂, . y_n — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y₁, y₂, . y_n, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y₁, y₂, . y_n , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):

Заменим производные
их выражениями f₁, f₂, . f_n из уравнений системы (7.38), получим уравнение

Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем

Продолжая дальше таким образом, получим

В результате получаем следующую систему уравнений:
(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y₂, y₃, . y_n:
(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y₁:

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
как функции от x, C₁, C₂, . C_n. Подставим эти функции в (7.41), найдем
(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему

когда заданы начальные условия
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
. Подставляем сюда значение и из системы, получим

Из первого уравнения системы найдем и подставим в полученное нами уравнение:
или

Общим решением этого уравнения является
(*)
и тогда (**)

Подберем постоянные С₁ и С₂ так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С₁ – 9; 0 = С₂ – 2С₁ + 14, откуда С₁ = 10, С₂ = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
(7.44)
где коэффициенты a_ij — постоянные числа, t — независимая переменная, x₁ (t), . x_n (t) —
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
(7.45)

Надо определить постоянные α₁, α₂, . α_n и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α₁, α₂, . α_n. Составим определитель системы:

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:
или k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = 4.

Решение системы ищем в виде

Составим систему (7.46) для корня k₁ и найдем и :
или

Откуда Положив получим
Итак, мы получили решение системы:

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:

Откуда
Получим второй решение системы:
Общее решение системы будет:

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k₁ = α + iβ, k₂ = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

(7.47)

(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
(7.49)
где — действительные числа, которые определяются через .

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k₁ = –6 + i, k₂ = –6 – i .

Подставляем поочередно k₁, k₂ в систему (7.46), найдем

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных

Перепишем эти решения в таком виде:

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:

Общим решением системы будет

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.