Геометрический смысл параметрического уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой на плоскости: описание, примеры, решение задач

Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости

Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.

Допустим, нам задана прямоугольная система координат O x y . А также заданы прямая а с указанием лежащей на ней точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и направляющий вектор заданной прямой a → = ( a x , a y ) . Дадим описание заданной прямой a , используя уравнения.

Используем произвольную точку М ( x , y ) и получим вектор М 1 М → ; вычислим его координаты по координатам точек начала и конца: M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) . Опишем полученное: прямая задана множеством точек М ( x , y ) , проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Указанное множество задает прямую только тогда, когда векторы M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) и a → = ( a x , a y ) являются коллинеарными.

Существует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, которое в данном случае для векторов M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) и a → = ( a x , a y ) возможно записать в виде уравнения:

M 1 M → = λ · a → , где λ – некоторое действительное число.

Уравнение M 1 M → = λ · a → называют векторно-параметрическим уравнением прямой.

В координатной форме оно имеет вид:

M 1 M → = λ · a → ⇔ x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Уравнения полученной системы x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при переборе всех действительных значений параметра λ

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости

Согласно вышесказанному, параметрические уравнения прямой на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ определяют прямую линию, которая задана в прямоугольной системе координат, проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Следовательно, если заданы координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора, то возможно сразу записать параметрические уравнения заданной прямой.

Необходимо составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат, если заданы принадлежащая ей точка М 1 ( 2 , 3 ) и ее направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Решение

На основе исходных данных получим: x 1 = 2 , y 1 = 3 , a x = 3 , a y = 1 . Параметрические уравнения будут иметь вид:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Ответ: x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Необходимо отметить: если вектор a → = ( a x , a y ) служит направляющим вектором прямой а, а точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и М 2 ( x 2 , y 2 ) принадлежат этой прямой, то ее возможно определить, задав параметрическими уравнениями вида: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , а также и таким вариантом: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

К примеру, нам заданы направляющий вектор прямой a → = ( 2 , — 1 ) , а также точки М 1 ( 1 , — 2 ) и М 2 ( 3 , — 3 ) , принадлежащие этой прямой. Тогда прямую определяют параметрические уравнения: x = 1 + 2 · λ y = — 2 — λ или x = 3 + 2 · λ y = — 3 — λ .

Следует обратить внимание и на такой факт: если a → = ( a x , a y ) — направляющий вектор прямой a , то ее направляющим вектором будет и любой из векторов μ · a → = ( μ · a x , μ · a y ) , где μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Таким образом, прямая а на плоскости в прямоугольной системе координат может быть определена параметрическими уравнениями: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ при любом значении μ , отличном от нуля.

Допустим, прямая а задана параметрическими уравнениями x = 3 + 2 · λ y = — 2 — 5 · λ . Тогда a → = ( 2 , — 5 ) — направляющий вектор этой прямой. А также любой из векторов μ · a → = ( μ · 2 , μ · — 5 ) = 2 μ , — 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 станет направляющим вектором для заданной прямой. Для наглядности рассмотрим конкретный вектор — 2 · a → = ( — 4 , 10 ) , ему соответствует значение μ = — 2 . В таком случае заданную прямую можно также определить параметрическими уравнениями x = 3 — 4 · λ y = — 2 + 10 · λ .

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно

В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.

Параметрическим уравнениям прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ будет соответствовать каноническое уравнение прямой на плоскости x — x 1 a x = y — y 1 a y .

Разрешим каждое из параметрических уравнений относительно параметра λ , приравняем правые части полученных равенств и получим каноническое уравнение заданной прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y

При этом не должно смущать, если a x или a y будут равны нулю.

Необходимо осуществить переход от параметрических уравнений прямой x = 3 y = — 2 — 4 · λ к каноническому уравнению.

Решение

Запишем заданные параметрические уравнения в следующем виде: x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ

Выразим параметр λ в каждом из уравнений: x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ ⇔ λ = x — 3 0 λ = y + 2 — 4

Приравняем правые части системы уравнений и получим требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

x — 3 0 = y + 2 — 4

Ответ: x — 3 0 = y + 2 — 4

В случае, когда необходимо записать уравнение прямой вида A x + B y + C = 0 , при этом заданы параметрические уравнения прямой на плоскости, необходимо сначала осуществить переход к каноническому уравнению, а затем к общему уравнению прямой. Запишем всю последовательность действий:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ A x + B y + C = 0

Необходимо записать общее уравнение прямой, если заданы определяющие ее параметрические уравнения: x = — 1 + 2 · λ y = — 3 · λ

Решение

Для начала осуществим переход к каноническому уравнению:

x = — 1 + 2 · λ y = — 3 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 3 ⇔ x + 1 2 = y — 3

Полученная пропорция идентична равенству — 3 · ( x + 1 ) = 2 · y . Раскроем скобки и получим общее уравнение прямой: — 3 · x + 1 = 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Ответ: 3 x + 2 y + 3 = 0

Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.

Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.

Самый простой переход: от канонического уравнения к параметрическим. Пусть задано каноническое уравнение вида: x — x 1 a x = y — y 1 a y . Каждое из отношений этого равенства примем равным параметру λ :

x — x 1 a x = y — y 1 a y = λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y

Разрешим полученные уравнения относительно переменных x и y :

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Необходимо записать параметрические уравнения прямой, если известно каноническое уравнение прямой на плоскости: x — 2 5 = y — 2 2

Решение

Приравняем части известного уравнения к параметру λ : x — 2 5 = y — 2 2 = λ . Из полученного равенства получим параметрические уравнения прямой: x — 2 5 = y — 2 2 = λ ⇔ λ = x — 2 5 λ = y — 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Ответ: x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.

Необходимо записать параметрические уравнения прямой при известном общем уравнении этой прямой: 4 x — 3 y — 3 = 0 .

Решение

Заданное общее уравнение преобразуем в уравнение канонического вида:

4 x — 3 y — 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Приравняем обе части равенства к параметру λ и получим требуемые параметрические уравнения прямой:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 · λ y = — 1 3 + 4 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = — 1 3 + 4 · λ

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости

Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

1. В задачах первого типа заданы координаты точек, принадлежащих или нет прямой, описанной параметрическими уравнениями.

Решение таких задач опирается на следующий факт: числа ( x , y ) , определяемые из параметрических уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при некотором действительном значении λ , являются координатами точки, принадлежащей прямой, которая описывается этими параметрическими уравнениями.

Необходимо определить координаты точки, которая лежит на прямой, заданной параметрическими уравнениями x = 2 — 1 6 · λ y = — 1 + 2 · λ при λ = 3 .

Решение

Подставим в заданные параметрические уравнения известное значение λ = 3 и осуществим вычисление искомых координат: x = 2 — 1 6 · 3 y = — 1 + 2 · 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Ответ: 1 1 2 , 5

Также возможна следующая задача: пусть задана некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 ) на плоскости в прямоугольной системе координат и нужно определить, принадлежит ли эта точка прямой, описываемой параметрическими уравнениями x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Чтобы решить подобную задачу, необходимо подставить координаты заданной точки в известные параметрические уравнения прямой. Если будет определено, что возможно такое значение параметра λ = λ 0 , при котором будут верными оба параметрических уравнения, тогда заданная точка является принадлежащей заданной прямой.

Заданы точки М 0 ( 4 , — 2 ) и N 0 ( — 2 , 1 ) . Необходимо определить, являются ли они принадлежащими прямой, определенной параметрическими уравнениями x = 2 · λ y = — 1 — 1 2 · λ .

Решение

Подставим координаты точки М 0 ( 4 , — 2 ) в заданные параметрические уравнения:

4 = 2 · λ — 2 = — 1 — 1 2 · λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Делаем вывод, что точка М 0 принадлежит заданной прямой, т.к. соответствует значению λ = 2 .

Далее по аналогии проверим заданную точку N 0 ( — 2 , 1 ) , подставив ее координаты в заданные параметрические уравнения:

— 2 = 2 · λ 1 = — 1 — 1 2 · λ ⇔ λ = — 1 λ = — 4

Очевидно, что не существует такого параметра λ , которому будет соответствовать точка N 0 . Другими словами, заданная прямая не проходит через точку N 0 ( — 2 , 1 ) .

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной прямой; точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

1. В задачах второго типа требуется составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Самый простой пример такой задачи (при известных координатах точки прямой и направляющего вектора) был рассмотрен выше. Теперь разберем примеры, в которых сначала нужно найти координаты направляющего вектора, а потом записать параметрические уравнения.

Пример 8

Задана точка M 1 1 2 , 2 3 . Необходимо составить параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку и параллельной прямой x 2 = y — 3 — 1 .

Решение

По условию задачи прямая, уравнение которой нам предстоит опередить, параллельна прямой x 2 = y — 3 — 1 . Тогда в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку, возможно использовать направляющий вектор прямой x 2 = y — 3 — 1 , который запишем в виде: a → = ( 2 , — 1 ) . Теперь известны все необходимые данные для того, чтобы составить искомые параметрические уравнения:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + ( — 1 ) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 — λ

Ответ: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 — λ .

Задана точка М 1 ( 0 , — 7 ) . Необходимо записать параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Решение

В качестве направляющего вектора прямой, уравнение которой надо составить, возможно взять нормальный вектор прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 . Его координаты ( 3 , — 2 ) . Запишем требуемые параметрические уравнения прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = — 7 + ( — 2 ) · λ ⇔ x = 3 · λ y = — 7 — 2 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = — 7 — 2 · λ

1. В задачах третьего типа требуется осуществить переход от параметрических уравнений заданной прямой к прочим видам уравнений, которые ее определяют. Решение подобных примеров мы рассматривали выше, приведем еще один.

Пример 10

Дана прямая на плоскости в прямоугольной системе координат, определяемая параметрическими уравнениями x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ . Необходимо найти координаты какого-либо нормального вектора этой прямой.

Решение

Чтобы определить искомые координаты нормального вектора, осуществим переход от параметрических уравнений к общему уравнению:

x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ ⇔ λ = x — 1 — 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x — 1 — 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x — 1 = — 3 4 · y + 1 ⇔ x + 3 4 y — 1 4 = 0

Коэффициенты переменных x и y дают нам требуемые координаты нормального вектора. Таким образом, нормальный вектор прямой x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ имеет координаты 1 , 3 4 .

Параметрическое уравнение прямой — виды, параметры и примеры решения

Краткое описание

В геометрии прямая линия представляет собой совокупность обычных точек, которые соединяют любые две точки пространства отрезком небольшой длины. Он является неотъемлемой частью прямой. Все кривые линии, которые будут пересекаться в зафиксированных двух точках, в итоге получат большую длину, из-за чего они не могут называться прямыми. Понять все тонкости поможет универсальная параметризация (моделирование и проектирование с использованием параметров элементов модели и соотношений между ними).

В геометрии принято различать несколько разновидностей уравнений параметрического типа. С их помощью можно лаконично и правильно описать окружность прямой в двухмерном или трёхмерном пространстве. Специалисты различают следующие разновидности уравнений:

• параметрическое;
• векторное;
• общего типа;
• в отрезках;
• каноническое (симметричное).

Лучше всего начать изучение параметрического уравнения прямой в пространстве на векторном примере.

Этот метод чаще всего используют в школах при объяснении темы. Нелишним также будет узнать связь параметрического уравнения с симметричным. В каждом случае действуют свои правила, которые нельзя оставлять без внимания.

Ключевые особенности

Представление прямой К в уравнении имеет обычную формулировку: в=в1+nr/c=c1+wr. В этом случае в1 и с1 являются координатами точки M1 на прямой К. Вектор q= считается направляющим элементом отрезка К. Используемый символ r отображает некоторый параметр.

При записи уравнения направляющий вектор не должен быть нулевым. Для самостоятельного построения отрезка на поверхности в декартовой прямоугольной системе координат, которая была задана соответствующими уравнениями, достаточно задать параметру r две разные величины, правильно вычислить в и с, а также провести через эти две точки прямые параллельные линии.

Чтобы составить нормальное уравнение прямой линии на плоскости К, достаточно иметь точку на этой линии и направляющий вектор (можно заменить двумя точками). В первом случае нужно все координаты точки и направляющего вектора вставить в конструкцию. Во второй ситуации необходимо первым делом найти направляющий вектор для прямой q=. Обязательно нужно вычислить разность точек М1 и М2: в=в2-в1, w=с2-с1. После этого остаётся только правильно подставить координаты одной из точек и направляющего вектора (q).

При желании также можно вывести формулу параметрического уравнения, когда одна линия проходит сразу через две точки. Для этого нужно подставить значения m= в2-в1, w=с2-с1. За счёт этого можно получить уравнение отрезка на плоскости, которая проходит через точки М1 (в1, с1) и М2 (в2, с2). Решение таких задач считается элементарным, но важно не запутаться во всех формулировках.

Значение векторного типа

Все разновидности примеров в геометрии тесно связаны друг с другом. В качестве основы для них выступает векторное уравнение, так как именно оно следует из определённой прямой. Для примера можно рассмотреть ситуацию, когда в пространстве дана точка Y (t0, e0, x0). По условиям известно, что она принадлежит прямой. В этом случае можно провести бесконечное количество линий.

Для проведения единственной прямой следует правильно задать направление, которое определяется вектором. Для обозначения можно задействовать v (a, b, c). Символы в скобках являются координатами. Для всех точек W (s, z, m), которые расположены на конкретной прямой, можно написать логическое равенство: (s, z, m) = (t0, e0, x0) + а*v — (a, b, c).

В приведённом примере был взят символ а, который может принимать любое значение. Если попробовать умножить вектор на определённое число, то в итоге можно будет изменить не только первоначальный модуль, но и направление. Это равенство принято называть векторным уравнением для прямой в трёхмерном пространстве. Если правильно оперировать параметром а, то в итоге можно получить все точки (s, z, m), которые сформируют одну линию.

Направляющим принято называть стоящий в уравнении вектор v — (a, b, c). Длина прямой бесконечна, к тому же она не имеет чёткого направления. Все эти факторы означают, что абсолютно любой вектор, который был получен из v — при помощи умножения на действительное число, тоже будет выступать в роли направляющей для прямой.

Если нужно определиться с точкой Y (t0, e0, x0), то в качестве примера вместо неё можно задействовать произвольную точку, которая лежит на прямой. Когда приведённый пример сопоставить с двухмерной реальностью, можно будет получить следующую формулу: (s, z) = (t0, e0) + а * (a; b). Результат практически идентичен с предыдущим случаем, но только в этой ситуации применяются две координаты вместо привычных трёх для указания всех векторов и точек.

Универсальное каноническое уравнение

Специалистами было доказано, что все уравнения, которые задают прямую на плоскости и в пространстве, являются зависимыми друг от друга. Способ получения канонического уравнения из параметрического лучше рассмотреть на конкретном примере. Для пространственного случая свойственны следующие данные:

1. L = l0 + g * a.
2. E = e0 + g * b.
3. S = s0 + g * c.

Теперь можно выразить необходимый параметр в каждом равенстве: g=(l — l0) / a; g=(e — e 0) / b; g=(s — s0) / c. Так как все левые части равенства являются идентичными, то правые тоже будут равны друг другу. Пример: g=(l — l0) / а=(e — e0) / b=(s — s0) / c. Он является обычным каноническим уравнением для прямой в пространстве. В каждом выражении значение определённого знаменателя представляет собой соответствующую координату направляющего вектора.

Из любой переменной обязательно вычитаются необходимые значения в числителе. Благодаря полученному результату можно построить уравнение таким образом, чтобы получить ответ в виде проекции на координатные плоскости.

Наглядный пример

Параметрическое уравнение прямой на плоскости можно получить в том случае, когда в полном объёме раскрыть векторный пример. Если всё сделать правильно, то в итоге можно получить следующие данные:

• d = d0 + j x a;
• f = f0 + j x b;
• v = v0 + j x c.

В этом случае представлена определённая совокупность трёхлинейных равенств, в каждом из которых есть только одна переменная координата и параметр j. Последний принято называть параметрическим уравнением обычных прямых линий в пространстве. Ничего нового введено не было, поскольку просто был записан смысл соответствующего векторного выражения.

Для более глубокого понимания этой темы следует учесть один важный момент: число j является произвольным, но для всех трёх равенств оно одинаковое. Например, если j = -2,5 для первого равенства, то именно это значение будет присвоено второму и третьему во время определения координат конкретной точки.

Правильное решение параметрических уравнений в онлайн-режиме пользуется большим спросом, но для лучшего понимания этого направления в геометрии следует искать правильный ответ не только при помощи калькулятора, но и самостоятельно. Если внимательно изучить теорию, то можно сделать вывод, что параметризация прямой на плоскости идентична пространственному случаю. А это означает, что для составления уравнения параметрической прямой линии нужно записать для неё в явном виде векторное уравнение.

Задача с параметрическими прямыми на плоскости

Именно этот пример является актуальным, так как он чаще всего используется по отношению к прямоугольной системе координат. В задачах первого типа заданы определённые координаты точек, которые иногда могут принадлежать прямой, подробно описанной геометрическими уравнениями.

Для поиска правильного решения необходимо полагаться на следующий факт: числа (f, r) всегда определяются из стандартного уравнения: f<>f1+af*ϰ / r=r1+ar*ϰ. В примере используется действительное значение ?, при котором полученные координаты точки относятся к прямой линии, описываемой этими уравнениями параметрического типа.

В геометрии также часто можно встретить задачу, когда задана определённая точка Е0 (х0, у0) на плоскости в прямоугольной системе координат. Ученику нужно определить, принадлежит ли конкретная точка прямой. Для преобразования следует задействовать следующую формулу: х=х1+ах*ϰ / у=у1+ау*ϰ. Для правильного решения задания нужно подставить координаты заданной точки в известные уравнения. Если после проделанных манипуляций удастся определить то, что ?=?0, при котором правильными окажутся оба уравнения, то заданная точка принадлежит конкретному отрезку.

Задачи второго типа рассчитаны на то, что абитуриент составит необходимое геометрическое уравнение линии на плоскости в прямоугольной математической системе координат. Для поиска верного решения необходимо выполнить элементарный переход одной математической конструкции в другую. А вот в задачах третьего типа необходимо плавно преобразовать параметрические уравнения заданной прямой в иные виды уравнений, которые её определяют. В качестве примера следует изучить задачу.

Дана прямая линия в системе координат прямоугольного типа, которую можно определить обычным уравнением х=1-3/4*ϰ / у=-1+ϰ. Цель задачи: отыскать верные координаты какого-либо вектора прямой. Решение основано на том, что для достижения желаемого результата необходимо осуществить перевод к общему уравнению:

Коэффициенты х позволяют получить все необходимые координаты вектора. Это значит, что вектор прямой х=1-¾*ϰ /у=-1+ϰ после проделанных манипуляций будет иметь координаты 1, ¾.

Использование трёх точек

Такие задачи отличаются повышенной сложностью, поскольку для их решения необходимо обладать необходимыми знаниями. Для лучшего усвоения этой темы следует изучить следующий пример. По условиям задачи были даны координаты трёх точек:

Нужно правильно определить, лежат ли все эти точки на одной прямой линии. Первым делом необходимо выполнить следующие действия: составить уравнение прямой сразу для двух любых точек, а только после этого подставить координаты третьей точки, чтобы проверить, соответствуют ли они полученному равенству. Лучше всего в параметрической форме составить уравнение через H и D. Для решения лучше задействовать обычную формулу, которую подгоняют под трёхмерный случай. В итоге можно получить:

После этого остаётся только поочерёдно подставить в эти выражения координаты точки W и отыскать значение параметра альфа, который максимально им соответствует. Решение:

Проанализировав результат, можно понять, что все три равенства будут верны, но только в том случае, если каждое из них получит отличающееся от других значение параметра а. Конечно, последний факт логически противоречит условию параметрического геометрического уравнения прямой, в котором значение а должно быть равно для всех примеров. Это означает, что W прямой HD не принадлежит, из-за чего все три точки никак не могут лежать на одной плоскости.

Параметрическое уравнение прямой. Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Прямая вместе с точкой являются важными элементами геометрии, с помощью которых строятся многие фигуры в пространстве и на плоскости. В данной статье подробно рассматривается параметрическое уравнение прямой, а также его связь с другими типами уравнений для этого геометрического элемента.

Прямая и уравнения для ее описания

Прямая в геометрии представляет собой совокупность точек, которые соединяют произвольные две точки пространства отрезком с наименьшей длиной. Этот отрезок является частью прямой. Любые другие кривые, соединяющие зафиксированные две точки в пространстве, будут иметь большую длину, поэтому прямыми не являются.

Вам будет интересно: Тайны «Аненербе»: история, артефакты, архивы

На рисунке выше показаны две черные точки. Синяя линия, соединяющая их, является прямой, а красная — кривой. Очевидно, что длина красной линии между черными точками больше, чем синей.

Существуют несколько видов уравнений прямой, с помощью которых можно описать прямую в трехмерном пространстве или в двумерном. Ниже приведены названия этих уравнений:

• векторное;
• параметрическое;
• в отрезках;
• симметричное или каноническое;
• общего типа.

Вам будет интересно: Нейтральная лексика — это. Определение, понятие, значение и примеры

В данной статье рассмотрим параметрическое уравнение прямой, однако выведем его из векторного. Также покажем связь параметрического и симметричного или канонического уравнений.

Уравнение векторное

Понятно, что все приведенные типы уравнений для рассматриваемого геометрического элемента связаны между собой. Тем не менее векторное уравнение является базовым для всех них, поскольку оно непосредственно следует из определения прямой. Рассмотрим, как оно вводится в геометрию.

Допустим, дана точка в пространстве P(x0; y0; z0). Известно, что эта точка принадлежит прямой. Сколько прямых можно провести через нее? Бесконечное множество. Поэтому для того, чтобы можно было провести единственную прямую, необходимо задать направление последней. Направление, как известно, определяется вектором. Обозначим его v¯(a; b; c), где символы в скобках — это его координаты. Для каждой точки Q(x; y; z), которая находится на рассматриваемой прямой, можно записать равенство:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α × (a; b; c)

Здесь символ α является параметром, принимающим абсолютно любое действительное значение (умножение вектора на число может изменить только его модуль или направление на противоположное). Это равенство называется векторным уравнением для прямой в трехмерном пространстве. Изменяя параметр α, мы получаем все точки (x; y; z), которые образуют эту прямую.

Вам будет интересно: А. Пушкин «Песнь о вещем Олеге»: жанр и идея

Стоящий в уравнении вектор v¯(a; b; c) называется направляющим. Прямая не имеет конкретного направления, а ее длина является бесконечной. Эти факты означают, что любой вектор, полученный из v¯ с помощью умножения на действительное число, также будет направляющим для прямой.

Что касается точки P(x0; y0; z0), то вместо нее в уравнение можно подставить произвольную точку, которая лежит на прямой, и последняя при этом не изменится.

Рисунок выше демонстрирует прямую (синяя линия), которая задана в пространстве через направляющий вектор (красный направленный отрезок).

Не представляет никакого труда получить подобное равенство для двумерного случая. Используя аналогичные рассуждения приходим к выражению:

(x; y) = (x0; y0) + α × (a; b)

Видим, что оно полностью такое же, как и предыдущее, только используются две координаты вместо трех для задания точек и векторов.

Уравнение параметрическое

Сначала получим в пространстве параметрическое уравнение прямой. Выше, когда записывалось векторное равенство, уже упоминалось о параметре, который в нем присутствует. Чтобы получить параметрическое уравнение, достаточно раскрыть векторное. Получаем:

Совокупность этих трех линейных равенств, в каждом из которых имеется одна переменная координата и параметр α, принято называть параметрическим уравнением прямой в пространстве. По сути, мы не сделали ничего нового, а просто явно записали смысл соответствующего векторного выражения. Отметим лишь один момент: число α, хотя и является произвольным, но оно для всех трех равенств одинаковое. Например, если α = -1,5 для 1-го равенства, то такое же его значение следует подставить во второе и в третье равенства при определении координат точки.

Параметрическое уравнение прямой на плоскости подобно таковому для пространственного случая. Оно записывается в виде:

Таким образом, чтобы составить параметрическое уравнение прямой, следует записать в явном виде векторное уравнение для нее.

Получение уравнения канонического

Как выше было отмечено, все уравнения, задающие прямую в пространстве и на плоскости, получаются одно из другого. Покажем, как получить из параметрического уравнения прямой каноническое. Для пространственного случая имеем:

Выразим параметр в каждом равенстве:

Поскольку левые части являются одинаковыми, тогда правые части равенств тоже равны друг другу:

(x — x0) / a = (y — y0) / b = (z — z0) / c

Это и есть каноническое уравнение для прямой в пространстве. Значение знаменателя в каждом выражении является соответствующей координатой направляющего вектора. Значения в числителе, которые вычитаются из каждой переменной, представляют собой координаты точки, принадлежащей этой прямой.

Соответствующее уравнение для случая на плоскости примет вид:

(x — x0) / a = (y — y0) / b

Дальше в статье решим несколько задач, используя полученные знания.

Уравнение прямой через 2 точки

Известно, что две фиксированные точки как на плоскости, так и в пространстве однозначно задают прямую. Предположим, что заданы две следующие точки на плоскости:

Как составить уравнение прямой через них? Для начала следует определить направляющий вектор. Его координаты имеют следующие значения:

PQ¯(x2 — x1; y2 — y1)

Теперь можно записать уравнение в любом из трех видов, которые были рассмотрены в пунктах выше. Например, параметрическое уравнение прямой принимает вид:

x = x1 + α × (x2 — x1);

y = y1 + α × (y2 — y1)

В канонической форме можно переписать его так:

(x — x1 ) / (x2 — x1) = (y — y1) / (y2 — y1)

Видно, что в каноническое уравнение входят координаты обеих точек, причем в числителе можно менять эти точки. Так, последнее уравнение можно переписать следующим образом:

(x — x2) / (x2 — x1) = (y — y2) / (y2 — y1)

Все записанные выражения называются уравнениями прямой через 2 точки.

Задача с тремя точками

Даны координаты следующих трех точек:

Необходимо определить, лежат эти точки на одной прямой или нет.

Решать эту задачу следует так: сначала составить уравнение прямой для любых двух точек, а затем подставить в него координаты третьей и проверить, удовлетворяют ли они полученному равенству.

Составляем уравнение через M и N в параметрической форме. Для этого применим полученную в пункте выше формулу, которую обобщим на трехмерный случай. Имеем:

Теперь подставим в эти выражения координаты точки K и найдем значение параметра альфа, который им соответствует. Получаем:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;

-1 = 3 + α × (-1) => α = 4;

-5 = -1 + α × 1 => α = -4

Мы выяснили, что все три равенства будут справедливы, если каждое из них примет отличающееся от других значение параметра α. Последний факт противоречит условию параметрического уравнения прямой, в котором α должны быть равны для всех уравнений. Это означает, что точка K прямой MN не принадлежит, а значит, все три точки на одной прямой не лежат.

Задача на параллельность прямых

Даны два уравнения прямых в параметрическом виде. Они представлены ниже:

Необходимо определить, являются ли прямые параллельными. Проще всего определить параллельность двух прямых с использованием координат направляющих векторов. Обращаясь к общей формуле параметрического уравнения в двумерном пространстве, получаем, что направляющие вектора каждой прямой будут иметь координаты:

Два вектора являются параллельными, если один из них можно получить путем умножения другого на некоторое число. Разделим попарно координаты векторов, получим:

Это означает что:

Направляющие вектора v2¯ и v1¯ параллельны, значит, прямые в условии задачи тоже являются параллельными.

Проверим, не являются ли они одной и той же прямой. Для этого нужно подставить координаты любой точки в уравнение для другой. Возьмем точку (-1; 3), подставим ее в уравнение для второй прямой:

-1 = 2 — 6 × λ => λ = 1/2;

3 = 4 — 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

То есть прямые являются разными.

Задача на перпендикулярность прямых

Даны уравнения двух прямых:

Перпендикулярны ли эти прямые?

Две прямые будут перпендикулярны, если скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. Выпишем эти вектора:

Найдем их скалярное произведение:

(v1¯ × v2¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 — 12 = 0

Таким образом, мы выяснили, что рассмотренные прямые перпендикулярны. Они изображены на рисунке выше.