Геометрический смысл систем уравнений первого порядка

Системы алгебраических уравнений в математике с примерами решения и образцами выполнения

Целые рациональные функции от нескольких переменных: В этой главе мы изучим системы уравнений от нескольких переменных. В основном мы будем рассматривать системы алгебраичес­ких уравнений, то есть уравнений, обе части которых являются целыми рациональными функциями от неизвестных. Понятие це­лой рациональной функции от нескольких переменных определя­ется точно так же, как и в случае одного переменного; исходным, как и тогда, будет служить понятие целого рационального выраже­ния.

Алгебраическое выражение, получающееся из чисел и букв x, у, … , z с помощью операций сложения и умножения, называется целым рациональным выражением от х, у, …, z. Примерами целых рациональных выражений являются:

Как и в случае выражений от одного переменного, каждое целое рациональное выражение от нескольких переменных можно привести к каноническому виду. Речь идет о суммах одночленов, то есть о выражениях вида где буквы х, у,……., z стоят в определенном порядке. Такие суммы мы будем называть многочленами от х, у , …, z. Например, многочленами являются

Правила действия над многочленами вытекают из основных законов алгебры.

Системы уравнений

Рассмотрим некоторые общие вопросы теории систем уравнений. Для простоты ограничимся системами уравнений с двумя неизвестными, хотя основные результаты при­менимы и к системам уравнений с большим числом неизвестных.

Рассмотрим систему уравнений

Она выражает следующую задачу: найти все пары чисел (а, b) такие, что

Пары чисел (а, b), обладающие этим свойством, называют решениями системы (1). Если множество решений системы пусто, то сис­тема называется несовместной.

Тот факт, что пара (а, Ь) является решением системы уравнений с неизвестными х и у, записывается обычно в виде:

Например, пара чисел является решением системы уравнений

Помимо решения эта система имеет еще решения

Позже мы увидим, что иных решений она не имеет.

Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными

Возьмем любое уравнение относительно х и у:

и рассмотрим все точки М (х, у) некоторой плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Эти точки образуют не­ которое множество Г, и мы будем говорить, что уравнение (1) задает (или выражает) это множество. Обычно множество Г является некоторой линией. В этом случае уравнение (1) называют уравнением линии Г.

Чтобы найти точки линии имеющие абсцис­су а, надо подставить в уравнение вместо х значение а. Мы получим уравнение с одним неизвестным:

Может случиться, что это уравнение не имеет ни одного действительного корня. Тогда на линии нет точек с абсциссой х = а. Если же уравнение (2) имеет один или несколько корней, то каждому корню соответствует точка линии, имеющая абсциссу а.

Для некоторых уравнений на плоскости нет ни одной точки, координаты которых удовлетворяли бы этим уравнениям. Примером может служить

Ведь если х и у — действительные числа, то а потому Другим уравнениям соответствует лишь одна точка на плоскости. Например, возьмем уравнение

Так как то это уравнение может удовлетворяться лишь в случае, когда х = 3 и у = 4. Иными сло­вами, уравнение (3) задает на плоскости одну точку М (3, 4).

Однако такие случаи являются в некотором смысле исключи­ тельными, и мы ограничимся рассмотрением случаев, когда уравнение задает некоторую линию.

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла решений систем уравнений с двумя неизвестными. Возьмем такую систему:

Каждому из этих уравнений соответствует линия, координаты всех точек которой (и только этих точек!) удовлетворяют этому уравнению. Мы же ищем точки М (.х, у), координаты которых удовлетво­ряют обоим уравнениям. Ясно, что эти точки принадлежат обеим линиям, то есть являются точками их пересечения.

Итак, задача о решении системы уравнений равносильна зада­ че об отыскании точек пересечения соответствующих линий. Каж­дой точке пересечения линий соответствует решение системы.

Совокупность уравнений

образуют совокупность, если требуется найти все пары чисел х = а, у = b, удовлетворяющие хотя бы одному из уравнений (1). Все такие пары чисел (а, Ь) будем называть решениями совокупности (1). Геометрически решения совокупности (1) изобра­жаются фигурой, образованной объединением всех кривых

Например, возьмем уравнения Первое из них является уравнением прямой, а второе — уравнением ок­ружности (см. рис. 11). Если рассматривать эти два уравнения как систему

то решения будут изображаться точками пересечения прямой и ок­ружности (то есть точками Л и В на рис. 11). Если же рассматривать эти уравнения как совокупность уравнений

то решение этой совокупности изображаются геометрической фигурой, получаемой объединением прямой и окружности.

Чтобы различать системы уравнений и совокупности уравне­ний, мы и стали обозначать систему уравнений так:

а совокупность уравнений так:

Можно говорить и о таком более сложном понятии, как совокупность систем уравнений. Например, возьмем такую запись:

Она означает, что надо найти решения системы уравнений

и найти решения системы уравнений

и объединить найденные решения.

Геометрически это изображается так: надо найти точки пересечения ли­ний и точки пересечения линий и и объединить найденные точки в одно множество. Иными сло­вами, если — множество точек плоскости, координаты которых удовлет­воряют уравнению — множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению то решения совокупности систем (2) образуют множество

Равносильные систе­мы уравнений

Две системы уравнений

называются равносильными, если всякое решение пер­вой системы является ре­шением второй, а всякое решение второй системы является решением первой.

В частности, любые две несовместные системы ура­внений равносильны.

Геометрически это оз­начает следующее: линии и пересекаются в тех же самых точках, что и кривые (см. рис. 12).

Процесс решения системы уравнений заключается в том, что ее последовательно заменяют равносильными ей системами уравнений (или совокупностями систем уравнений) до тех пор, пока не придут к совокупности вида:

Эта совокупность и дает решения заданной системы уравнений.

При решении систем уравнений чаще всего используются следующие теоремы о равносильности.

Теорема:

заменить любое из уравнений равносильным ему уравнением, то по­лучим систему, равносильную первоначальной.

Доказательство:

Пусть равносильно уравнению Обозначим через А множество решений уравнения через А* — множество решений уравнения а через В — множество решений уравнения Тогда множеством решений системы (4) является пересече­ние а множеством решений системы

является пересечение Поскольку уравнения и равносильны, то

а значит, и то есть системы (4) и (4′) равносильны. Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает такое

Следствие:

Каждая система уравнений

равносильна некоторой системе уравнений вида

В самом деле, уравнение равносильно уравне­нию а уравнение уравнению

Теорема:

Если функции определены на некотором множестве М, то на этом множестве уравнение

равносильно совокупности уравнений

Доказательство:

Если — решение уравнения (5), то имеет место равенство

Но произведение нескольких чисел может равняться нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из сомножителей. Поэтому для некоторого имеем: и, значит одно из решений совокупности (6).

Обратно, если — одно из решений совокупности (6), то по крайней мере для одного k имеем а тогда выполняется равенство (5′), и поэтому — одно из решений уравнения (5).

Из теоремы 2 вытекает.

Следствие:

равносильна совокупности систем уравнений

Например, система уравнений

равносильна совокупности систем

Это следствие позволяет сводить системы к совокупностям более простых систем

Метод подстановки

Теоремы п. 5 относятся по сути дела к отдельным уравнениям, а не к системе в целом. При решении систем уравнений применяются также преобразования уравнений, затра­гивающие не одно уравнение, а несколько. Например, для реше­ния системы

мы находим из первого уравнения выражение у через и подставляем это выражение во второе уравнение. Решая полученное уравнение находим корни Так как то оба соответствующих значения неизвестно­го у равны 6. Значит, решение системы можно записать в виде:

Метод, которым была решена эта система, называется методом подстановки. Он позволяет сводить решение системы уравнений с двумя неизвестными к более простой задаче — решению одного уравнения с одним неизвестным. Выясним теперь, на чем же основан метод подстановки. Для этого докажем следующую теорему.

Теорема:

равносильна системе уравнений

Доказательство:

Пусть — решение системы уравнений (1). Тогда b = f (а) и Ф (а, b)=0. Поэтому Ф (а, f(а)) = 0. Равенства b= f(а) и показывают, что является решением системы уравнений (2).

Обратно, пусть — решение системы уравнений (2). Тогда имеют место равенства Из них вытекает, что А это и означает, что является решением системы уравнений (1).

Тем самым равносильность систем уравнений (1) и (2) доказана.

Из теорем 2 и 3 вытекает

Следствие:

Если уравнение F (х, у)=0 равносильно уравнению , то система уравнений

равносильна системе уравнений

Мы уже говорили, что теорема 3 лежит в основе метода решения систем уравнений с двумя неизвестными, называемого методом исклю­чения неизвестных. Он состоит в следующем.

Пусть задана система уравнений

Выразим из первого уравнения системы у через х, то есть заменим уравнение F(х, у)= 0 равносильным ему уравнением у = f(х). Полученное выражение для у подставим во второе уравнение, то есть заменим систему уравнений (1) равносильной ей системой

Уравнение Ф (х,f(x)) является уже уравнением с одним неизвестным. Решая его, получим корни . Им соответствуют значения неизвестного у. В соответст­вии с этим получаем решения

Часто приходится заменять уравнение F(х,у)= 0 не одним уравнением вида у = f(х), а совокупностью

таких уравнений. Тогда и система (1) заменяется совокупностью систем

Из каждой системы этой совокупности получаем описанным вы­ше методом решения заданной системы, после чего объединяем их.

Примеры:

1. Решить систему уравнений:

Из первого уравнения системы находим . Подставляя это значение во второе уравнение, получаем:

или, после упрощения,

Корнями этого биквадратного уравнения являются числа:

Им соответствуют значения:

Значит, решения заданной системы уравнений имеют вид:

2. Решить систему уравнений:

Из первого уравнения системы получаем:

Значит, нам надо решить совокупность двух систем уравнений:

Делая в первой системе подстановку, получаем:

или Решая (возведением в квадрат) это иррациональное уравнение, находим корни Им соответствуют значения Итак, первая система име­ет решения

Точно так же доказывается, что вторая система имеет решения:

Следовательно, заданная система имеет решения:

Метод алгебраического сложения уравнений

Кроме метода подстановки, при решении систем алгебраических уравнений применяется метод алгебраического сложения. Он основан на следующей теореме.

Теорема:

Если к одному из уравнений системы

прибавить другое уравнение, умноженное на любой множитель f(x, y), определенный при всех допустимых значениях неизвестных, а второе уравнение оставим неизменным, то получится система уравнений, равносильная исходной.

Таким образом, система (1) равносильна системе

где множитель f(х,у) определен при всех допустимых значениях неизвестных.

Доказательство:

Пусть х = а, у = b — решение сис­темы (1), то есть F(а, b)=0 и Ф(а, b)= 0.

Умножим обе части равенства Ф(а, b)=0 на число f(а, b) и прибавим к равенству F (а, b)= 0. Мы получим, что F(а, b)+(а, b) Ф(а,b)= 0, а потому х =а, у = b удовлетворяет и системе (2).

Точно так же доказывается, что любое решение системы уравнений (2) удовлетворяет системе уравнений (1). Значит, системы уравнений (1) и (2) равносильны.

Из теоремы 4 вытекает такое

Следствие:

Если к одному из уравнений системы (1) прибавить другое уравнение системы, умноженное на любое число, а второе уравнение оставить неизменным, то получим систему, равносильную первоначальной.

Покажем, как применяются эти утверждения для решения сис­тем уравнений. Пусть дана система уравнений:

Здесь нецелесообразно выражать х через у или у через х, так как мы получили бы довольно сложное иррациональное уравнение. Поэтому поступим иначе. Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, умноженное на 3. В силу формулы для куба суммы получим систему уравнений:

равносильную заданной. Эта система равносильна системе:

(поскольку уравнение равносильно х + у = 3).

А теперь выразим из первого уравнения у через х и подставим во второе уравнение. Мы получим:

Из второго уравнения находим: Соответствующие значения у равны Значит, решениями задан­ной системы уравнений являются:

Задача:

Массы трех планет равны соответственно М, 2М, ЗM. Через планеты проведена плоскость и на ней выбрана

система координат. Координаты планет равны соответственно A(0,0), В (а, 0), С (2а, b). При каком значении b на плоскости существу­ет точка, в которой притяжение ко всем трем планетам одинаково?

Решение:

По закону всемирного тяготения сила притяже­ния между телами с массами равна , где у — гравитационная постоянная, а r — расстояние между этими телами. Если D(х, у) — некоторая точка плоскости, то ее расстояние до точки А равно до точки В (2а, 0) равно

а до точки С (b, с) равно

Поэтому силы, с которыми тело массы m, находящееся в точке D, притягивается к планетам, равны

По условию задачи должны выполняться условия или, иначе,

После сокращения обоих уравнений на и освобождения от знаменателей получаем равносильную систему уравнений

Вычтем первое уравнение из второго. Мы получим, что

Подставляя это значение у в первое уравнение, получаем для х квадратное уравнение

Из него находим:

Отсюда получаем, что х принимает действительные значения лишь в случае, когда то есть при Если то искомой точкой является а если то

Метод введения новых неизвестных

Для решения многих систем оказывается удобно ввести вместо х и у новые неизвестные. Рассмотрим следующий пример:

Если положить то получим для определения t и s систему уравнений:

Решая эту систему, получаем, что

Так как то для отыскания х и у получаем две системы уравнений:

Решениями первой системы являются:

Вторая же система не имеет действительных решений.

Общего правила для выбора новых неизвестных не существует. Однако в некоторых случаях можно указать полезные правила.

Системы однородных уравнений

Назовем f (х, у) однородным многочленом относительно х и у степени n, если при за­мене х на ах и у на ау F (х, у) умножается на

Например, — однородный многочлен второй степени, а — однородный мно­гочлен четвертой степени.

Пусть одно из уравнений системы имеет вид: F (х,у) = 0, где F (х, у)— однородный многочлен. Тогда решение системы сводится к решению двух уравнений, каждое из которых содержит лишь одно неизвестное. Покажем на примере, как это делается.

Пусть дана система уравнений:

Посмотрим сначала, есть ли у этого уравнения решения, для которых х =0. Подставляя х = 0 в оба уравнения системы, получаем систему уравнений:

Эта система несовместна, так как из первого уравнения получаем у = 0, а из второго —

Итак, система не имеет решений, для которых х = 0. Поэтому первое уравнение системы можно разделить на (в общем случае— на где n — степень многочлена F (х, у)). Мы получим уравнение:

Положим у — tх. Мы придем к системе уравнений:

Корнями первого уравнения являются Подставляя во второе уравнение получаем Подставляя же получаем х = ± 1. Так как у=tх, то мы имеем следующие решения системы (1):

В следующем примере система имеет решения, для которых х = 0:

При х = 0 первое уравнение обращается в равенство 0=0, а второе принимает вид Из него находим Мы на­шли уже два решения системы:

Другие решения получаются так же, как и в первом случае. Мы делим первое уравнение системы на (случай, когда х = 0 и де­ление невозможно, уже рассмотрен) и заменяем у на tх. Получаем систему уравнений:

Из первого уравнения находим Подставляя эти ре­шения во второе уравнение и находя х, приходим к следующим ре­шениям системы:

Задача:

От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найти ско­рость катера в стоячей воде, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.

Решение:

Сначала составим систему уравнений. В качестве неизвестных выберем скорость u катера в стоячей воде и скорость течения v. Тогда скорость катера при движении по течению равна u+v, а при движении против течения u-v. Значит, чтобы пройти вниз по течению 96 км, ему надо часов, а вверх по течению часов. Всего он затратит часов. Но по условию задачи он вернулся назад через 14 часов. Значит,

Чтобы получить второе уравнение, найдем, какое время затра­тил катер до встречи с плотом. Он прошел 96 км вниз по течению и 72 км против течения. На это он затратил часов. Плот же проплыл 24 км со скоростью v и затратил часов. Так как плот и катер одновременно отправились из А , то имеем уравнение

Мы получим систему уравнений:

При замене u на ut и v на vt обе части второго уравнения умножаются на . Поэтому оно является однородным уравнением сте­пени однородности — 1. Так как v = 0 не удовлетворяет уравнению, мы можем положить u = uz. Тогда второе уравнение примет вид:

Освобождаясь от знаменателей, получим:

Так как Следовательно, u =7v. Подставляя u =7v в первое уравнение системы, находим:

откуда v = 2 (км/ч). Поэтому u = 14 км/ч.

Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными

Мы уже знаем, что решение сис­темы двух уравнений с двумя неизвестными

геометрически истолковывается как отыскание точек пересечения двух линий. Этим можно воспользоваться для приближенного решения системы уравнений. Именно, если изобразить линии F(х, у) = 0 и Ф(х, у) = 0, мы сможем найти координаты точек пересечения этих линий и тем самым значения неизвестных. Поскольку линии чертятся лишь приближенно, мы получаем не точ­ные, а приближенные значения решений системы. Тем не менее, решая графически систему, мы можем узнать, сколько она име­ет решений, и, хотя бы грубо, найти приближенные значения этих решений.

При графическом решении систем уравнений мы сталкиваемся с различными кривыми. В курсе геометрии были выведены уравнения прямой, окружности, параболы, гиперболы и эллипса. В дальнейшем мы будем пользоваться этими кривыми.

Рассмотрим некоторые примеры систем уравнений.

Пусть дана система

Выразив из уравнения (2) у через х и подставив в первое уравнение, получаем квадратное уравнение:

Подставив их во второе уравнение, получаем:

Итак, система имеет два решения:

Построим теперь линии, выражаемые уравнениями (1) и (2). Уравнение (1) — это уравнение параболы которая получается из параболы у = сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси абсциссы. Уравнение же (2) выражает прямую линию у=-2х- 4. Рис. 13 дает геометри­ческое изображение нашей системы. Мы видим из ри­сунка, что парабола и прямая пересекаются в двух точках А (—4, 4) и в соответствии с полученным аналитическим путем решением.

Парабола может иметь с прямой линией не две, а одну точку пересечения и даже не иметь ни одной точки пересечения.

Возьмем систему урав­нений:

Ее единственное решение:

Из рис. 14 мы видим, что прямая у = 2х касается параболы

тоже имеет одно решение:

Но в этом случае прямая не касается параболы, а пересекает ее (см. рис. 15).

не имеет ни одного решения — здесь прямая и парабола не пересекаются (см. рис. 16).

Теперь рассмотрим систему, геометрический смысл которой заключается в отыскании точек пересечения прямой и гиперболы. Пусть система имеет вид:

Решая ее способом подстановки, находим решения:

Эти же решения получаются графическим способом (см. рис. 17). Однако следует иметь в ви­ду, что графический способ да­ет лишь приближенные значения корней и, решая систему (6) гра­фически, мы не можем быть уверены, что решение имеет вид х = —4, у = —3, а не, напри­мер, х = —4,01, у = —2,99.

Как и в случае параболы, может случиться, что прямая имеет не две, а меньше общих точек с гиперболой.

Перейдем к системам, в которых оба уравнения имеют вторую степень. Можно доказать, что такие системы уравнений имеют не более четырех решений.

Вообще можно доказать, что система двух уравнений с двумя неизвестными такая, что первое уравнение имеет степень m, а вто­рое — степень n, имеет не более mn решений.

Рассмотрим, например, систему:

Первое из этих уравнений представляет параболу с осью, параллельной оси ординат, а второе — параболу с осью, параллельной оси абсцисс (см. рис. 18). Из рисунка видно, что эти параболы пе­ресекаются в четырех точках. Чтобы найти координаты точек пересечения,

решим эту систему методом алгебраического сложения. Именно, вычтем из уравнения (8) уравнение (7). Мы получим равносильную систему уравнений:

Эта система равносильна совокупности систем:

Обе системы этой совокуп­ности решаются методом подстановки. Мы получаем при этом следующие реше­ния заданной системы:

тоже имеет четыре реше­ния. Она выражает задачу об отыскании точек пере­сечения окружности и ги­перболы (см. рис. 19). Что­ бы решить эту систему, надо прибавить к первому уравнению удвоенное второе уравнение.

В некоторых случаях получается меньше чем четыре решения системы. Например, система

имеет два решения. Она выражает задачу об отыскании точек пересечения параболы и окружности (рис. 20).

Столько же решений имеет система

(пересечение двух окружностей) (рис. 21).

Решение других типов систем алгебраических систем уравнений

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Из данной системы можно исключить , сложив уравнение (1), умноженное на , с уравнением (2), умноженным на . В результате получим квадратное относительно уравнение

откуда и

Система (1), (2), равносильная системе (1), (3), распадается на две системы:

Из первой системы находим

Из второй системы получаем

Ответ.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Если то из данной системы получаем, что т.е. — решение системы.

Пусть тогда разделив уравнения почленно, находим

где Уравнение

имеет корни

Заметим, что при уравнение (6) вместе с уравнением (4) образует систему, равносильную исходной. 2 2

Если т. е. то из уравнения (4) с учетом условия получаем и поэтому

Если то

Ответ.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Допустимые значения и определяются условием а произведение правых частей уравнения равно Перемножив уравнения (7) и (8), получим или

Так как обе части уравнений (7) и (8) отличны от нуля, то система (9), (7) равносильна системе (7), (8). Исключая у из системы (9), (7), получаем

Из (10) следует, что а из (9) — что

Ответ.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Запишем первое уравнение в виде

Решив это уравнение как квадратное относительно , получим

Таким образом, исходная система распадается на следующие две системы:

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Исключив из системы, получим уравнение

нахождение корней которого — совсем не простая задача. Более эффективный способ основан на разложении левой части уравнения (12) на множители:

Отсюда вытекает, что система (11), (12) распадается на следующие две системы:

Первая из этих систем не имеет действительных решений, а вторая имеет два решения.

Ответ.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение системы алгебраических уравнений по правилу Крамера и методом обратной матрицы

Пусть дана система линейных уравнений, состоящая из n
линейных уравнений с n неизвестными:

Здесь — n неизвестных, —
циенты при неизвестных, — свободные члены.

Определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы.

Для рассматриваемого случая определитель системы имеет вид

Предположим, что этот определитель отличен от нуля. Пусть i —
любое число от 1 до n . Умножим обе части первого равенства
системы уравнений (2.1) на алгебраическое дополнение
получающееся вычеркиванием первой строки и i-го столбца в определителе системы. Обе части второго равенства этой системы умножим на алгебраическое дополнение получающееся вычеркиванием второй строки и i-го столбца в определителе системы, и т.д. В результате получим систему:

Сложим левые и правые части получившейся системы
уравнений, скомпоновав их следующим образом:

Коэффициентом при в этом равенстве является определитель
системы D. При всех остальных х коэффициенты будут равны нулю,
так как они являются суммой произведений всех элементов столбцов
определителя на алгебраические дополнения соответствующих
элементов другого столбца (п. 5 свойств определителей, § 1.9). Правая
часть равенства является определителем, полученным из
определителя системы D после замены в нем i-го столбца столбцом из
свободных членов системы уравнений. Обозначим этот определитель Таким образом, полученное равенство можно записать в виде

Так как то

Этот метод решения системы линейных уравнений называется
правилом Крамера.

Правило Крамера. Пусть D — определитель системы п линейных
уравнений, состоящий из коэффициентов при неизвестных, a — определитель, полученный путем замены в определителе системы i-го столбца столбцом из свободных членов системы уравнений. Тогда, если то система имеет единственное решение, определяемое по формуле

Пример:

Решить систему линейных уравнений:

Решение:

Определитель этой системы отличен от нуля:

После замены в этом определителе соответствующих столбцов
столбцом свободных членов получим

Решение системы уравнений:

Решить систему линейных уравнений можно, используя матричный метод. Для этих целей коэффициенты данной системы, неизвестные и свободные члены представим в виде матриц:

Тогда система линейньк уравнений в матричной форме имеет вид

Умножим слева эту матрицу на

Преобразуем левую часть равенства:

Таким образом, решение в матричной форме можно записать в виде

Пример:

Решить систему линейных уравнений:

Решение:

Определитель данной системы

Обратную матрицу находим по схеме, приведенной в § 1.11:

Находим матрицу решений:

Таким образом, система имеет следующее решение:

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений

Систему из m линейных уравнений с n неизвестными, или систему m х n, можно записать в общем виде следующим образом:

Если так же, как и в предыдущем разделе, ввести обозначения

то система линейных уравнений в матричной форме и ее решение
примут вид

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении переменных. При этом на первом шаге из второго уравнения исключается
, на втором шаге из третьего уравнения исключается и т. д.

Шаг 1. Предположим, что коэффициент при в первом
уравнении системы (2.4) . Если это не так, то перестановкой
уравнений местами добьемся того, что . Перепишем систему (2.4), изменив все уравнения, кроме первого, по следующему алгоритму. Умножим первое уравнение на сложим со вторым уравнением системы (2.4) и результат запишем в виде второго уравнения системы (2.5):

Умножим первое уравнение на сложим с третьим уравнением системы (2.4) и результат запишем в виде третьего уравнения системы (2.5). Аналогично поступаем с остальными уравнениями системы. Буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.

Для удобства записи обычно используют расширенную матрицу системы, отделяя в ней вертикальной чертой столбец свободных членов. После первого шага данная матрица принимает вид:

Шаг 2. Предположим, что коэффициент при во втором
уравнении системы (2.5) Если это не так, то перестановкой
уравнений местами добьемся того, что . Первое и второе уравнения системы (2.5) перепишем в систему (2.7). Умножим второе уравнение системы (2.5) или матрицы (2.6) на сложим с
третьим уравнением системы (2.5) или матрицы (2.6) и результат
запишем в виде третьего уравнения системы (2.7) или матрицы
(2.8). Аналогично поступаем с остальными уравнениями системы:

Продолжая процесс последовательного исключения переменных, после (r-1)-го шага получим систему уравнений и расширенную матрицу:

Последние m-r уравнений в системе (2.9) для совместной
системы (2.4) являются тождествами: Если хотя бы одно из
чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (2.4) несовместна. В совместной системе при ее решении последние m-r уравнений (2.9) и (2.10) можно не принимать во внимание. Тогда система уравнений (2.9) и
расширенная матрица (2.10) принимают вид

После отбрасывания уравнений, являющихся тождествами,
число оставшихся уравнений может быть либо равно числу
переменных r=n, либо меньше числа переменных. В первом случае
матрица имеет треугольный вид, а во втором — ступенчатый. Переход от системы уравнений (2.4) к равносильной ей системе (2.11)
называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (2.11) — обратным ходом.

Пример:

Методом Гаусса решить систему уравнений

Решение:

Расширенная матрица этой системы имеет вид

Шаг 1. Расширенную матрицу первого шага получаем за счет
умножения первой строки на —2 и сложения результата со второй
строкой, а также за счет умножения первой строки на -1 и сложения
результата с третьей строкой:

Ш а г 2. Расширенную матрицу первого шага получаем за счет
умножения второй строки на -3 и сложения результата с третьей строкой:

Эта матрица имеет треугольную форму и соответствует системе
линейных уравнений

Отсюда последовательно находим

Пример:

Методом Гаусса решить систему уравнений

Решение:

Расширенная матрица этой системы имеет вид

Ш а г 1. Расширенную матрицу первого шага получаем за счет
умножения первой строки на —2 и сложения результата со второй
строкой, а также за счет умножения первой строки на -4 и сложения результата с третьей строкой:

Ш а г 2. Расширенную матрицу первого шага получаем за счет
умножения второй строки на —1 и сложения результата с третьей строкой:

Уравнение,соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво. Оно имеет вид 0 = -1. Следовательно, данная система несовместна. ►

Пример:

Методом Гаусса решить систему уравнений

Решение:

Расширенная матрица этой системы имеет вид

Ш а г 1. Первую строку последовательно умножаем на числа -2; —2;
-3 и складываем результат с соответствующими строками исходной
расширенной матрицы:

Ш а г 2. Умножаем вторую строку на и на :

Шаг 3. Умножаем третью строку на -1.

После удаления последнего уравнения приведенная система
уравнений принимает вид

Из этой системы обратным ходом метода Гаусса находим

Так как может принимать любые значения, то исследуемая
система имеет бесконечное множество решений. ►

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Этот наиболее простой метод вычисления обратной матрицы
состоит в следующем. Пусть А — невырожденная матрица.
Припишем к ней справа единичную матрицу Е. Далее с помощью
элементарных преобразований над строками расширенной матрицы приводим А к единичной матрице Е. В результате получим расширенную матрицу т.е. на месте первоначально приписанной матрицы Е окажется матрица

Пример:

Найти матрицу, обратную исходной:

Решение:

Составим расширенную матрицу:

Приведем левую половину этой матрицы к единичной матрице:

Последний столбец левой половины матрицы принял вид
последнего столбца единичной матрицы:

Последний и предпоследний столбцы левой половины матрицы
приняли вид последнего и предпоследнего столбцов единичной матрицы:

Правая половина этой расширенной матрицы является искомой
обратной матрицей, т.е.

Пример:

Найти матрицу, обратную исходной:

Решение:

Составим расширенную матрицу:

Приведем левую половину этой матрицы к единичной матрице:

Правая половина этой расширенной матрицы является искомой
обратной матрицей, т.е.

Система линейных однородных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все ее свободные члены равны нулю.

Такая система имеет вид

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так
как она имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение

Если система (2.13) имеет n линейных уравнений, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение. Это следует из правила Крамера. Ненулевое решение возможно для систем линейных однородных уравнений, у которых определитель равен нулю или m Собственные значения и собственные векторы матриц

Пусть матрица имеет порядок n или, что то же самое, размер n х n.

Вектор называется собственным вектором матрицы А, если найдено такое число , что

Число называется собственным значением матрицы А,
соответствующим вектору .

Перенеся правую часть (2.15) в левую и принимая во внимание
соотношение перепишем (2.15) в виде

Уравнение (2.16) эквивалентно системе линейных однородных
уравнений

Для существования ненулевого решения системы линейных
однородных уравнений (2.17) необходимо и достаточно, чтобы
определитель коэффициентов этой системы равнялся нулю, т.е.

Этот определитель является многочленом n-й степени относительно
и называется характеристическим многочленом матрицы А, а
уравнение (2.18) — характеристическим уравнением матрицы А. Корни характеристического уравнения соответствуют собственным числам матрицы А. Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти собственный вектор.

Пример:

Найти собственные числа и собственные векторы
матрицы

Решение:

Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид

Корни характеристического уравнения

Для двух переменных система уравнений (2.17), эквивалентная
уравнению (2.15) собственного вектора, представляется в виде

Подставив сюда значения корней получим две
системы уравнений:

Каждая система является одним уравнением, что и следовало
ожидать. Это связано с тем, что определитель системы равен нулю.
Из первой системы для и из второй для следует, что
координаты собственных векторов связаны соотношениями

Поскольку — произвольное число, то любому собственному
значению матрицы соответствует бесконечное множество собственных векторов различной длины. Положим где — любое число. Тогда собственные векторы можно записать в виде

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

Тема 1 Понятие обыкновенного дифференциального уравнения

В процессе решения мно­гих теоретических и практических задач часто не удается сразу непосред­ственно установить функциональную зависимость у = f(x) между величинами, но можно установить связь между этой функцией и ее производными. Такая связь несет информацию о динамике изучаемого процесса, т. е. о характере изменения процесса. Как правило, изучается динамика изменения каких-либо показателей с течением времени, но могут быть ис­пользованы и другие зависимости: например, зависимость спроса на товар от его цены и т. д.

Динамика всех протекающих процессов, в том числе и экономических, описывается одним дифференциальным уравнением или системами дифференци­альных уравнений. При изучении характера экономических процессов чаще всего проводится их математическое моделирование, которое предполагает составление и решение системы дифференциальных уравнений.

Экономические ситуации, которые можно исследо­вать, представляя системами дифференциальных уравне­ний, будут показаны в дальнейшем, в курсе изучения специальных дисциплин. Мы, не углубляясь в экономиче­скую трактовку рассматриваемых ситуаций, рассмотрим пример, приводящий к необходимости составления и реше­ния дифференциального уравнения.

Рассмотрим производство продукции. Объем произ­водимой продукции в течение некоторого времени воз­растает и характеризуется постоянным темпом роста k.

Пусть требуется найти закон, характеризующий изменение объема производимой продукции во времени, если в начальный момент времени объем продукции составлял V0 единиц.

Очевидно: средний темп роста kср объема продукции V за промежуток времени Δt определяется выражением:

где ΔV— прирост объема продукции за промежуток вре­мени Δt

V— объем всей продукции, выпущенной за предшест­вующий промежуток времени, численно равный Δt

Переходя к истинным величинам, получим:

Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка, решая которое определим закон изменения объема продукции во времени. Преобразуем дифференциальное уравнение и проведем непосредственное интегрирование:

С учетом начальных условий при t = 0 V = V0 имеем:

Зависимость объема продукции от времени при постоянном темпе роста характеризуется экспонентой. |

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциальным уравнением называется урав­нение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у = f(x) и ее производные у’, у», , y(n)

Символически дифференциальное уравнение n-го порядка записывается так

(1)

Например, уравнения 4х – у + 2у’ = 0 и у» = 2х + 1 являются диффе­ренциальными уравнениями.

Если искомая функция у = f(x) есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (прилагательное «обыкновенные» обычно опускают). В данном курсе лекций рас­сматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Порядком дифференциального уравнения называ­ется порядок наивысшей производной, входящей в данное уравнение

Например, у’ – 2ху2 + 3 = 0 это уравнение первого порядка, а

у'» + 2у’ + у = sin х – уравнение третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Решением дифференциального уравнения назы­вается такая функция у = φ(х), при подстановке которой в уравнение последнее обращается в тождество.

График этой функции у = φ(х) называется интегральной кривой Если решение задано в неявном виде Ф(х, у) = 0, то оно обычно назы­вается интегралом дифференциального уравнения.

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Функция y = 5ln x – есть решение этого уравнения. Действительно: , подставляя у′ в исходное уравнение, получим − тождество, а это значит, что функция 5ln x – есть решение этого дифференциального уравнения.

Пример 3. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

Функция y = 3e2x есть решение данного уравнения. Действительно:

y′ = 6e2x; y′′ = 12e2x. Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, получим 12e2x + 5∙6e2x + 18e2x = 0, т. е. y = 3e2x удовлетворяет данному уравнению, а это значит, что функция y = 3e2x – есть решение этого дифференциального уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция

зависящая кроме аргумента х от n произвольных постоянных C1, C2,…,Cn и удовлетворяющая данному уравнению при любых значе­ниях этих постоянных.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(3)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка назы­вается функция вида

содержащая произвольную постоянную С такую, что:

1) у=φ(х, С) при любом С есть решение уравнения (3);

2) Для любых начальных условий х=х0; у=у0 существует такое С0, что соотношение у=φ(х, С0) при подстановке значений начальных условий обращается в тождество.

Если общее решение дифференциального уравнения первого порядка найдено в виде, неразрешенном относительно у, т. е. в виде Ф(х, у,С) = 0, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Как мы видели в первом примере, решение дифференциального уравнения связано с необходимостью ин­тегрировать входящие в уравнение функции. Рассмотрим, например, урав­нение у’ = Зх2. Интегрируя его, получаем совокупность функций у =х3 + С, каждая из которых является решением данного дифференци­ального уравнения.

На рисунке 1 изображена совокупность указанных интегральных кривых.

Рис. 1. Интегральные кривые уравнения у′ = Зx2 .

Чтобы из всей совокупности общих решений выделить конкретное ре­шение, необходимо задать дополнительные условия. Чаще всего эти до­полнительные условия определяются в виде начальных условий

у(х0) = y0, у'(х0) = y0 и т. д. Так, например, если решения уравнения у’ = Зх2 искать при начальном условии у(0) = 1, конкретное решение будет иметь вид у = х3 + 1.

Таким образом, начальное условие у(0) = 1 выделяет из множества всех решений конкретное решение, график которого проходит через точку (0,1) На рис. 1 этот график изображен пунктирной линией.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Частным решением дифференциального уравне­ния первого порядка называется любая функция у=φ(х, С0), полученное из общего решения у = φ(х, С) при фиксиро­ванном значении произвольной постоянной С=С0.

Заданное в неявном виде Ф(х, у,С0) = 0, это решение называется частным интегралом.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

xdx + ydy = 0. Интегрируя обе части уравнения, получим:

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В дан­ном случае, с учетом канонического уравнения окружно­сти, ее удобно представить в указанном виде.

Общим решением заданного дифференциального урав­нения является

С точки зрения геометрии — это семейство концен­трических окружностей радиуса С. См. рис. 2.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным ус­ловиям

у0 = 4 при х0 = 3 находится из общего подстановкой началь­ных условий в общее решение:

32 + 42 = С2; С = 5.

Подставляя С = 5 в общее реше­ние, получим

Это есть частное решение диф­ференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных ус­ловиях.

Геометрически — это единственная окруж­ность радиуса 5 , проходящая через точку М0 с коорди­натами (3;4), см. рис 2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Задача определения частного решения у = f(x) удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Как уже говорилось в предыдущей лекции, дифференциальное уравнение первого порядка име­ет вид

Если это уравнение можно разрешить относительно у‘, то его можно записать так

Уравнение (5) называется уравнением первого порядка, разрешен­ным относительно производной

Прежде, чем решать любое дифференциальное уравнение, необходимо знать, существует ли на самом деле решение дифференциального уравне­ния, и, если оно есть, то является ли оно единственным

Условия, при которых дифференциальное уравнение (5) имеет ре­шение, составляют содержание теоремы Коши — теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения первого поряд­ка.

1) для любой внутренней точки (x0;y0), существует непрерывно дифференцируемая функция у =φ(x), являющаяся решением этого уравнения и удовлетворяющая условию φ(х0) =y0:

2) если два решения у =φ(x) и у =ψ(x) совпадают хотя бы для одного значения х = х0 : φ(x0) = ψ(x0), то они тождественно совпадают в области G, т. е. φ(x) ψ(x)для любого .

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в том, что суще­ствует единственная интегральная кривая у =φ(x), график которой про­ходит через точку (x0;y0) (см рис. 1).

Особое решение дифференциального уравнения

Определение 8. Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое нельзя получить из общего ни при каких числовых значениях произвольной постоянной С ( включая ).

Например, проверкой можно убедиться, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y=sin(x + C). В то же время функция у=1 также является решением этого уравнения. Однако это решение не может быть получено из общего решения ни при каких значениях С.

С точки зрения геометрии особому решению соот­ветствует интегральная кривая, не содержащаяся в се­мействе интегральных кривых, составляющих общее ре­шение. Она является огибающей этого семейства.

Например, функция у=С(х – С)2 при любом значении С является решением дифференциального уравнения . При этом функция у=0 являясь особым решение данного уравнения, представляет собой огибающую семейства интегральных кривых (рис. 3)

Рис.3. График функций у=С(х – С)2

В случае, когда уравнение имеет особое решение, нельзя ограничиваться нахождением частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Осо­бое решение может удовлетворять тем же начальным ус­ловиям, что и частное решение, и потому решение будет не единственным. В каждой точке особого решения нарушаются условия теоремы Коши (условия существования и единственности решения).

Через каждую из особых точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной.

На примере решения дифференциального уравнения первого порядка покажем, как может появиться особое решение.

Пример 5. Найти решение дифференциального уравнения.

Запишем данное уравнение в виде

.

Далее умножим обе части этого уравнения на dx:

Разделим обе части уравнения на dy, чтобы отделить переменные:

Получаем общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка

Отсюда общее решение

Особое решение. При делении на у возможна потеря решения у = 0. При подстановке данного решения в исходное дифференциальное уравнение, оно обращается в тождество, следовательно, у = 0 является решением. Очевидно, это решение не содержится в общем ни при каком значении постоянной С, а потому является особым. Итак, особое решение у = 0.

Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение у’ = f(x,у). Это уравнение для каждой точки М(х, у) определяет значение произ­водной , т. е. угловой коэффициент касательной к интегральным кривым у = φ(х, С), являющихся общим решением дифференциального уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Часть плоскости, каждой точке которой со­поставлен отрезок прямой так, что тангенс угла наклона его к оси Ох равен значению в данной точке правой части дифференциального урав­нения у’ = f(x,y), называется полем направлений данного дифференци­ального уравнения.

Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирова­ния дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с полем направлений в соответствующих точках.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Множество всех точек плоскости, в которых поле имеет одно и то же направление, называется изоклиной уравнения.

Уравнение изоклины определяется следующим образом. В каждой точ­ке изоклины тангенс угла наклона отрезков поля имеют одно и то же фиксированное значение tgα = k. Так как, с другой стороны,

то координаты каждой точки изоклины удовлетворяют уравнению.

Пример 6. Построить поле направлений дифференциального урав­нения .

Решение. Уравнение изоклин , или у = – кх, т. е. изокли­нами являются прямые с угловым коэффициентом —k проходящие через начало координат (рис. 4). Определяя конкретные значения k, мы полу­чаем уравнение конкретной прямой. При этом мы одновременно задаем и поле направлений. Например, при k = 1, мы получаем изоклину у = –х, в каждой точке которой tgα = k = 1, т. е. α = 45°. На границе направление α задается единственным вектором через определенные промежутки.

Построив изоклины и поле направлений, можно приближенно нарисо­вать интегральные кривые, проводя их в соответствии с заданным полем направлений. В нашем случае интегральные кривые — это семейство ги­пербол .

Рис. 4. Поле направлений и изоклины дифференциального уравнения

Пример 7. Построим поле направлений дифференциально­го уравнения у’ = х2 + у2.

Решение. Уравнение изоклин этого дифференциального уравнения имеет вид х2 + у2 = k, т. е. изоклинами служат концентриче­ские окружности радиусом у/к с центром в начале координат (рис. 5).

Рис. 5. Изоклины и интегральные кривые уравнения у’ = х2 + у2.

В точках каждой из окружностей нужно провести отрезки, образующие с осью ОХ один и тот же угол α, тангенс которого равен k. Так, при k = 1 изоклиной является единичная окруж­ность х2 + у2 = 1, при k = 4 — окружность х2 + у2 = 22 радиу­са 2, при k = 9 — окружность х2+у2 = З2 радиуса 3 и т. д. Этим изоклинам соответствуют направления отрезков, образующих с осью ОХ углы α1 = arctg 1 = π/4, α2 = arctg 4 и α3 = arctg 9.

При k = 0 получаем х2 + у2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет единственная точка (0, 0). В этом случае изоклина состоит из одной точки, для которой tg α = 0. На рис. 5 построены вышеперечисленные изоклины и изображено поле направ­лений данного дифференциального уравнения. Для того чтобы построить интегральную кривую, возьмем на плоскости произ­вольную точку (х0,у0). Проведем через эту точку кривую так, чтобы она в каждой точке касалась поля направлений. Это и будем искомой интегральной кривой, проходящей через точку (х0,у0). В качестве примера, на рис. 5 построены интегральные кривые, проходящие через точки (0; 0), (–1; 1) и (1; –1).

Далеко не для любого дифференциального уравнения первого поряд­ка можно получить общее решение в виде, как говорят, квадратурных формул, т. е. свести его к вычислению неопределенных ин­тегралов методами рассмотренными в лекциях по интегральному исчислению.

Рассмотрим некоторые из простейших типов уравнений, для которых такое решение может быть получено.

Простейшие дифференциальные уравнения.

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение 11. Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида

. (6)

Для того, чтобы отделить переменные, оставив в каждом слагаемом функцию только одного переменного, нужно обе части уравнения умножить на выражение, равное

.

Полученное при этом уравнение

(7)

называется уравнением с разделенными переменными

Интегри­руя уравнение (7), получаем общее решение уравнения в виде квадра­тур

(8)

Пример 8. Найти общее решение уравнения 2уу’ = 1 – Зх2

Решение. Очевидно, что данное уравнение допускает разделение переменных

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Пример 9. Найти частное решение уравнения у’ =, при у(1)=2 Решение. Разделив переменные

интегрируем и получаем

где произвольная постоянная С0 = lnC1. Воспользовавшись свойством логарифма, после операции потенцирования будем иметь общее решение в виде

Используя начальное условие у(1) = 2, находим 2 =, те С = 2 и искомое частное решение равно у .

При делении на у мы могли потерять решение у = 0, но последнее содержится в формуле у = при С = 0.

Замечание 1. Некоторые дифференциальные уравнения можно привести к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнение у‘ = f(ax + bу + с), (b ≠ 0) приводится к виду уравнений с разделяющимися переменными при помощи замены u = ах + by + с, где u -новая искомая функция.

Пример 10. Найти общее решение уравнения у’ = (8х + 2у + 1)2 Решение. Введем новую переменную и = 8х + 2у +1, откуда

и уравнение примет вид

Найдем решение этого уравнения с разделяющимися переменными

Полученное решение является общим интегралом данного уравнения.

2. Однородные диф­ференциальные уравнения первого порядка.

Например, функция f(x,y) = ху — у2 есть однородная функция второй степени так как

.

Определение 13. Дифференциальное уравнение первого порядка

(9)

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференци­альному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

где t = — новая неизвестная функция.

Пример 11. Найти общее решение уравнения (х2 – 2y2)dx + 2xydy = 0

Решение. В данном уравнении функции Р(х, у) = х2 – 2у2 и Q(x,y) = 2ху — однородные функции второй степени, следовательно, решаемое уравнение является однородным. Положим у = tx, откуда dy = tdx + xdt. Подставим выражения для у и dy в исходное дифферен­циальное уравнение

Разделим переменные в последнем уравнении и проинтегрируем

Возвращаясь к переменной у находим общее решение

Однородное дифференциальное уравнение перво­го порядка может быть так же представлено в виде

(11)

где F(x, у) — однородная функция нулевой степени.

Для того, чтобы решить уравнение в этом виде, можно используя равенство представить это уравнение в виде (9) и далее решать, используя подстановку (10).

Пример 12. Найти все решения уравнения

.

Решение. Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, т. к. оно представлено в виде , где = − однородная функция нулевой степени. Действительно,

. Для решения уравнения заменяем в нем на и приводим его к виду (9)

→ . (12)

Здесь , .

Далее решаем это уравнение способом, рассмотренным в примере 11.

→ , . Подставим и в уравнение (12). Получим . Или . Это уравнение уже позволяет разделить переменные t и x:

.

Интегрируя полученное уравнение , получаем .

Возвращаемся к исходным переменным: , и получаем общее решение

.

Особое решение. В процессе решения было произведено деление на . Следовательно, необходимо проверить, являются ли те значения у, при которых t = 0 решением заданного уравнения и если являются, то содержатся ли они в общем решении. Как видно их подстановки , таким значением у является у = 0 ( х ≠ 0). Это значение является решением заданного дифференциального уравнения, т. к. оно обращает уравнение в тождество. Но в тоже время это решение является особым, т. к. оно не может быть получено из общего решения ни при каком числовом значении постоянной С.

Было произведено деление также на х. Убеждаемся, что х = 0 ( у ≠ 0) – частное решение заданного дифференциального уравнения, т. е. может быть получено из общего решения.

Замечание 2. Если и , то,

полагая в уравнении где постоянные α и β опреде-

ляются из решения системы, уравнений получим однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменных u и v. Если Δ = 0, то, полагая в уравнении u = a1x + b1у, получим сразу уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 13. Найти общее решение уравнения

(2х + у + l)dx + (x + 2y – l)dy = 0

Решение. После преобразований получим

а1 = 2, b1 = 1, а2 = 1, b2 = 2

Тогда в соответствии с замечанием 2 введем новые переменные

где постоянные α и β определяются из решения системы уравнений

и исходное уравнение преобразуется к виду

т. е. к виду однородного дифференциального уравнения относительно u и v

После подстановки в дифференциальное уравнение будем иметь

решая которое, найдем:

Подставим обратно t = u/v и после преобразований найдем:

Наконец, возвращаясь к переменным х и у (u = х + 1, v = у – 1), после элементарных преобразований найдем общий интеграл исходного уравнения:

3. Линейные дифференциальные уравнения первого по­рядка.

Определение 14. Линейным дифференциальным уравнением пер­вого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвест­ной функции и ее производной

Если в частном случае Q(x) = 0, то уравнение (13) называется линейным уравнением без правой части или линейным однородным диф­ференциальным уравнением первого порядка.

Если Q(x) не является тождественным нулем, то уравнение (13) назы­вается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Рассмотрим самый распространенный метод решения линейных урав­нений.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Этот метод в дальнейшем мы будем использовать также и при решении линейных уравнений высших порядков.

Метод вариации произвольной постоянной заключается в следующем.

Первый этап. Рассмотрим сначала линейное однородное дифференциальное уравнение

Переменные здесь отделяются

.

(14)

Второй этап. Общее решение исходного неоднородного уравнения (13), когда Q(x) ≠ 0 будем искать в виде

(15)