Геометрический смысл уравнения бернулли для идеальной жидкости

ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ. НАПОР ЖИДКОСТИ

Уравнению Бернулли можно дать два различных истолкования: физическое и геометрическое.

С физической точки зрения уравнение Бернулли есть выражение закона сохранения энергии для движущейся жидкости.

Действительно, рассмотрим величину

.

Эта сумма 3-х слагаемых называется полным напором жидкости или гидродинамическим напором.

С физической точки зрения напор есть механическая энергия жидкости, отнесенная к единице веса жидкости. Для того чтобы это показать, рассмотрим жидкость, движущуюся по трубопроводу (рис.4.16). Выделим в движущейся жидкости частицу M с массой m, веса . Потенциальная энергия этой частицы в поле силы тяжести по отношению к плоскости сравнения 0-0 будет mgz, а потенциальная энергия, отнесенная к единице веса, будет

,

т.е. z — есть удельная потенциальная энергия положения частицы жидкости — энергия, отнесенная к единице веса.

Под действием давления p частица жидкости М может подняться на высоту и, следовательно, совершить работу (рис.4.17)

,

т.е. она обладает потенциальной энергией давления в размере

.

Потенциальная энергия давления, отнесенная к единице веса, будет

,

т.е. — есть удельная потенциальная энергия давления частицы жидкости – энергия, отнесенная к единице веса жидкости.

Кроме того, выделенная частица обладает скоростью и, следовательно, имеет кинетическую энергию, равную .

Кинетическая энергия, отнесенная к единице веса, будет

.

будет, следовательно, равен полной энергии частицы жидкости, отнесенной к единице веса.

Таким образом, физическое истолкование уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в том, что для любых сечений 1 и 2 полная удельная энергия остается неизменной:

.

Уравнению Бернулли можно дать наглядное геометрическое истолкование. Для этого снова рассмотрим отдельные члены суммы

,

где z – геометрическая высота данной частицы жидкости над условной плоскостью сравнения.

— пьезометрическая высота – высота, на которую поднимется жидкость в пьезометре.

— скоростная высота — высота, на которую поднимется жидкость, имея начальную скорость u.

Таким образом, с геометрической точки зрения уравнение Бернулли в любом сечении элементарной струйки идеальной жидкости представляет собой сумму 3-х высот: геометрической, пьезометрической и скоростной, которая остается неизменной.

График уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости представлен на рис. 4.18.

Если сечение струйки увеличивается, то скорость падает, а давление возрастает, т.е. энергия, сохраняясь в целом, переходит из одного вида в другой (кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот).

§ 4.11. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
СТРУЙКИ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

В идеальной жидкости, в отличие от реальной, отсутствуют силы внутреннего трения (отсутствует вязкость). Благодаря вязкости в реальной жидкости происходят потери механической энергии потока на трение внутри жидкости и о стенки канала. При этом происходит рассеивание (диссипация) энергии. Энергия, потерянная на трение, превращается в теплоту и идет на пополнение запаса внутренней энергии жидкости, а часть ее отводится в виде тепла через стенки канала.

Внутренняя энергия жидкости не может быть непосредственно использована для приведения жидкости в движение и поэтому в гидравлике рассматривается как потеря механической энергии (потеря напора).

Для реальной жидкости равенство нарушается и вместо него имеем , где – потеря напора на участке 1-2. Тогда для элементарной струйки реальной жидкости уравнение Бернулли примет вид

.

Таким образом, полный напор вдоль струйки реальной жидкости уменьшается. Для характеристики относительного изменения полного напора на единицу длины вводится понятие о гидравлическом уклоне

.

Например, на прямом участке трубопровода 1-2

,

где l_1-2 — длина участка 1-2.

Таким образом, гидравлическим уклоном называется отношение потери напора к длине, на которой она происходит.

Кроме того вводится еще понятие о пьезометрическом уклоне

.

Пьезометрический уклон может быть положительным, равным нулю и отрицательным.

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 629 ; Нарушение авторских прав

Энергетический смысл уравнения Бернулли

Определения

Элементарная струйка – струйка жидкости, боковая поверхность которой образована линией тока, проходящей через бесконечно малый замкнутый контур. Распределение скоростей по поперечному сечению элементарной струйки считается равномерным, по причине малости площади поперечного сечения, поэтому коэффициент Кориолиса равен единице.

Идеальная жидкость – модель жидкости, применяемая для расчётов реальных гидродинамических процессов.

Для идеальной жидкости приняты следующие допущения:

· отсутствуют касательные напряжения между слоями жидкости, следовательно,

отсутствует вязкость жидкости, следовательно, отсутствует трение между слоями жидкости, следовательно, в жидкости отсутствуют потери напора;

· жидкость является не сжимаемой;

· в жидкости отсутствует теплопроводность, т.е. жидкость не изменяет свой объём при изменении температуры;

· поток жидкости является сплошным, т.е. в жидкости отсутствуют места пустот или переуплотнений.

Виды уравнения Бернулли

Для элементарной струйки идеальной жидкости

Для элементарной струйки коэффициент Кориолиса равен единице, в идеальной жидкости отсутствуют потери, поэтому уравнение Бернулли будет иметь вид:

(1)

Для потока реальной жидкости

Для потока жидкости коэффициент Кориолиса будет иметь значение отличное от единицы, и зависеть от режима течения, для ламинарного режима α = 2, для турбулентного режима α = 1,05-1,1. Реальная жидкость имеет вязкость, следовательно, в реальной жидкости будут потери напора, поэтому уравнение Бернулли будет иметь вид:

Геометрический смысл уравнения Бернулли

Рассмотрим уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости (1).

В уравнении (1) все три слагаемых имеют линейную размерность [м]. Соответственно каждую высоту можно представить в виде реальных отрезков:

геометрическая высота, представляет собой расстояние от оси элементарной струйки (трубопровода) до поверхности земли.

пьезометрическая высота, показывает на какую высоту, может подняться жидкость под действием избыточного давления в данной точке, при условии, что на свободную поверхность действует давление внешней газообразной среды (т.е. атмосферное давление).

скоростная высота, показывает высоту, при падении с которой, частица жидкости достигла бы скорости .

Рис. 1 Иллюстрация геометрического смысла уравнения Бернулли.

1 – элементарная струйка; 2 – пьезометр; 3 – трубка Пито (прибор для измерения скоростной высоты).

Геометрический смысл уравнения Бернулли заключается в следующем: по длине элементарной струйки сумма трёх слагаемых уравнения Бернулли остаётся величиной постоянной и равной величине полного напора Н [м].

(2)

Энергетический смысл уравнения Бернулли

Умножим каждое слагаемое уравнения (2) на величину ускорения свободного падения:

В итоге получаем слагаемые, который можно описать с точки зрения энергии:

где удельная потенциальная энергия положения, т.е. если поднять жидкость массой 1 кг на высоту , то она будет иметь потенциальную энергию ;

удельная потенциальная энергия давления;

удельная кинетическая энергия;

полная удельная механическая энергия элементарной струйки.

Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в следующем: по длине элементарной струйки сумма трёх удельных энергий остаётся величиной постоянной и равной величине полной удельной механической энергии Е [Дж]. Возможна и другая формулировка: уравнение Бернулли – это есть закон сохранения энергии для элементарной струйки (потока) жидкости, который отображает взаимный переход кинетической и потенциальной энергии.

Потери

В потоке реальной жидкости в уравнение Бернулли добавляется слагаемое , которое

представляет собой величину потерь напора. Запишем уравнение Бернулли для двух произвольных сечений потока жидкости:

С геометрической точки зрения потери отображаются отрезком, расположенным над скоростным напором, при этом потери отображаются во втором сечении.

Рис. 2. Иллюстрация потерь напора.

С энергетической точки зрения это величина, показывающая, сколько энергии жидкость тратит на преодоление различных сопротивлений при переходе из первого сечения во второе сечение.

6. Порядок проведения расчётов:

1. Определить величину расхода жидкости:

2. Поскольку диаметры d₁=d₃, дальнейшие расчёты для широких частей трубопровода будут одинаковы. Поэтому будем проводить расчёт для одной широкой части трубопровода, при этом параметры жидкости, обозначая через индекс _1-3

Определить площади поперечного сечения трубопроводов S_1-3, S₂ [м];

3. Определить скорость течения жидкости:

4. Определить режим течения жидкости:

5. Определить величины скоростного напора: ;

6. На листе А4 построить график, зависимости изменения пьезометрического напора от

длины сечения трубопровода.По оси Х откладываются расстояния между точками, к которым подключены пьезометры. Расстояния равны: А=25см, В=12,5 см

Рис. 3 Условное изображение исследуемого

трубопровода с точками подключения пьезометров.

По оси Y откладываются показания соответствующих пьезометров. В результате получится шесть точек, который соединяются ломаной линией. Поскольку экспериментальные исследования проводились для трёх различных случаев, поэтому в результате мы имеем три графика в одной системе координат.

7. На листе А4 построить график, зависимость изменения скоростного напора от длины

сечения трубопровода.По оси Х откладывается расстояние между точками, к которым подключены пьезометры. Расстояния равны: А=25см, В=12,5 см.

По оси Y откладываются значения скоростного напора. Поскольку экспериментальные исследования проводились для трёх различных случаев, поэтому в результате мы имеем три графика в одной системе координат.

8. Вывод о работе с описанием графиков

Таблица 1. Результаты опыта

Геометрический смысл уравнения бернулли для идеальной жидкости

Уравнение Бернулли для реальной и идеальной жидкости

Уравнение Бернулли позволяет выполнить расчет водоснабжения и отопления: Подобрать диаметры и насосы. В этой статье будет расписан энергетический и геометрический смысл уравнения Бернулли.

График Бернулли и уравнение Бернулли для идеальной жидкости:

График Бернулли и уравнение Бернулли для реальной жидкости:

Смысл уравнения Бернулли

Смысл уравнения Бернули в том, чтобы показать, что внутри системы заполненной жидкостью (участка трубопровода) сохраняется общая энергия между разными точками. То есть на участке трубопровода необходимо выделить две точки, и эти две точки равны друг другу по значению полной энергии. Полная энергия состоит из потенциальной и кинетической энергии.

Назначение уравнения Бернули

Понять, как распределяется давление в системе трубопроводов. А также с помощью уравнения находить неизвестные параметры внутри системы. Например, найти давление в каждой течке пространства системы заполненной жидкостью.

Подробнее на видео: (для запуска видео кликните по окошку) На видео намного больше информации

Решая задачу с уравнением Бернулли, Вы фактически занимаетесь гидравлическим расчетом. О том, как делать гидравлический расчет — написано тут: Конструктор водяного отопления

Задача. Пример решения уравнения Бернулли

По решению задачи необходимо найти давление в точке 2 при известных параметрах: давление и расход.

Как понять уравнение Бернулли?

Для расчета уравнения Бернулли необходимо выбрать две точки в пространстве

Точка 1 – это место где известно давление

Точка 2 – это место где нужно узнать давление

Поймите, что каждый кусок формулы измеряется давлением: м.в.ст. (метр водяного столба)

То есть для того, чтобы быстро считать гидравлику систем водоснабжения и отопления, необходимо меньше всего выражаться в Барах, Паскалях и тому подобное.

Проще выражать давление в единице измерения: м.в.ст. (метр водяного столба)

Вы этим самым упростите себе жизнь… просто другая единица это еще один процесс, который отнимает время.

Сборка формулы уравнения Бернулли

Как избавится от минуса?

Как избавится от множителя (-1)?

Необходимо множитель (-1) помножить на каждый слагаемый член. Знак каждого слагаемого члена меняется на противоположный. То есть (+ на -) (- на +). Далее перестановка слагаемых.

Что такое идеальная жидкость?

Идеальная жидкость — это жидкость, не обладающая внутренним трением. То есть такая жидкость не создает гидравлическое сопротивление.

Реальная жидкость — это жидкость, которая обладает вязкостью. То есть внутренним сопротивлением.

Формула Бернулли для реальной жидкости

Коэффициент Кориолиса – это поправка кинетической энергии на реальную жидкость.

Потому что реальная жидкость движется не равномерно

У реальной жидкости серединная струйка воды движется быстрее остальных. При ламинарном режиме градиент: Чем ближе к стенке, тем медленнее движется поток воды.

Формула коэффициента Кориолиса

Что такое коэффициент Кориолиса?

Коэффициент Кориолиса характеризует отношение действительной кинетической энергии потока жидкости в данном сечении к той кинетической энергии потока, которую он имел бы, если бы все частицы двигались с одинаковой скоростью, равной средней скорости потока.

Чему равен коэффициент Кориолиса?

Нд.п. – Это динамические потери. Это потери вызванные движением воды.

Имеются дополнительные задачи с уравнением Бернули на реальную жидкость:

Посмотрите видеоурок по составлению уравнения Бернулли:

Как сделать гидравлический расчет погружного насоса?