Геометрический смысл уравнения второго порядка

10.1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия теории

Определение 1. Дифференциальным уравнением Второго по­рядка называется уравнение вида

Где Х — независимая переменная, У — искомая функция, У’ и У» — соответственно ее первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, решением урав­нения (10.1) называется функция У = φ(X), определенная на некотором интервале (А, B), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется Интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности реше­ния уравнения второго порядка.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у’) и ее частные производные и , непрерывны в некоторой обла­сти D пространства переменных (x, у, у’). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у’0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее ус­ловиям:

Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (X0, Y0) на координатной плоскости Оху проходит Единствен­ная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом Y0‘ касательной (рис. 10.1).

Условия (10.3) называются Начальными условиями, а зада­чу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным началь­ным условиям называют Задачей Коши.

Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D Называется функция У = φ(х, С1, С2), если она является реше­нием этого уравнения при любых постоянных величинах С1 и C2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением Уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С1 и C2: У = φ(х, С10, С20).

Рассмотрим для пояснения уравнение У» = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:

Где С1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy Проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х0, y0), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Т. е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка на­чальных условий в общее решение уравнения приводит к сис­теме двух линейных уравнений относительно постоянных С1 и C2

Откуда С1 = 1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное реше­ние — это прямая У = х + 1.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

Тема 1 Понятие обыкновенного дифференциального уравнения

В процессе решения мно­гих теоретических и практических задач часто не удается сразу непосред­ственно установить функциональную зависимость у = f(x) между величинами, но можно установить связь между этой функцией и ее производными. Такая связь несет информацию о динамике изучаемого процесса, т. е. о характере изменения процесса. Как правило, изучается динамика изменения каких-либо показателей с течением времени, но могут быть ис­пользованы и другие зависимости: например, зависимость спроса на товар от его цены и т. д.

Динамика всех протекающих процессов, в том числе и экономических, описывается одним дифференциальным уравнением или системами дифференци­альных уравнений. При изучении характера экономических процессов чаще всего проводится их математическое моделирование, которое предполагает составление и решение системы дифференциальных уравнений.

Экономические ситуации, которые можно исследо­вать, представляя системами дифференциальных уравне­ний, будут показаны в дальнейшем, в курсе изучения специальных дисциплин. Мы, не углубляясь в экономиче­скую трактовку рассматриваемых ситуаций, рассмотрим пример, приводящий к необходимости составления и реше­ния дифференциального уравнения.

Рассмотрим производство продукции. Объем произ­водимой продукции в течение некоторого времени воз­растает и характеризуется постоянным темпом роста k.

Пусть требуется найти закон, характеризующий изменение объема производимой продукции во времени, если в начальный момент времени объем продукции составлял V0 единиц.

Очевидно: средний темп роста kср объема продукции V за промежуток времени Δt определяется выражением:

где ΔV— прирост объема продукции за промежуток вре­мени Δt

V— объем всей продукции, выпущенной за предшест­вующий промежуток времени, численно равный Δt

Переходя к истинным величинам, получим:

Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка, решая которое определим закон изменения объема продукции во времени. Преобразуем дифференциальное уравнение и проведем непосредственное интегрирование:

С учетом начальных условий при t = 0 V = V0 имеем:

Зависимость объема продукции от времени при постоянном темпе роста характеризуется экспонентой. |

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциальным уравнением называется урав­нение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у = f(x) и ее производные у’, у», , y(n)

Символически дифференциальное уравнение n-го порядка записывается так

(1)

Например, уравнения 4х – у + 2у’ = 0 и у» = 2х + 1 являются диффе­ренциальными уравнениями.

Если искомая функция у = f(x) есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (прилагательное «обыкновенные» обычно опускают). В данном курсе лекций рас­сматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Порядком дифференциального уравнения называ­ется порядок наивысшей производной, входящей в данное уравнение

Например, у’ – 2ху2 + 3 = 0 это уравнение первого порядка, а

у'» + 2у’ + у = sin х – уравнение третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Решением дифференциального уравнения назы­вается такая функция у = φ(х), при подстановке которой в уравнение последнее обращается в тождество.

График этой функции у = φ(х) называется интегральной кривой Если решение задано в неявном виде Ф(х, у) = 0, то оно обычно назы­вается интегралом дифференциального уравнения.

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Функция y = 5ln x – есть решение этого уравнения. Действительно: , подставляя у′ в исходное уравнение, получим − тождество, а это значит, что функция 5ln x – есть решение этого дифференциального уравнения.

Пример 3. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

Функция y = 3e2x есть решение данного уравнения. Действительно:

y′ = 6e2x; y′′ = 12e2x. Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, получим 12e2x + 5∙6e2x + 18e2x = 0, т. е. y = 3e2x удовлетворяет данному уравнению, а это значит, что функция y = 3e2x – есть решение этого дифференциального уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция

зависящая кроме аргумента х от n произвольных постоянных C1, C2,…,Cn и удовлетворяющая данному уравнению при любых значе­ниях этих постоянных.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(3)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка назы­вается функция вида

содержащая произвольную постоянную С такую, что:

1) у=φ(х, С) при любом С есть решение уравнения (3);

2) Для любых начальных условий х=х0; у=у0 существует такое С0, что соотношение у=φ(х, С0) при подстановке значений начальных условий обращается в тождество.

Если общее решение дифференциального уравнения первого порядка найдено в виде, неразрешенном относительно у, т. е. в виде Ф(х, у,С) = 0, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Как мы видели в первом примере, решение дифференциального уравнения связано с необходимостью ин­тегрировать входящие в уравнение функции. Рассмотрим, например, урав­нение у’ = Зх2. Интегрируя его, получаем совокупность функций у =х3 + С, каждая из которых является решением данного дифференци­ального уравнения.

На рисунке 1 изображена совокупность указанных интегральных кривых.

Рис. 1. Интегральные кривые уравнения у′ = Зx2 .

Чтобы из всей совокупности общих решений выделить конкретное ре­шение, необходимо задать дополнительные условия. Чаще всего эти до­полнительные условия определяются в виде начальных условий

у(х0) = y0, у'(х0) = y0 и т. д. Так, например, если решения уравнения у’ = Зх2 искать при начальном условии у(0) = 1, конкретное решение будет иметь вид у = х3 + 1.

Таким образом, начальное условие у(0) = 1 выделяет из множества всех решений конкретное решение, график которого проходит через точку (0,1) На рис. 1 этот график изображен пунктирной линией.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Частным решением дифференциального уравне­ния первого порядка называется любая функция у=φ(х, С0), полученное из общего решения у = φ(х, С) при фиксиро­ванном значении произвольной постоянной С=С0.

Заданное в неявном виде Ф(х, у,С0) = 0, это решение называется частным интегралом.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

xdx + ydy = 0. Интегрируя обе части уравнения, получим:

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В дан­ном случае, с учетом канонического уравнения окружно­сти, ее удобно представить в указанном виде.

Общим решением заданного дифференциального урав­нения является

С точки зрения геометрии — это семейство концен­трических окружностей радиуса С. См. рис. 2.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным ус­ловиям

у0 = 4 при х0 = 3 находится из общего подстановкой началь­ных условий в общее решение:

32 + 42 = С2; С = 5.

Подставляя С = 5 в общее реше­ние, получим

Это есть частное решение диф­ференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных ус­ловиях.

Геометрически — это единственная окруж­ность радиуса 5 , проходящая через точку М0 с коорди­натами (3;4), см. рис 2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Задача определения частного решения у = f(x) удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Как уже говорилось в предыдущей лекции, дифференциальное уравнение первого порядка име­ет вид

Если это уравнение можно разрешить относительно у‘, то его можно записать так

Уравнение (5) называется уравнением первого порядка, разрешен­ным относительно производной

Прежде, чем решать любое дифференциальное уравнение, необходимо знать, существует ли на самом деле решение дифференциального уравне­ния, и, если оно есть, то является ли оно единственным

Условия, при которых дифференциальное уравнение (5) имеет ре­шение, составляют содержание теоремы Коши — теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения первого поряд­ка.

1) для любой внутренней точки (x0;y0), существует непрерывно дифференцируемая функция у =φ(x), являющаяся решением этого уравнения и удовлетворяющая условию φ(х0) =y0:

2) если два решения у =φ(x) и у =ψ(x) совпадают хотя бы для одного значения х = х0 : φ(x0) = ψ(x0), то они тождественно совпадают в области G, т. е. φ(x) ψ(x)для любого .

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в том, что суще­ствует единственная интегральная кривая у =φ(x), график которой про­ходит через точку (x0;y0) (см рис. 1).

Особое решение дифференциального уравнения

Определение 8. Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое нельзя получить из общего ни при каких числовых значениях произвольной постоянной С ( включая ).

Например, проверкой можно убедиться, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y=sin(x + C). В то же время функция у=1 также является решением этого уравнения. Однако это решение не может быть получено из общего решения ни при каких значениях С.

С точки зрения геометрии особому решению соот­ветствует интегральная кривая, не содержащаяся в се­мействе интегральных кривых, составляющих общее ре­шение. Она является огибающей этого семейства.

Например, функция у=С(х – С)2 при любом значении С является решением дифференциального уравнения . При этом функция у=0 являясь особым решение данного уравнения, представляет собой огибающую семейства интегральных кривых (рис. 3)

Рис.3. График функций у=С(х – С)2

В случае, когда уравнение имеет особое решение, нельзя ограничиваться нахождением частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Осо­бое решение может удовлетворять тем же начальным ус­ловиям, что и частное решение, и потому решение будет не единственным. В каждой точке особого решения нарушаются условия теоремы Коши (условия существования и единственности решения).

Через каждую из особых точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной.

На примере решения дифференциального уравнения первого порядка покажем, как может появиться особое решение.

Пример 5. Найти решение дифференциального уравнения.

Запишем данное уравнение в виде

.

Далее умножим обе части этого уравнения на dx:

Разделим обе части уравнения на dy, чтобы отделить переменные:

Получаем общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка

Отсюда общее решение

Особое решение. При делении на у возможна потеря решения у = 0. При подстановке данного решения в исходное дифференциальное уравнение, оно обращается в тождество, следовательно, у = 0 является решением. Очевидно, это решение не содержится в общем ни при каком значении постоянной С, а потому является особым. Итак, особое решение у = 0.

Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение у’ = f(x,у). Это уравнение для каждой точки М(х, у) определяет значение произ­водной , т. е. угловой коэффициент касательной к интегральным кривым у = φ(х, С), являющихся общим решением дифференциального уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Часть плоскости, каждой точке которой со­поставлен отрезок прямой так, что тангенс угла наклона его к оси Ох равен значению в данной точке правой части дифференциального урав­нения у’ = f(x,y), называется полем направлений данного дифференци­ального уравнения.

Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирова­ния дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с полем направлений в соответствующих точках.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Множество всех точек плоскости, в которых поле имеет одно и то же направление, называется изоклиной уравнения.

Уравнение изоклины определяется следующим образом. В каждой точ­ке изоклины тангенс угла наклона отрезков поля имеют одно и то же фиксированное значение tgα = k. Так как, с другой стороны,

то координаты каждой точки изоклины удовлетворяют уравнению.

Пример 6. Построить поле направлений дифференциального урав­нения .

Решение. Уравнение изоклин , или у = – кх, т. е. изокли­нами являются прямые с угловым коэффициентом —k проходящие через начало координат (рис. 4). Определяя конкретные значения k, мы полу­чаем уравнение конкретной прямой. При этом мы одновременно задаем и поле направлений. Например, при k = 1, мы получаем изоклину у = –х, в каждой точке которой tgα = k = 1, т. е. α = 45°. На границе направление α задается единственным вектором через определенные промежутки.

Построив изоклины и поле направлений, можно приближенно нарисо­вать интегральные кривые, проводя их в соответствии с заданным полем направлений. В нашем случае интегральные кривые — это семейство ги­пербол .

Рис. 4. Поле направлений и изоклины дифференциального уравнения

Пример 7. Построим поле направлений дифференциально­го уравнения у’ = х2 + у2.

Решение. Уравнение изоклин этого дифференциального уравнения имеет вид х2 + у2 = k, т. е. изоклинами служат концентриче­ские окружности радиусом у/к с центром в начале координат (рис. 5).

Рис. 5. Изоклины и интегральные кривые уравнения у’ = х2 + у2.

В точках каждой из окружностей нужно провести отрезки, образующие с осью ОХ один и тот же угол α, тангенс которого равен k. Так, при k = 1 изоклиной является единичная окруж­ность х2 + у2 = 1, при k = 4 — окружность х2 + у2 = 22 радиу­са 2, при k = 9 — окружность х2+у2 = З2 радиуса 3 и т. д. Этим изоклинам соответствуют направления отрезков, образующих с осью ОХ углы α1 = arctg 1 = π/4, α2 = arctg 4 и α3 = arctg 9.

При k = 0 получаем х2 + у2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет единственная точка (0, 0). В этом случае изоклина состоит из одной точки, для которой tg α = 0. На рис. 5 построены вышеперечисленные изоклины и изображено поле направ­лений данного дифференциального уравнения. Для того чтобы построить интегральную кривую, возьмем на плоскости произ­вольную точку (х0,у0). Проведем через эту точку кривую так, чтобы она в каждой точке касалась поля направлений. Это и будем искомой интегральной кривой, проходящей через точку (х0,у0). В качестве примера, на рис. 5 построены интегральные кривые, проходящие через точки (0; 0), (–1; 1) и (1; –1).

Далеко не для любого дифференциального уравнения первого поряд­ка можно получить общее решение в виде, как говорят, квадратурных формул, т. е. свести его к вычислению неопределенных ин­тегралов методами рассмотренными в лекциях по интегральному исчислению.

Рассмотрим некоторые из простейших типов уравнений, для которых такое решение может быть получено.

Простейшие дифференциальные уравнения.

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение 11. Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида

. (6)

Для того, чтобы отделить переменные, оставив в каждом слагаемом функцию только одного переменного, нужно обе части уравнения умножить на выражение, равное

.

Полученное при этом уравнение

(7)

называется уравнением с разделенными переменными

Интегри­руя уравнение (7), получаем общее решение уравнения в виде квадра­тур

(8)

Пример 8. Найти общее решение уравнения 2уу’ = 1 – Зх2

Решение. Очевидно, что данное уравнение допускает разделение переменных

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Пример 9. Найти частное решение уравнения у’ =, при у(1)=2 Решение. Разделив переменные

интегрируем и получаем

где произвольная постоянная С0 = lnC1. Воспользовавшись свойством логарифма, после операции потенцирования будем иметь общее решение в виде

Используя начальное условие у(1) = 2, находим 2 =, те С = 2 и искомое частное решение равно у .

При делении на у мы могли потерять решение у = 0, но последнее содержится в формуле у = при С = 0.

Замечание 1. Некоторые дифференциальные уравнения можно привести к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнение у‘ = f(ax + bу + с), (b ≠ 0) приводится к виду уравнений с разделяющимися переменными при помощи замены u = ах + by + с, где u -новая искомая функция.

Пример 10. Найти общее решение уравнения у’ = (8х + 2у + 1)2 Решение. Введем новую переменную и = 8х + 2у +1, откуда

и уравнение примет вид

Найдем решение этого уравнения с разделяющимися переменными

Полученное решение является общим интегралом данного уравнения.

2. Однородные диф­ференциальные уравнения первого порядка.

Например, функция f(x,y) = ху — у2 есть однородная функция второй степени так как

.

Определение 13. Дифференциальное уравнение первого порядка

(9)

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференци­альному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

где t = — новая неизвестная функция.

Пример 11. Найти общее решение уравнения (х2 – 2y2)dx + 2xydy = 0

Решение. В данном уравнении функции Р(х, у) = х2 – 2у2 и Q(x,y) = 2ху — однородные функции второй степени, следовательно, решаемое уравнение является однородным. Положим у = tx, откуда dy = tdx + xdt. Подставим выражения для у и dy в исходное дифферен­циальное уравнение

Разделим переменные в последнем уравнении и проинтегрируем

Возвращаясь к переменной у находим общее решение

Однородное дифференциальное уравнение перво­го порядка может быть так же представлено в виде

(11)

где F(x, у) — однородная функция нулевой степени.

Для того, чтобы решить уравнение в этом виде, можно используя равенство представить это уравнение в виде (9) и далее решать, используя подстановку (10).

Пример 12. Найти все решения уравнения

.

Решение. Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, т. к. оно представлено в виде , где = − однородная функция нулевой степени. Действительно,

. Для решения уравнения заменяем в нем на и приводим его к виду (9)

→ . (12)

Здесь , .

Далее решаем это уравнение способом, рассмотренным в примере 11.

→ , . Подставим и в уравнение (12). Получим . Или . Это уравнение уже позволяет разделить переменные t и x:

.

Интегрируя полученное уравнение , получаем .

Возвращаемся к исходным переменным: , и получаем общее решение

.

Особое решение. В процессе решения было произведено деление на . Следовательно, необходимо проверить, являются ли те значения у, при которых t = 0 решением заданного уравнения и если являются, то содержатся ли они в общем решении. Как видно их подстановки , таким значением у является у = 0 ( х ≠ 0). Это значение является решением заданного дифференциального уравнения, т. к. оно обращает уравнение в тождество. Но в тоже время это решение является особым, т. к. оно не может быть получено из общего решения ни при каком числовом значении постоянной С.

Было произведено деление также на х. Убеждаемся, что х = 0 ( у ≠ 0) – частное решение заданного дифференциального уравнения, т. е. может быть получено из общего решения.

Замечание 2. Если и , то,

полагая в уравнении где постоянные α и β опреде-

ляются из решения системы, уравнений получим однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменных u и v. Если Δ = 0, то, полагая в уравнении u = a1x + b1у, получим сразу уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 13. Найти общее решение уравнения

(2х + у + l)dx + (x + 2y – l)dy = 0

Решение. После преобразований получим

а1 = 2, b1 = 1, а2 = 1, b2 = 2

Тогда в соответствии с замечанием 2 введем новые переменные

где постоянные α и β определяются из решения системы уравнений

и исходное уравнение преобразуется к виду

т. е. к виду однородного дифференциального уравнения относительно u и v

После подстановки в дифференциальное уравнение будем иметь

решая которое, найдем:

Подставим обратно t = u/v и после преобразований найдем:

Наконец, возвращаясь к переменным х и у (u = х + 1, v = у – 1), после элементарных преобразований найдем общий интеграл исходного уравнения:

3. Линейные дифференциальные уравнения первого по­рядка.

Определение 14. Линейным дифференциальным уравнением пер­вого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвест­ной функции и ее производной

Если в частном случае Q(x) = 0, то уравнение (13) называется линейным уравнением без правой части или линейным однородным диф­ференциальным уравнением первого порядка.

Если Q(x) не является тождественным нулем, то уравнение (13) назы­вается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Рассмотрим самый распространенный метод решения линейных урав­нений.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Этот метод в дальнейшем мы будем использовать также и при решении линейных уравнений высших порядков.

Метод вариации произвольной постоянной заключается в следующем.

Первый этап. Рассмотрим сначала линейное однородное дифференциальное уравнение

Переменные здесь отделяются

.

(14)

Второй этап. Общее решение исходного неоднородного уравнения (13), когда Q(x) ≠ 0 будем искать в виде

(15)