Геометрический способ решения квадратных уравнений в древности

Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S= х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2)Решим уравнение x 2 – 4x – 12 = 0.

Представим его в виде x 2 – 4x = 12.

На рис13. «изображено» выражение x – 4x, т.е. из площади квадрата со стороной х дважды вычитается площадь квадрата со стороной 2. Значит х 2 – 4х + 4 есть площадь квадрата со стороной х – 2.

Выполнив замену x 2 – 4x = 12, получим

x – 2 = 4x – 2 = – 4

Ответ: x1 = 6, x1 = – 2.

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь мы остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Наша работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = — 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = — 2.

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. — М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. — М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение, 1970.

«Решение квадратных уравнений геометрическим способом»
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Материал к занятию по теме «Решение квадратных уравнений геометрическим способом»

Тема: «Решение квадратных уравнений геометрическим способом»

Тип занятия: Изучение нового материала и первичное закрепление с комплексным применением знаний и способов деятельности

Вид занятия: Усвоение новых знаний

Возраст учащихся: 8 класс

Форма работы: индивидуальная

Оборудование: мультимедийный компьютер

• Познавательный
• Систематизирующий
• Коммуникативный
• Логический

Углубить знания о методах решения квадратных уравнений. Овладеть знаниями решения квадратных уравнений геометрическим способом

• Познакомить с теорией способа решения квадратных уравнений с помощью геометрического способа
• Познакомить с применением способа решения квадратных уравнений с помощью геометрического способа
• Сформировать умения составлять алгоритмы для данного способа решения квадратных уравнений
• Развитие вычислительных навыков
• Развитие кругозора учащихся

• Развитие умения наблюдать, анализировать.
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.
• Развитие коммуникативных качеств личности

• Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей
• Продолжать формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя
2. Актуализация опорных теоретических и практических знаний о квадратных уравнениях
3. Объяснение нового материала
4. Закрепление нового материала
5. Подведение итогов. Рефлексия

Вступительное слово учителя. Сообщается цель, задачи занятия, план работы на занятии.

Актуализация опорных теоретических и практических знаний.

1. Если ах 2 + вх + с = 0 – квадратное уравнение, то а называют ____ коэффициентом, в ___ коэффициентом, с ___ членом;
2. Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляются:

• Д = в 2 – 4ас, Д > или = 0;
• х 1 = ;
• х 2 = .

1. Квадратное уравнение вида х 2 + рх + q = 0 называют _____;
2. Теорема Виета утверждает, что в уравнении вида

• х 2 + рх + q = 0;
• х 1 + х 2 = ____;
• х 1 * х 2 = ____.

1. Если ах 2 + вх + с = 0 квадратное уравнение, то:

– первый коэффициент – это число ___;

– второй коэффициент – это число ___;

– свободный член – это число ___;

1. Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляются

• Д = в 2 – 4ас;
• Д , то х 1 = ;
• х 2 = .

с. Приведённое квадратное уравнение – это уравнение вида _____;

d. Теорема Виета утверждает, что в уравнении :

• х 2 + рх + q = 0;
• х 1 + х 2 = ____;
• х 1 * х 2 = ____ .

Изучение нового материала. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений.

Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» Аль-Хорезми.

1. Решим уравнение х 2 + 10х = 39 .

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х , на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2 ,

следовательно, площадь каждого равна 2 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD , достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2 , а площадь 6