Учебное пособие: Комплексные числа
Название: Комплексные числа Раздел: Рефераты по математике Тип: учебное пособие Добавлен 13:49:20 12 июня 2011 Похожие работы Просмотров: 45866 Комментариев: 26 Оценило: 7 человек Средний балл: 4.3 Оценка: 4 Скачать | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
_ | _ | |||||||||||||
_ | _ | |||||||||||||
_ | ||||||||||||||
Всякий многочлен степени n ³ 1 имеет, по крайней мере, один нуль, действительный или комплексный
Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.
Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом Pn (x ).
После n -кратного применения этих теорем получим, что
,
гдеa 0 — это коэффициент при x n в Pn (x ).
Следствие из основной теоремы алгебры. О разложении многочлена на линейные множители
Любой многочлен степени на множестве комплексных чисел разлагается на n линейных сомножителей, то есть
Разложение многочлена на линейные множители ,(6)
гдех1, х2, … хn — это нули многочлена.
При этом если k чисел из набора х 1, х 2, … хn совпадают между собой и с числом a, то в произведении (6) получается множитель (x – a)k . Тогда число x = a называется k-кратным нулем многочлена Pn ( x ) . Если k = 1, то нуль называется простым нулем многочлена Pn ( x ) .
1)P 4(x ) = (x – 2)(x – 4)3 Þx 1 = 2 — простой нуль, x 2 = 4 — трехкратный нуль;
Свойство 4 (о количестве корней алгебраического уравнения)
Любое алгебраическое уравнение Pn(x) = 0 степени n имеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.
1)x 2 – 4x + 5 = 0 — алгебраическое уравнение второй степени
Þx 1,2 = 2 ± = 2 ±i — два корня;
2)x 3 + 1 = 0 — алгебраическое уравнение третьей степени
Þx 1,2,3 = — три корня;
Разделим многочлен P 3(x ) на (x – 1):
x 3 | + | x 2 | – | x | – | 1 | x – 1 |
x 3 | – | x 2 | x 2 + 2x +1 | ||||
2x 2 | – | x | |||||
2x 2 | – | 2x | |||||
x | – | 1 | |||||
x | – | 1 | |||||
0 |
Þx 1 = 1 — простой корень, x 2 = –1 — двукратный корень.
Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти нули всегда парные комплексно сопряженные, то есть если x 0 = a + bi является корнем уравнения Pn (x ) = 0, то число также является корнем этого уравнения.
w нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:
если , то ;
; ; , ;
если – действительное число, то .
Так как является корнем уравнения , то
, где , – действительные числа.
Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:
, то есть число также удовлетворяет уравнению , следовательно, является его корнем, ч.т.д. v
1) – парные комплексно сопряженные корни;
2) .
Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на произведение линейных и квадратичных функций с действительными коэффициентами.
w Пусть x 0 = a + bi — нуль многочлена Pn (x ). Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то тоже является его нулем (по свойству 5).
Вычислим произведение двучленов :
комплексный число многочлен уравнение
Получили (x – a )2 + b 2 — квадратный трехчленс действительными коэффициентами.
Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v
Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел (Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел )
1. Алгебраические уравнения первой степени:
, – единственный простой корень.
.
Ответ: .
2. Квадратные уравнения:
, – всегда имеет два корня (различных или равных).
1) .
Ответ: .
2) .
Ответ: .
3) ,.
Ответ: , .
3. Двучленные уравнения степени :
, – всегда имеет различных корней.
,
;
;
.
Ответ: , .
4. Решить кубическое уравнение .
Уравнение третьей степени имеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.
Подбором находим первый корень уравнения , так как .
По следствию из теоремы Безу . Вычисляем это деление «в столбик»:
_ | |||||
_ | |||||
_ | |||||
Представляя теперь многочлен в виде произведения линейно и квадратного множителя, получим:
.
Другие корни находим как корни квадратного уравнения:
.
Ответ: , .
5. Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x 1 = 3 и x 2 = 1 + i являются его корнями, причем x 1 является двукратным корнем, а x 2 — простым.
Число тоже является корнем уравнения, т.к. коэффициенты уравнения должны быть действительными.
Всего искомое уравнение имеет 4 корня: x 1, x 1, x 2, . Поэтому его степень равна 4. Составляем многочлен 4-й степени с нулями x 1, x 1, x 2, по формуле (6):
Þ
.
Искомое уравнение имеет вид P 4(x ) = 0.
Ответ: .
1. Сформулируйте определение комплексного числа
3. Какое название или смысл имеет формула?
4. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
5. ⌂ .
7. Что такое действительная часть комплексного числа z?
9. Что такое комплексно сопряженное число?
11. Что такое комплексный ноль?
13. Сформулируйте смысл комплексного равенства.
15. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?
17. Что такое аргумент комплексного числа?
18. Какое название или смысл имеет формула?
19. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
20. ⌂ .
21. Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?
22. Какое название или смысл имеет формула?
23. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
24. ⌂ .
25. Что называется алгебраической формой комплексного числа?
27. Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.
28. Какое название или смысл имеет формула?
29. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
31. Какое название или смысл имеет формула?
32. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
33. ⌂ .
34. Какое название или смысл имеет формула?
35. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
36. ⌂ .
37. Что такое формула Муавра?
38. Какое название или смысл имеет формула?
39. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
40. ⌂ .
41. Что называется корнем степени n из комплексного числа?
42. Какое название или смысл имеет формула?
43. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
44. ⌂ .
45. Что называется показательной формой комплексного числа?
46. Какое название или смысл имеет формула?
47. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
48. ⌂ .
49. Что такое формулы Эйлера?
50. Какое название или смысл имеет формула?
51. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
52. ⌂ .
53. Что называется целой функцией?
55. Что называется полиномом?
57. Что такое коэффициенты многочлена?
59. Что называется нулем функции?
61. Перечислите основные свойства многочленов.
63. Сформулируйте свойство о делении многочлена на разность (x – х0).
64. Сформулируйте теорему теорема Безу .
65. Какое название или смысл имеет формула?
66. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
67. ⌂ .
69. Сформулируйте теорему теорема алгебры основная.
70. Какое название или смысл имеет формула?
71. Поясните смысл обозначений в этой формуле:
72. ⌂ .
73. Что называется k-кратным нулем многочлена?
75. Сформулируйте свойство о количестве корней алгебраического уравнения.
78. Сформулируйте свойство о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
k-кратным нулем многочлена называется. (стр. 18)
алгебраическим многочленом называется. (стр. 14)
алгебраическим уравнением n-й степени называется. (стр. 14)
алгебраической формой комплексного числа называется. (стр. 5)
аргумент комплексного числа это. (стр. 4)
действительная часть комплексного числа z это. (стр. 2)
комплексно сопряженное число это. (стр. 2)
комплексный ноль это. (стр. 2)
комплексным числом называется. (стр. 2)
корнем степени n из комплексного числа называется. (стр. 10)
корнем уравнения называется. (стр. 14)
коэффициенты многочлена это. (стр. 14)
мнимая единица это. (стр. 2)
мнимая часть комплексного числа z это. (стр. 2)
модулем комплексного числа называется. (стр. 4)
нулем функции называется. (стр. 14)
показательной формой комплексного числа называется. (стр. 11)
полиномом называется. (стр. 14)
простым нулем многочлена называется. (стр. 18)
противоположное число это. (стр. 2)
степень многочлена это. (стр. 14)
тригонометрической формой комплексного числа называется. (стр. 5)
Геометрическое изображение комплексных чисел решение алгебраических уравнений
Комплексное число $z$, изображаемое точкой $M(a,b)$, называется аффиксом этой точки. При этом действительные числа изображаются точками, лежащими на действительной оси, а все чисто мнимые числа $bi$(при $a = 0$) — точками, лежащими на мнимой оси. Число нуль изображается точкой O.
Рис.1
На рис. 1 построены изображения чисел $z_ <1>= 2 + 3i, z_<2>=1 =1,z_ <3>= 4i, z_ <4>= -4 + i, z_ <5>= -2, z_ <6>= — 3 – 2i, z_ <7>= -5i, z_ <8>= 2 – 3i$.
Два комплексно сопряженных числа изображаются точками, симметричными относительно оси $Ox$ (точки $z_<1>$ и $z_<8>$ на рис. 1).
Рис. 2
Часто с комплексным числом $z$ связывают не только точку $M$, изображающую это число, но и вектор $\vec
Рис. 3
Как известно, положение точки на плоскости можно задавать также ее полярными координатами $r, \phi$. Тем самым и комплексное число — аффикс точки также определится заданием $r$ и $\phi$. Из рис. 3 ясно, что $r = OM = \sqrt
Аргумент комплексного числа (как и полярный угол точки) определен неоднозначно; если $\phi_<0>$ -одно из его значений, то все его значения выражаются формулой
$\phi = \phi_ <0>+ 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$
Все значения аргумента в совокупности обозначаются символом $Arg \: z$.
Итак, всякому комплексному числу может быть поставлена в соответствие пара действительных чисел: модуль и аргумент данного числа, причем аргумент определяется неоднозначно. Напротив, заданным модулю $|z| = r$ и аргументу $\phi$ отвечает единственное число $z$, имеющее данные модуль и аргумент. Особыми свойствами обладает число нуль: его модуль равен нулю, аргументу не приписывается никакого определенного значения.
Для достижения однозначности в определении аргумента комплексного числа можно условиться одно из значений аргумента называть главным. Его обозначают символом $arg \: z$. Обычно в качестве главного значения аргумента выбирается значение, удовлетворяющее неравенствам
$0 \leq arg \: z 0, \\
\pi, & \text <если>a 0, \\
\frac<3 \pi><2>, & \text <если>b < 0; \end
Условие равенства двух чисел, заданных в тригонометрической форме, таково: два числа $z_<1>$ и $z_<2>$ равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы равны или отличаются на целое число периодов $2 \pi$.
Пример. Записать в тригонометрической форме следующие числа:
а)$6 + 6i$; б) $3i$; в) $—10$.
Решение, а) Имеем
$r = \sqrt <6^<2>+ (-6)^<2>> = 6 \sqrt<2>$,
$\cos \phi = \frac<6><6 \sqrt<2>> = \frac<1><\sqrt<2>> = \frac<\sqrt<2>><2>$,
$\sin \phi = — \frac<6><6 \sqrt<2>> = — \frac<1><\sqrt<2>> = — \frac<\sqrt<2>><2>$,
откуда $\phi = \frac<7 \pi><4>$, и, следовательно,
$6-6i = 6 \sqrt <2>\left ( \cos \frac<7 \pi> <4>+ i \sin \frac<7 \pi> <4>\right )$;
б) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left ( \cos \frac<\pi> <2>+ i \sin \frac<\pi> <2>\right )$
в) $r = 10, \cos \phi = —1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат — мнимой осью (рис. 1).
Комплексному числу $z=a+b i$ будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка $(a ; b)$: $z=a+b i \leftrightarrow(a ; b)$ (рис. 2). То есть на действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой — мнимая.
Например. На рисунке 3 на комплексной плоскости изображены числа $z_<1>=2+3 i$, $z_<2>=i$ и $z_<3>=-2$ .
Модуль комплексного числа
Комплексное число также можно изображать радиус-вектором $\overline
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
http://earthz.ru/science/Geometricheskoe-izobrazhenie-kompleksnyh-chisel-trigonometricheskaja-forma-kompleksnogo-chisla
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_16_2.php