Геометрическое место точек заданных уравнением

Геометрическое место точек заданных уравнением

Задание 5. Изобразить геометрическое место точек, заданных уравнением

б) в пространстве

Решение. а) Данное уравнение есть общее уравнение кривой второго порядка. Методом выделения полного квадрата приведём его к каноническому виду:

Это уравнение эллипса с центром в точке . Ось по Х равна ось по У равна

В пространстве заданному уравнению соответствует эллиптический цилиндр, направляющей линией которого является полученный в пункте а) эллипс. Направляющая расположена в плоскости Oxy, а образующие – прямые, параллельные оси Oz

Геометрические места точек

Геометрическим местом точек называют множество точек, заданное условием, являющимся и свойством, и признаком.

Другими словами, все точки из рассматриваемого геометрического места точек, и только они, удовлетворяют заданному условию.

Примеры геометрических мест точек (сокращённо ГМТ ) на плоскости представлены в следующей таблице, причём геометрические места точек изображаются в таблице красным цветом .

Геометрические места точек.Элективный курс
материал по алгебре (9 класс) на тему

Элективный курс в рамках предпрофильной подготовки

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

ГБОУ лицей-интернат Центр одаренных детей

Программа элективного курса по алгебре « Геометрические места точек» для 9 класса в рамках предпрофильной подготовки Каткова Галина Геннадьевна- учитель математики Образование – высшее, педагогический стаж-29лет, Квалификационная категория -высшая

Пояснительная записка Ведущее место математического образования определяется: -практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, -развитием творческих способностей. Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике -позволяющий обеспечить базовую подготовку, – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету, ориентировать на выбор профессии, связанной с математикой. Данный курс направлен: на расширение знаний, повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Модуль и его свойства таят в себе большую содержательность, глубину, умелое обыгрывание которых позволяет рационально и остроумно решать спектр задач, побуждает учащихся к самостоятельности и творчеству . Курс предназначен для учащихся 9 класса общеобразовательных учреждений, реализующих предпрофильную подготовку.

Цели курса Продолжить формирование умений логически мыслить и отыскивать математические закономерности Помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы Развивать математические способности учащихся Помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как : построение графиков функций, удовлетворяющих заданному условию преобразование выражений, содержащих модуль решение уравнений, неравенств и систем графическим методом

Задачи курса Вовлечь учащихся в проектировочную деятельность Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы Научить строить геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют условию F(x)=0 , F(x)≤0 , F(x)≥0 Научить учащихся навыкам построения графиков с модулем и проведению преобразований с помощью изученных методов

Тематическое планирование № Наименование тем курса Всего часов Лекция Практика Семинар 1 ГМТ. Определение, общие понятия 1 0,5 0,5 2 Геометрические преобразования графиков функций, содержащих модуль. 2 1 1 3 Построение ГМТ, заданных уравнениями 2 1 1 4 Построение ГМТ, заданных системами неравенств. 2 1 1 5 Задачи на нахождение площадей фигур. 1 1 6 Модуль в заданиях единого государственного экзамена 1 1 7 Заключительное занятие: представление своих работ учащимися. 2 2

Должны знать : -правило раскрытия модуля, -план построения графиков основных видов функций. Должны уметь : -применять метод геометрических преобразований, -строить графики основных видов функций с модулем и различные их комбинации, -изображать геометрические места точек, заданные уравнениями вида │ x│ +│ y │= n , │ x +а │ = с ,│ y-b │= с и неравенствами. Оценивать свои результаты : проверка самостоятельно решенных задач, защита проектов. В результате изучения курса учащиеся Основные формы организации учебных занятий : лекция , практическая работа, семинар, творческие задания в виде выполнения и защиты проектов. Методы обучения: проблемный, метод проектов.

Цели : Постановка задач курса, проверка владения базовыми умениями. Научить изображать ГМТ, заданные неравенствами. Методы обучения : лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество, в которое входят все те и только те точки, которые обладают этим свойством . Все графики функций y = f (x) , которые изучались до сих пор можно рассматривать как ГМТ, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению. Таким образом построение геометрических мест точек, координаты которых удовлетворяют какому – либо соотношению, является задачей более общей, чем построение графиков функций. Графический способ – один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации. Упражнение 1. Построить ГМТ, координаты которых удовлетворяют неравенствам : а) x 0 ; б) у – x > 1 ; в) у ≥ х 2; г) у 1 │ x+3 │ 3 │ x │+ │y │> 3 y≤│x │ x > │y │ x 2 +y 2 -2x-2y │x│ 11) x 2 +y 2 ≤9/4 12) x+y 0 x 2 +y 2 ≤9 │ x │+2 │y │ ≤4 x 2 +y 2 ≥ 1 16) x ≥ │x 3 +xy 2 │ 17) x 2 +y 2 ≤ 2x+2y ≤4y 18) x-y-1/x 2 +y 2 -1 2 3. | х | + | у | + | х-у | ≤ 2 9. х 2 +у 2 ≥ 144 4. х 2 + у 2 ≤ 2х+2у ≤ 4у 3 | х | +4 | у |≥ 60 5. (х-у-1) / (х 2 -у 2 -1) 8 х 2 +у 2 -2х+2у+1 ≥0 (х+у-1) / (х 2 +у 2 -1) > 1 11. (у-1) 2 7 Число корней 0 2 4 5 6 4 2

Задание 2. При каких значениях х функция у = | 2х +3 | +3 | х-1 | — | х +2| имеет наименьшее значение ? Задание 3. При каких значениях х функция у = | х+1 | + | х-1 | -2 | х-2 | достигает максимума ? Задание 4. При каком значении а уравнение |x 2 -|x|-6|=a имеет более двух корней? Задание 5 . При каком значении х функция достигает минимума?

Представление своих работ учащимися .

Задачи, составленные учащимися .

Задачи, составленные учащимися.

Используемая литература Дороднов А. М., Острецов И. Н. и др. «Графики функций. Учебное пособие для поступающих в ВУЗы», 1972 г. Журнал «Математика в школе» №5, 1999 г. Студенецкая В. Н., Сагателова Л. С. «Математика 8-9 класс», Учитель ,2007 . Выпуск 1. Горохова Л. И. и др. «Уроки математики с применением интегрированных технологий», 2009 г., «Глобус» Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», №5, 1999 г. А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский «Алгебраический тренажер», 1998 г., «Гимназия». М. И. Козина « Математика 8-9 класс», «Учитель» , 2007 г. Выпуск 2. Интернет-ресурсы Конец

Тема 2 Обобщение методов построения графиков функций, содержащих знак модуля ( урок повторения и обобщения) Оборудование: интерактивная доска.

Цель занятия: напомнить методы построения графиков функций, содержащих знак модуля; способствовать развитию навыков построения графиков функций с опорой на преобразования симметрии; закрепить полученные знания.

Определение Не зная определения модуля, невозможно построить даже самого простого графика, содержащего абсолютную величину. Итак, напомню определение функции Построение графиков функций с модулем – частный случай построения графиков сложных функций.

0 X Y 1 1 -1 y=x y= │ x │ Иллюстрация графика функции .

Чтобы из графика функции у = f (x) получить график функции у =│ f (x) │, нужно: построить график функции у = f(x) ; части графика функции у = f(x) , лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить от неё.

Х У 0 y=f(x) y= │ f(x) │

Для того, чтобы построить график функции у= f( │ x │ ) , нужно: построить график функции у = f (x) ; часть графика функции у= f (x) , соответствующую положительной полуоси абсцисс, отразить от оси ординат.

х у 0 y=f(x) y=f( │ x │ )

Функция │у│ = f(x) является двузначной , т.к. по определению абсолютной величины у =± f(x) , где f(x) ≥ 0, поэтому график симметричен относительно оси ОХ. Чтобы построить график этой функции, нужно: найти D (y) из условия f(x) ≥ 0; на D (y) построить график функции у = f(x) ; отобразить его зеркально от оси абсцисс.

Х У 0 y = f(x) │ y │ =f(x)

Графики функций y= │ x+a │ + │ x+b │ +…+ │ x+n │ Характерной особенностью графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля, является наличие изломов в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком модуля, изменяет знак.

Пример функции y= │ x+1 │ + │ x-1 │.

Х У 0 1 -1 1 2 у=2х у=2 у= -2х

Итак, графики с модулями кажутся очень сложными и непонятными. Разобравшись с графиками основных видов функций, аналитическая запись которых содержит знак абсолютной величины, можно узнать много нового и полезного. Работа с ними увлекательна и интересна.

Примеры на построение 1. │у│=2 Строим у=2 и отражаем его относительно оси абсцисс- геометрическим местом точек являются две параллельные прямые 2. │у│=х 2 — 3 х+2 На интервале ( 1; 2 ) функция отрицательна, следовательно уравнение не имеет смысла . Искомое ГМТ состоит из кусков параболы на полуинтервалах х≤1 и х ≥2 и их зеркальное отображение относительно оси ОХ. 3. у = │х 2 -3х+2│ Строим параболу и нижнюю ее часть отображаем относительно оси абсцисс. Графики

5 . у = │ х │ + х Раскрыв знак модуля, функцию можно записать в виде: 2х, при х ≥0, у = 0, при х Мне нравится