Геометрическое уравнение места точек плоскости

Геометрическое место точек. Метод геометрических мест

Определение: Геометрическим местом точек называется геометрическая фигура на плоскости, каждая точка которой обладает одним и тем же определенным свойством.

Метод геометрических мест применяется чаще всего при построениях. Например, серединный перпендикуляр к отрезку можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от точек концов отрезков; окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Теорема (о геометрическом месте точек). Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть даны точки А и В, а точка С – середина отрезка АВ. Нужно найти геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В.

Доказательство основано на свойстве серединного перпендикуляра к отрезку.

Серединный перпендикуляр СК, принадлежащий прямой а, как и любая точка этой прямой, — есть геометрическое место точек, равноудаленных от А и В, так как СКꓕАВ.

Допустим, что есть еще точка К₁, расстояние до которой от А и В одинаково.

Рассмотрим ∆АК₁В, он разбит отрезком К₁С на два треугольника: ∆АК₁С и ∆К₁СВ. Если эти треугольники равны, то точка К₁ тоже удалена на одинаковое расстояние от А и В.

Через точку С проходят две прямые СК и СК₁. На основании теоремы 16 (о единственности перпендикуляра из точки к прямой), если СКꓕАВ по построению, то СК₁ не может быть перпендикулярна АВ.

Метод геометрических мест

Построить точку Х, равноудаленную от А и В и находящуюся на расстоянии h от точки С.

1.Построим геометрическое место точек, удовлетворяющее первому условию: это будет серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Прямая а, которая содержит серединный перпендикуляр к отрезку АВ, удовлетворяет полностью первому условию.

2.На перпендикуляре (прямая а) должна находится точка Х, которая удовлетворяла бы второму условию (расстояние от нее до С должно составлять h).

Если из точки С радиусом h провести окружность, то все точки окружности будут расположены от С на одинаковом расстоянии h (построили второе геометрическое место точек, равноудаленных от С).

3.Пересечение первого геометрического места точек (прямая а) и второго (окружности с центром в точке С) будет удовлетворять обоим условиям задачи. Точки пересечения окружности и прямой (Х₁ и Х) и будут теми искомыми точками, которые равноудалены от точек А и В и находятся от С на расстоянии h.

Геометрические места точек.Элективный курс
материал по алгебре (9 класс) на тему

Элективный курс в рамках предпрофильной подготовки

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

ГБОУ лицей-интернат Центр одаренных детей

Программа элективного курса по алгебре « Геометрические места точек» для 9 класса в рамках предпрофильной подготовки Каткова Галина Геннадьевна- учитель математики Образование – высшее, педагогический стаж-29лет, Квалификационная категория -высшая

Пояснительная записка Ведущее место математического образования определяется: -практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, -развитием творческих способностей. Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике -позволяющий обеспечить базовую подготовку, – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету, ориентировать на выбор профессии, связанной с математикой. Данный курс направлен: на расширение знаний, повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Модуль и его свойства таят в себе большую содержательность, глубину, умелое обыгрывание которых позволяет рационально и остроумно решать спектр задач, побуждает учащихся к самостоятельности и творчеству . Курс предназначен для учащихся 9 класса общеобразовательных учреждений, реализующих предпрофильную подготовку.

Цели курса Продолжить формирование умений логически мыслить и отыскивать математические закономерности Помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы Развивать математические способности учащихся Помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как : построение графиков функций, удовлетворяющих заданному условию преобразование выражений, содержащих модуль решение уравнений, неравенств и систем графическим методом

Задачи курса Вовлечь учащихся в проектировочную деятельность Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы Научить строить геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют условию F(x)=0 , F(x)≤0 , F(x)≥0 Научить учащихся навыкам построения графиков с модулем и проведению преобразований с помощью изученных методов

Тематическое планирование № Наименование тем курса Всего часов Лекция Практика Семинар 1 ГМТ. Определение, общие понятия 1 0,5 0,5 2 Геометрические преобразования графиков функций, содержащих модуль. 2 1 1 3 Построение ГМТ, заданных уравнениями 2 1 1 4 Построение ГМТ, заданных системами неравенств. 2 1 1 5 Задачи на нахождение площадей фигур. 1 1 6 Модуль в заданиях единого государственного экзамена 1 1 7 Заключительное занятие: представление своих работ учащимися. 2 2

Должны знать : -правило раскрытия модуля, -план построения графиков основных видов функций. Должны уметь : -применять метод геометрических преобразований, -строить графики основных видов функций с модулем и различные их комбинации, -изображать геометрические места точек, заданные уравнениями вида │ x│ +│ y │= n , │ x +а │ = с ,│ y-b │= с и неравенствами. Оценивать свои результаты : проверка самостоятельно решенных задач, защита проектов. В результате изучения курса учащиеся Основные формы организации учебных занятий : лекция , практическая работа, семинар, творческие задания в виде выполнения и защиты проектов. Методы обучения: проблемный, метод проектов.

Цели : Постановка задач курса, проверка владения базовыми умениями. Научить изображать ГМТ, заданные неравенствами. Методы обучения : лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество, в которое входят все те и только те точки, которые обладают этим свойством . Все графики функций y = f (x) , которые изучались до сих пор можно рассматривать как ГМТ, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению. Таким образом построение геометрических мест точек, координаты которых удовлетворяют какому – либо соотношению, является задачей более общей, чем построение графиков функций. Графический способ – один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации. Упражнение 1. Построить ГМТ, координаты которых удовлетворяют неравенствам : а) x 0 ; б) у – x > 1 ; в) у ≥ х 2; г) у 1 │ x+3 │ 3 │ x │+ │y │> 3 y≤│x │ x > │y │ x 2 +y 2 -2x-2y │x│ 11) x 2 +y 2 ≤9/4 12) x+y 0 x 2 +y 2 ≤9 │ x │+2 │y │ ≤4 x 2 +y 2 ≥ 1 16) x ≥ │x 3 +xy 2 │ 17) x 2 +y 2 ≤ 2x+2y ≤4y 18) x-y-1/x 2 +y 2 -1 2 3. | х | + | у | + | х-у | ≤ 2 9. х 2 +у 2 ≥ 144 4. х 2 + у 2 ≤ 2х+2у ≤ 4у 3 | х | +4 | у |≥ 60 5. (х-у-1) / (х 2 -у 2 -1) 8 х 2 +у 2 -2х+2у+1 ≥0 (х+у-1) / (х 2 +у 2 -1) > 1 11. (у-1) 2 7 Число корней 0 2 4 5 6 4 2

Задание 2. При каких значениях х функция у = | 2х +3 | +3 | х-1 | — | х +2| имеет наименьшее значение ? Задание 3. При каких значениях х функция у = | х+1 | + | х-1 | -2 | х-2 | достигает максимума ? Задание 4. При каком значении а уравнение |x 2 -|x|-6|=a имеет более двух корней? Задание 5 . При каком значении х функция достигает минимума?

Представление своих работ учащимися .

Задачи, составленные учащимися .

Задачи, составленные учащимися.

Используемая литература Дороднов А. М., Острецов И. Н. и др. «Графики функций. Учебное пособие для поступающих в ВУЗы», 1972 г. Журнал «Математика в школе» №5, 1999 г. Студенецкая В. Н., Сагателова Л. С. «Математика 8-9 класс», Учитель ,2007 . Выпуск 1. Горохова Л. И. и др. «Уроки математики с применением интегрированных технологий», 2009 г., «Глобус» Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», №5, 1999 г. А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский «Алгебраический тренажер», 1998 г., «Гимназия». М. И. Козина « Математика 8-9 класс», «Учитель» , 2007 г. Выпуск 2. Интернет-ресурсы Конец

Тема 2 Обобщение методов построения графиков функций, содержащих знак модуля ( урок повторения и обобщения) Оборудование: интерактивная доска.

Цель занятия: напомнить методы построения графиков функций, содержащих знак модуля; способствовать развитию навыков построения графиков функций с опорой на преобразования симметрии; закрепить полученные знания.

Определение Не зная определения модуля, невозможно построить даже самого простого графика, содержащего абсолютную величину. Итак, напомню определение функции Построение графиков функций с модулем – частный случай построения графиков сложных функций.

0 X Y 1 1 -1 y=x y= │ x │ Иллюстрация графика функции .

Чтобы из графика функции у = f (x) получить график функции у =│ f (x) │, нужно: построить график функции у = f(x) ; части графика функции у = f(x) , лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить от неё.

Х У 0 y=f(x) y= │ f(x) │

Для того, чтобы построить график функции у= f( │ x │ ) , нужно: построить график функции у = f (x) ; часть графика функции у= f (x) , соответствующую положительной полуоси абсцисс, отразить от оси ординат.

х у 0 y=f(x) y=f( │ x │ )

Функция │у│ = f(x) является двузначной , т.к. по определению абсолютной величины у =± f(x) , где f(x) ≥ 0, поэтому график симметричен относительно оси ОХ. Чтобы построить график этой функции, нужно: найти D (y) из условия f(x) ≥ 0; на D (y) построить график функции у = f(x) ; отобразить его зеркально от оси абсцисс.

Х У 0 y = f(x) │ y │ =f(x)

Графики функций y= │ x+a │ + │ x+b │ +…+ │ x+n │ Характерной особенностью графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля, является наличие изломов в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком модуля, изменяет знак.

Пример функции y= │ x+1 │ + │ x-1 │.

Х У 0 1 -1 1 2 у=2х у=2 у= -2х

Итак, графики с модулями кажутся очень сложными и непонятными. Разобравшись с графиками основных видов функций, аналитическая запись которых содержит знак абсолютной величины, можно узнать много нового и полезного. Работа с ними увлекательна и интересна.

Примеры на построение 1. │у│=2 Строим у=2 и отражаем его относительно оси абсцисс- геометрическим местом точек являются две параллельные прямые 2. │у│=х 2 — 3 х+2 На интервале ( 1; 2 ) функция отрицательна, следовательно уравнение не имеет смысла . Искомое ГМТ состоит из кусков параболы на полуинтервалах х≤1 и х ≥2 и их зеркальное отображение относительно оси ОХ. 3. у = │х 2 -3х+2│ Строим параболу и нижнюю ее часть отображаем относительно оси абсцисс. Графики

5 . у = │ х │ + х Раскрыв знак модуля, функцию можно записать в виде: 2х, при х ≥0, у = 0, при х Мне нравится