Гипербола. График функции и свойства.
теория по математике 📈 функции
Графиком функции у= k x . . , где k ≠ 0 число, а х – переменная, является кривая, которую называют гиперболой.
Гипербола имеет две ветви и может располагаться в 1 и 3 координатных четвертях, либо во 2 и 4. Это зависит от знака числа k. Рассмотрим данную кривую на рисунке, где показано ее расположение в зависимости от знака k.
Свойства гиперболы (у= k x . )
График функции симметричен относительно начала координат (0;0). Поэтому функцию еще называют – обратная пропорциональность.
- Область определения – любое число, кроме нуля.
- Область значения – любое число, кроме нуля.
- Функция не имеет наибольших или наименьших значений.
Построение графика функции
Для построения графика функции необходимо подбирать несколько положительных и несколько отрицательных значений переменной х, затем подставлять их в заданную функцию для вычисления значений у. После этого по найденным координатам построить точки и соединить их плавной линией. Рассмотрим построение графиков на примерах.
Построить график функции у= 10 x . . .
Для этого построим две таблицы для положительных и отрицательных значений х. Подбирать желательно такие значения х, чтобы число 10 на них делилось
| х | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 |
| у |
| х | –1 | –2 | –4 | –5 | –10 |
| у |
Теперь делим на эти числа 10, получим значения у:
| х | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 |
| у | 10 | 5 | 2,5 | 2 | 1 |
| х | –1 | –2 | –4 | –5 | –10 |
| у | –10 | –5 | –2,5 | –2 | –1 |
Выполняем построение точек, они будут располагаться в первой и третьей координатных четвертях, так как число k положительное. 
Теперь для построения гиперболы соединим точки плавной линией. 
Построить график функции у= − 5 x . . .
Для этого построим также две таблицы для положительных и отрицательных значений х. Подбирать желательно такие значения х, чтобы число минус 5 на них делилось. Выполняем деление и получаем значения у. При делении обращаем внимание на знаки, чтобы не допускать ошибок.
| х | 1 | 2 | 5 | 10 |
| у | –5 | –2,5 | –1 | –0,5 |
| х | –1 | –2 | –5 | –10 |
| у | 5 | 2,5 | 1 | 0,5 |
Теперь отмечаем точки во 2 и 4 координатных четвертях (число k отрицательное) и соединяем их для получения ветвей гиперболы.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
1) y = x²
Для решения данной задачи необходимо знать
Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.
y = x² – парабола, в общем виде это y = ax²+bx+c, но в нашем случае b = c = 0, а а = 1
x/2 – прямая, в общем виде график прямой имеет вид y = ax + b, в нашем случае b = 0, а = 1/2
y = 2/x – гипербола, в общем виде график функции y = a/x + b, в данном примере b = 0, a = 2
Парабола изображена на рисунке А, гипербола на рисунке Б, а прямая – В.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Установите соответствие между функциями и их графиками.
В данной ситуации можно воспользоваться двумя подходами — можно руководствоваться общими соображениями, а можно просто решить задачу подстановкой. Я рекомендую решать задачу общими соображениями, а проверять подстановкой.
- если уравнение гиперболы положительное (то есть не стоит знак -, как во втором и третьем случае), то график функции лежит в первой и третьей координатной четверти
- если перед уравнением гиперболы стоит знак — (как в первом случае), то график лежит во второй и четвертой четвертях
Таким образом можно сразу определить, что первое уравнение соответствует графику под номером 2.
Второе правило, которым я пользуюсь, звучит так:
- чем больше число в знаменателе гиперболы (рядом с x), тем сильнее гипербола жмется к осям координатной плоскости
- чем больше число в числителе уравнения гиперболы, тем слабее и медленнее график функции прижимается к осям
Следовательно, функция Б слабее прижимается к осям и ей соответствует график 3, а функции В соответствует график 1, так как она сильнее прижимается к осям.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Гипербола
Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).
Функция заданная формулой \(y=\frac
Определение гиперболы.
График функции \(y=\frac
Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:
гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы. 
Пример №2:
$$y=\frac<1>
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота
Находим вторую асимптоту.
Дробь \(\color
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1): 
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
Остается y≠1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1): 
3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:
Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат. 
4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:
Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.
Вторая ось симметрии это прямая y=-x.
5. Гипербола нечетная функция.
6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:
а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.
в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5
г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).
д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).
е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞). 
7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment
Гипербола: определение, функция, формула, примеры построения
В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.
Определение и функция гиперболы
Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:
- x – независимая переменная;
- k ≠ 0;
- при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
- при k 0)
- y = -x (при k Алгоритм построения гиперболы
Пример 1
Дана функция y = 4 /x. Построим ее график.
Решение
Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.
Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.
| 0,5 | 8 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 8 | 0,5 |  Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y.
|
