Гиперболические уравнения с одной переменной

Гиперболические уравнения с одной переменной

Глава 5. Решение дифференциальных уравнений

5.8 Функции решения параболических и гиперболических уравнений

Дифференциальные уравнения в частных производных требуют нахождение функции не одной, а нескольких переменных. MathCAD имеет очень ограниченные возможности для решения таких уравнений, ведь для решения каждого вида уравнений в частных производных требуется свой метод решения.

Уравнения в частных производных можно разделить на три типа:

1) параболические, содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, причем все производные входят в уравнение с одинаковым знаком;

2) гиперболические, содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, входящие в уравнение с разными знаками;

3) эллиптические, содержащие вторые производные, причем одного знака.

Функции решения параболических и гиперболических уравнений

MathCAD 11 включает в себя две функции для решения параболических и гиперболических уравнений, pdesolve и numol .

Функция pdesolve используется в составе вычислительного блока Given – pdesolve для решения параболических и гиперболических уравнений (или систем уравнений) в частных производных, имеющих в качестве аргументов, как правило, время t и пространственную координату x .

Обращение к этой функции:

возвращает скалярную (для одного уравнения) или векторную (для системы уравнений) функцию, являющуюся решением уравнения (или системы уравнений). Здесь u –явно заданный вектор имен функций (без указания имен аргументов), подлежащих вычислению. Эти функции, а также граничные условия должны быть определены внутри вычислительного блока Given – pdesolve ; х – пространственная координата; x range – вектор значений аргумента х для граничных условий. Он должен состоять из двух чисел, представляющих две границы расчетного интервала; t – время (имя второго аргумента неизвестной функции); t range – вектор значений аргумента t для граничных условий, состоящих из двух чисел, представляющих две границы расчетного интервала; x pts – количество пространственных точек дискретизации (может не указываться); t pts – количество временных слоев (может не указываться).

Пример использования функции pdesolve приведен на рис. 5.19 запись вычислительного блока с функцией pdesolve аналогична записи блока с функцией Odesolve . Результаты расчета показаны на рис. 5.20.

Решение одномерного волнового уравнения

Здесь w -перемещение, v -скорость перемещения

где тогда

Представим первое уравнение как систему двух

уравнений первого порядка

Given

граничные условия

Рис. 5.1 9 Пример использования функции pdesolve

Единичное решение волнового уравнения

Сетка решений волнового уравнения на временном и пространственном интервалах

Рис. 5. 20 Результаты решения волнового уравнения

Обратите внимание на то, что уравнения внутри вычислительного блока должны записываться с аргументами. Для идентификации частных производных следует использовать нижний индекс, например, – вторая производная функции u по пространственной координате х.

Недостатком функции pdesolve (как и функции Odesolve ) является невозможность ее использования в составе выражения – программы для многократного решения дифференциального уравнения. При необходимости многократного решения обыкновенных дифференциальных уравнений в состав программного модуля можно включать функции Rkadapt или Bulstoer.

При необходимости многократного решения дифференциальных уравнений в частных производных в состав программного модуля можно включать функцию numol , которая, как и pdesolve , появилась в MathCAD 11.

Функция numol предназначена для решения тех же уравнений, что и функция pdesolve .

Обращение к этой функции:

возвращает матрицу решения дифференциального уравнения в частных производных в каждой точке по пространственной (по строкам) и временной (по столбцам) координате. Если решается не одно уравнение, а система уравнений, то результатом решения является составная матрица, образованная путем слияния (слева направо) со значениями каждой искомой сеточной функции. Здесь x range – вектор значений аргумента х для граничных условий. Он должен состоять из двух чисел, представляющих две границы расчетного интервала; t range – вектор значений аргумента t для граничных условий, состоящих из двух чисел, педставляющих две границы расчетного интервала; x pts – количество пространственных точек дискретизации (может не указываться); t pts – количество временных слоев (может не указываться); N pde – количество дифференциальных уравнений в частных производных в системе; N ae – количество дополнительных алгебраических уравнений, входящих в систему; rhs – вектор правых частей уравнений; init – векторная функция, определяющая начальные условия для каждой неизвестной функции; bc – функциональная матрица граничных условий.

Вектор граничных условий может иметь значения трех типов:

– rhs содержит вторые пространственные производные: граничные условия (или Дирихле « D », или Неймана « N ») требуются по одному с каждой стороны интервала интегрирования;

– rhs содржит первые пространственные производные: граничные условия Дирихле на левой или правой границе интервала, на другой стороне NA ;

– нет пространственных производных – граничные условия не требуются.

Функциональная матрица bc содержит три столбца, имеющих ледующий вид:

– ( init _ left ( t ) init _ right ( t ) » D «) – для граничных условий Дирихле;

– ( init _ left ( t ) init _ right ( t ) » N «) – для граничных условий Неймана.

Пользоваться функцией numol намного сложнее, чем функцией pdesolve .

Граничное условие называется условием Дирихле, если задано значение функции, или Неймана, если задана первая производная функции.

Метод характеристик при решение задачи коши для уравнений гиперболического типа

Стерлитамакский филиал Башкирский государственный университет

NovaInfo58, с. 11-15
Опубликовано 25 января 2017
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 78
CC BY-NC

Аннотация

В статье рассматривается решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа. Продемонстрировано решение данного уравнения методом характеристик.

Ключевые слова

Текст научной работы

Многие задачи физики, в частности механики, приводят к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн: звуковых, электромагнитных и других колебательных явлений приходят к волновому уравнению

где u=u(x,y,z,t), a — скорость распространения волны в данной среде. В одномерном случае это уравнение примет вид

которое является уравнением вынужденных колебаний однородной струны [1, 12].

В одномерном случае рассмотрим уравнение струны [2, 26]:

Задача Коши: Найти решение u(x,y) данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

Задача Коши для уравнения струны является математической моделью физической задачи о колебаниях настолько большой струны, что влияние ее концов уже не сказывается на колебаниях других точек струны. По этой причине в этой задаче отсутствуют граничные условия.

Приведем уравнение (1) к каноническому виду. Для этого составим уравнение характеристик

где A=0, 2B=e y , C=-1. Вычислим D=B^2-AC=\frac><4>>0

. Следовательно, уравнение (1) является уравнением гиперболического типа.

Подставляя в уравнение характеристик наши значения, получим:

К представлению решения уравнений гиперболического типа Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Улуханян Армине Рафаеловна

С использованием метода И.Н. Векуа представления общего решения эллиптических уравнений 2n-го порядка с помощью n аналитических функций получены общие решения гиперболических уравнений четвертого и шестого порядка в предположении, что правые части этих уравнений разлагаются в ряд по синусам относительно времени. К упомянутым уравнениям и уравнениям гиперболического типа более высокого порядка приводятся системы уравнений различных приближений для призматического тонкого тела в моментах относительно системы ортогональных полиномов Лежандра.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Улуханян Армине Рафаеловна

Текст научной работы на тему «К представлению решения уравнений гиперболического типа»

Метод М-К М.б.Л Метод М-К М.б.Л Метод М-К М.б.Л

-0,9 0,426639 0,422179 1,425079 1,424926 3,496039 3,496021

-0,8 0,392350 0,389509 1,181165 1,181065 2,731319 2,731314

-0,7 0,408928 0,406846 1,123205 1,123132 2,460905 2,460905

-0,6 0,445916 0,444325 1,127275 1,127221 2,349919 2,349920

-0,5 0,497121 0,495905 1,164105 1,164066 2,316786 2,316787

-0,4 0,561395 0,560493 1,223651 1,223625 2,331585 2,331586

-0,3 0,639475 0,638856 1,302268 1,302254 2,381350 2,381353

-0,2 0,733224 0,732868 1,399219 1,399216 2,460418 2,460423

-0,1 0,845501 0,845400 1,515544 1,515553 2,567056 2,567063

0 0,980324 0,980472 1,653763 1,653782 2,702234 2,702241

0,1 1,143257 1,143656 1,818018 1,818049 2,869355 2,869363

0,2 1,342134 1,342786 2,014612 2,014654 3,074658 3,074666

0,3 1,588334 1,589249 2,253118 2,253171 3,328374 3,328383

0,4 1,899185 1,900375 2,548552 2,548614 3,647182 3,647194

0,5 2,302826 2,304312 2,925869 2,925942 4,059438 4,059453

0,6 2,849270 2,851091 3,430336 3,430417 4,617313 4,617330

0,7 3,640059 3,642292 4,155542 4,155633 5,429823 5,429838

0,8 4,930910 4,933749 5,341247 5,341351 6,778649 6,778651

0,9 7,710229 7,714336 7,929352 7,929480 9,779005 9,778982

-1 0,142915 0,140684 0,539230 0,539155 1,412622 1,412617

1 3,811071 3,812948 3,723182 3,723219 4,463972 4,463967

1. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967.

2. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1962.

3. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физматлит, 1993.

4. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986.

5. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986.

Поступила в редакцию 16.06.2008

К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

С использованием метода И.Н. Векуа представления общего решения эллиптических уравнений 2п-го порядка с помощью n аналитических функций получены общие решения гиперболических уравнений четвертого и шестого порядка в предположении, что правые части этих уравнений разлагаются в ряд по синусам относительно времени. К упомянутым уравнениям и уравнениям гиперболического типа более высокого порядка приводятся си-

1 Улуханян Армине Рафаеловна — ассист. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: armine_msu@mail.ru.

стемы уравнений различных приближений для призматического тонкого тела в моментах относительно системы ортогональных полиномов Лежандра.

Ключевые слова: тонкое тело, моменты функций относительно системы полиномов Лежандра, общее решение, уравнения гиперболического типа, уравнения эллиптического типа, аналитические функции, ортогональные полиномы.

The general solutions to hyperbolic equations of the fourth and sixth orders are obtained using Vekua’s method for the representation of the general solutions to elliptic equations of order 2n with the aid of n analytic functions. It is assumed that the right-hand sides of the hyperbolic equations can be expanded in time series of sines. The systems of equations of various approximations for a prismatic thin body in terms of moments with respect to a system of Legendre polynomials can be reduced to these equations and to the hyperbolic-type equations of higher order.

Key words: thin body, moments of functions with respect to a system of Legendre polynomials, general solution, hyperbolic-type equations, elliptic-type equations, analytic functions, orthogonal polynomials.

1. Представление решения гиперболического уравнения четвертого порядка. Исходя из уравнений первого и второго приближения [1, 2] для тонкого трансверсально-изотропного однородного призматического тела постоянной толщины в [3] получены гиперболические уравнения четвертого и

шестого порядка для моментов u 3, в = д\ u 1 + u 2, k = 0,1, 2, относительно системы полиномов Лежандра. Уравнения, выводимые из системы уравнений первого приближения, представляются в виде

А A(k) д2А© д4© Лк) д2© № , ,

■ (х) — функция Бесселя первого рода.

Ро(X) = 2кЬ1 (кХ) — к2ХЬ2(кХ), Р1(Х) = 2кЬ2(кХ) — к2ХЬ3(кХ). Таким образом, решение исходного уравнения (1) имеет вид

(x’,t) = V^ \Wn(x’) +Wn(x’)] sin —t.

Уравнение (2) решается аналогично.

2. Представление решения уравнения шестого порядка. Введем обозначение v(x’, t) = v (x’, t). Как и в предыдущей задаче, решение задачи (3) будем искать в виде разложения (5), полагая

rn(x’) sin — t, r(x’,t)= r(x’,t). (8)

После подстановки (5) и (8) в (3) получим уравнение

AAAvn + a\AAvn + a2Avn + a3vn = rn,

где введены обозначения

rri4, a2 = m2\ — -ms — + m7, \ To J \ To J V To /

m3l — I -те у— 1 +т8

Общее решение однородного уравнения имеет вид [4] 2 1

= Re jpon(z) — r2 j Pou(zt)P0 [r2(1 — r)] dr + r2 ^^i„(z) -o

fc — fci)2 ^3 — fci

d3 + fcjd — 2fcid2 А30 = (fcs-fc!)2 •

Здесь введены обозначения di = 2fci + fc3, d2 = 2fc2 + fc + fc3)2, d3 = (2fci + fc3)(2fc2 + fc2) + 4fc2fc3. Наконец, если fci = fc2 = fc3 = fc, то

P (X) = Aio Lo(fcX) + AiiXLi(fcX) + Ai2 X2 L2(fcX),

Po(X) = A10 Ьг(кХ) + An XL2 (kX) + A12X 2L3(kX), I10J

Pi(X) = A10 L2(kX) + All XL3 (kX) + A12X 2LA(kX),

P2 (X) = 2AW L3(kX)+2AnXL4(kX)+2Al2 X 2L5(kX),

где A10 = 3k, A11 = -6k2,Ai2 = -(5/4)k3.

Таким образом, общее решение уравнения (3) представляется в виде ряда

Аналогично находится общее представление решения уравнения (4). Более подробно эти вопросы рассмотрены в работе [3].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-01-00353-а).

1. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982.

2. Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Математическое моделирование упругих тонких тел с одним малым размером с помощью систем ортогональных полиномов. Деп. в ВИНИТИ РАН 21.08.2008. № 723-В2008. М., 2008.

3. Улуханян А.Р. Динамические уравнения теории тонких призматических тел с применением разложения по системе полиномов Лежандра и представление их решения. Деп. в ВИНИТИ РАН 15.05. 2009. № 316-В2009. М., 2009.

4. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.: ОГИЗ, 1948.

Поступила в редакцию 09.04.09

ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ОПТИМАЛЬНО СТАБИЛИЗИРУЕМОЙ СИСТЕМЫ

В. В. Александров1, О. В. Александрова2, Л. Фрагела Куеста3

В статье улучшается алгоритм, являющийся композицией двух алгоритмов — алгоритма линейного минимаксного синтеза и алгоритма билинейного анализа. В качестве примера применения этого алгоритма рассматривается динамика платформы Стюарта.

Ключевые слова: устойчивость, стабилизируемая платформа Стюарта, стабилизация.

An algorithm involving the linear minimax synthesis and bilinear analysis is improved. The Stewart platform dynamics is considered as an example of using this algorithm.

Key words: stability, stabilizable Stewart platform, stabilization.

1. В статьях [1, 2] рассмотрена возможность решения задачи синтеза управления и постоянно действующего возмущения на динамическую систему. Для динамической системы с одной степенью свободы получено полное решение задачи синтеза. В случае систем с n степенями свободы (n ^ 2) в отсутствие ограничений на ресурсы управления можно предложить алгоритм, являющийся суперпозицией двух алгоритмов (A), (B), полученных в [3].