Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Первая часть.
Что означает фраза «ранг матрицы равен $r$»? Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют.
Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.
Во всех изложенных ниже примерах матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde$.
Решить СЛАУ $ \left \ < \begin
Итак, мы имеем СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:
$$ \left( \begin
Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.
И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $\rang A=\rang\widetilde = 2$.
Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на «ступеньках». Что это за «ступеньки» показано на рисунке:
На «ступеньках» стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.
В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.
Почему можно принять переменные $x_1$ и $x_3$ в качестве базисных? Для ответа на этот вопрос давайте вспомним, что ранг матрицы системы равен числу $r=2$. Это говорит о том, что все миноры данной матрицы, порядок которых выше 2, либо равны нулю, либо не существуют. Ненулевые миноры есть только среди миноров второго порядка. Выберем какой-либо ненулевой минор второго порядка. Мы можем выбирать его как в исходной матрице системы $A$, т.е. в матрице $\left( \begin
Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:
$$ M_<2>^<(1)>=\left| \begin
Вывод: выбранный нами минор второго порядка не является базисным, ибо он равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$), то пара переменных $x_1$ и $x_2$ не могут быть базисными переменными.
Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №3 и №4:
$$ M_<2>^<(2)>=\left| \begin
Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$) и столбца №4 (он соответствует переменной $x_4$), то пару переменных $x_3$ и $x_4$ можно принять в качестве базисных.
Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:
Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$), то пару переменных $x_1$ и $x_3$ можно принять в качестве базисных.
Как видите, выбор базисных переменных не является однозначным. На самом деле количество вариантов выбора не превышает количество размещений из $n$ элементов по $r$, т.е. не больше чем $C_
В рассматриваемом примере в качестве баисных были приняты переменные $x_1$ и $x_3$ – сугубо из соображений удобства дальнейшего решения. В чём это удобство состоит, будет видно чуток позже.
Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Остальные $n-r=2$ переменных (т.е. $x_2$ и $x_4$) являются свободными. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.
Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $\left( \begin
$$ \left( \begin
Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:
Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть
Давайте обратимся к расширенной матрице системы, которая после преобразований имеет вид $\left( \begin
Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.
А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:
$$ \left( \begin
Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Если вспомнить, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, то получим:
Нами получено общее решение заданной СЛАУ. Чтобы найти базисное решение, нужно все свободные переменные приравнять к нулю. Т.е. полагая $x_2=0$ и $x_4=0$, будем иметь:
Решение $x_1=9$, $x_2=0$, $x_3=-2$, $x_4=0$ и является базисным решением данной СЛАУ. В принципе, задавая свободным переменным иные значения, можно получить иные частные решения данной системы. Таких частных решений бесконечное количество. Например, принимая $x_2=-4$ и $x_4=1$, получим такое частное решение: $\left\ <\begin
Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=9+2x_2-\frac<1><3>x_4$ и $x_3=-2-\frac<4><3>x_4$ в левую часть первого уравнения, получим:
$$ 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3\cdot \left(9+2x_2-\frac<1><3>x_4\right)-6x_2+9\cdot \left(-2-\frac<4><3>x_4\right)+13x_4=9. $$
Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.
Если система является неопределённой, указать базисное решение.
Похожий пример уже был решен в теме «метод Крамера» (пример №4). Переменные $x_4$ и $x_5$ были перенесены в правые части, а дальше применялись стандартные операции метода Крамера. Однако такой метод решения не гарантирует достижения результата. Например, мы переносим некие переменные в правую часть, а оставшийся определитель оказывается равным нулю, – что тогда? Решать перебором? 🙂 Поэтому гораздо удобнее применять преобразования метода Гаусса, как и в предыдущем примере.
$$ \left( \begin
Матрица системы и расширенная матрица системы приведены к трапециевидной форме. Ранги этих матриц равны между собой и равны числу 3, т.е. $\rang A=\rang\widetilde = 3$. Так как ранги равны между собой и меньше, чем количество переменных, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система имеет бесконечное количество решений.
Количество неизвестных $n=5$, ранги обеих матриц $r=3$, поэтому нужно выбрать три базисных переменных и $n-r=2$ свободных переменных. Применяя тот же метод «ступенек», что и в предыдущем примере, выберем в качестве базисных переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$, а в качестве свободных переменных – $x_4$ и $x_5$.
Столбцы №4 и №5, которые соответствуют свободным переменным, перенесём за черту. После этого разделим третью строку на 8 и продолжим решение методом Гаусса:
$$ \left( \begin
Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё два примера с нахождением общего решения.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами
Содержание:
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Крамера
Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение 
Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы 
Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на 
для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную: 
Второй столбец умножим на 
третий столбец — на 
-ый столбец — на 
и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение 
не изменится:
Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е. 
Определение: Определитель 
называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.
Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ: 
31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.
Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины 
Проанализируем полученные формулы:
- если главный определитель системы отличен от нуля (
), то система имеет единственное решение; - если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( или , или, . или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
- если все определители системы равны нулю (), то система имеет бесчисленное множество решений.
), то система имеет единственное решение;
), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( 
или 
, или, . или 
), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
), то система имеет бесчисленное множество решений.Пример:
Решить СЛАУ методом Крамера 
Решение:
Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом
Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке) 
Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя 
Воспользуемся формулами Крамера
Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.
Выполним проверку 
Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.
Матричный способ решения СЛАУ
Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных 
матpицы-столбцы неизвестных 
и свободных коэффициентов 
Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде 
Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу 
к матрице А, получим 
в силу того, что произведение 
найдем 
Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу 
после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.
Пример:
Решить СЛАУ матричным способом 
Решение:
Введем в рассмотрение следующие матрицы 
Найдем матрицу 
(см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.
Пример:
Решение:
Найдем алгебраические дополнения всех элементов 
Запишем обратную матрицу 
(в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:
Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.
Метод Гаусса
Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид: 
Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.
Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим 
Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки 
Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу 
Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки 
Разделим все элементы третьей строки на (-3), получим 
Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):
Из первого уравнения находим, что х = 1.
Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от
способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.
Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.
Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
Определение: Рангом матрицы 
называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.
Если 
то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.
При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.
Пример:
Найти ранг матрицы 
Решение:
Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, 
среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, 
Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство 
для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.
Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.
Следствия из теоремы Кронекера — Капелли
Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).
Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).
В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Скалярное произведение и его свойства
- Векторное и смешанное произведения векторов
- Преобразования декартовой системы координат
- Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- Критерий совместности Кронекера-Капелли
- Формулы Крамера
- Матричный метод
- Экстремум функции
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Системы линейных уравнений в математике с примерами решения и образцами выполнения
Уравнения первой степени с двумя и тремя неизвестными изучают в восьмилетней школе. Как показано в курсе геометрии, уравнение первой степени с двумя переменными Ах + Ву = С задает прямую линию. Поэтому принято называть уравнение первой степени линейным. Например, линейное уравнение относительно неизвестных х, у, z, . . . , и может быть сведено к виду
Числа А, В, С . . . , D называют коэффициентами при неизвестных, а Е — свободным членом уравнения.
Мы рассмотрим системы линейных уравнений со многими неизвестными. Для таких систем становится неудобным обозначать неизвестные через х, у, z, . . . , u. Значительно удобнее перенумеровать неизвестные и обозначить их 
Коэффициенты при неизвестных тоже неудобно обозначить различными буквами А, В, С, . . . , D. Обычно их обозначают одной буквой с двумя номерами (индексами). Первый номер обозначает номер уравнения, а второй — номер неизвестного. Например, 
— это коэффициент при 
в третьем уравнении. Вообще 
— коэффициент при 
в i -м уравнении. Свободные члены мы будем обозначать через 
В восьмилетней школе мы рассматривали лишь системы уравнений, для которых число уравнений равнялось числу неизвестных. Сейчас мы будем изучать системы, состоящие из m линейных уравнений с n неизвестными. Такие системы записываются следующим образом:
Например, для системы
имеем 
Нашей задачей является найти все решения системы линейных уравнений (2) или показать, что эта система не имеет решений, что она несовместна. Мы покажем ниже, что возможны три случая: а) система (2) несовместна, б) система (2) имеет единственное решение, в) система (2) имеет бесконечное множество решений.
Теоремы о равносильности систем линейных уравнений
Пусть дана система линейных уравнений:
Умножим i-е уравнение этой системы на любое число 
и прибавим к j-му уравнению той же системы. Мы получим новое линейное уравнение:
Из следствия к теореме 4 п. 7 вытекает, что если заменить j-е уравнение системы (1) уравнением (2), то получится система уравнений, равносильная данной.
Повторно применяя это утверждение, приходим к следующей теореме.
Теорема:
Если к любому уравнению системы (1) прибавить сумму остальных уравнений, взятых с любыми коэффициентами, то получится система линейных уравнений, равносильная исходной.
Отметим еще следующие простые теоремы.
Теорема:
Если среди уравнений системы есть уравнение вида
то после отбрасывания этого уравнения получается система, равносильная исходной.
Эта теорема вытекает из того, что любой набор чисел 
удовлетворяет уравнению (3).
Теорема:
Если среди уравнений системы есть уравнение вида
где 
то система несовместна.
Эта теорема вытекает из того, что ни один набор чисел 
не удовлетворяет уравнению (4).
Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса
В восьмилетней школе системы линейных уравнений (с двумя или тремя неизвестными) решаются или методом подстановки, или методом алгебраического сложения. Сейчас мы изложим метод Гаусса, очень близкий к методу алгебраического сложения, но отличающийся от него большей систематичностью. Покажем сначала этот метод на следующем примере.
Пусть надо решить систему уравнений:
Умножим первое уравнение системы на —2 и прибавим его ко второму, потом умножим первое уравнение на —5 и прибавим к третьему, наконец, умножим первое уравнение на —1 и прибавим к четвертому. Система уравнений примет вид:
Мы видим, что в результате преобразований неизвестное 
осталось лишь в первом уравнении.
Теперь преобразуем тем же путем три последних уравнения. Умножим второе уравнение на —2 и прибавим к третьему, а по том умножим второе уравнение на —1 и прибавим к четвертому.
Наконец, умножим третье уравнение на — 1 и прибавим к четвертому. В результате получаем систему:
Системы такого вида называют треугольными.
Из теоремы 5 вытекает, что треугольная система (4) равносильна. исходной системе (1). Треугольную систему уравнений легко решить. Из последнего уравнения находим, что 
Подставляя это значение в третье уравнение, получаем 
откуда 
Далее, подставим 
во второе уравнение. Мы найдем, что 
Наконец, из первого уравнения вытекает, что 
Итак, заданная система имеет единственное решение
Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду).
Рассмотрим теперь решение методом Гаусса систем линейных уравнений общего вида. Пусть задана система уравнений:
Если 
то умножим первое уравнение на — 
и прибавим ко второму, потом умножим его на — 
и прибавим к третьему, . . . умножим на — 
и прибавим к m- му. Получится система вида:
Здесь для краткости введены следующие обозначения:
Таким образом, если 
то удается исключить 
из всех уравнений системы, начиная со второго. Если же 
то возможны различные случаи, в зависимости от того, какой вид имеет первое уравнение системы. Эти случаи таковы:
а) Все коэффициенты и свободный член первого уравнения равны нулю: 
В этом случае первое уравнение системы имеет вид:
В силу теоремы 6, п. 2, мы можем его отбросить, не меняя множества решений системы (1).
б) Все коэффициенты 
равны нулю, а 
отлично от нуля: 
Тогда первое уравнение нашей системы имеет вид:
и по теореме 7, п. 2, система несовместна.
в) 
но среди коэффициентов 
есть отличные от нуля, скажем 
Тогда надо поменять номера у неизвестных 
то есть ввести новые неизвестные 
такие, что 
Разумеется, при этом мы уже получим систему, неравносильную заданной (например, системы
неравносильны). Но переход от одной системы уравнений к другой сводится к перестановке неизвестных. После изменения номеров у неизвестных место коэффициента 
займет коэффициент 
отличный от нуля, и мы сможем исключить из всех уравнений, начиная со второго, неизвестное 
(то есть 
). Таким образом, если 
то либо система несовместна, либо первое уравнение можно отбросить, либо, наконец, можно переставить неизвестные и исключить вместо 
другое неизвестное .
Вернемся теперь к системе уравнений (2). Если 
то мы можем повторить описанный процесс и исключить 
из третьего, четвертого, . . . , m-го уравнений. Потом мы исключим неизвестное 
из четвертого и дальнейших уравнений и т. д. На каждом шагу мы будем получать системы уравнений, равносильные заданной. При этом возможны следующие случаи:
а) В ходе решения мы получаем уравнение вида
где 
Тогда система не имеет решений, она несовместна.
б) При решении системы уравнений вида (3) не получается. Тогда через конечное число шагов (не более чем через т — 1 шаг) мы получим систему вида:
где диагональные коэффициенты 
, отличны от нуля (напомним, что мы отбрасывали уравнения вида 
и в случае необходимости меняли номера неизвестных).
Систему уравнений (4) мы будем называть обобщенно-треугольной системой уравнений. Таким образом, метод Гаусса позволяет либо установить, что данная система линейных уравнений несовместна, либо заменить ее равносильной обобщенно-треугольной системой.
Назовем число r уравнений в системе (4) рангом заданной системы уравнений. На первый взгляд может показаться, что ранг заданной системы зависит не только от этой системы, но и от того, каким путем ее приводили к обобщенно-треугольной форме (в каком порядке записывали уравнения, как нумеровали неизвестные и т. д.). Оказывается, это не так: при любом способе приведения за данной системы линейных уравнений к равносильной ей обобщенно-треугольной системе уравнений получается система, состоящая из одного и того же числа уравнений. Доказательство этого утверждения довольно сложно, и мы его опускаем. Отметим, что ранг r системы не больше числа m уравнений этой системы.
Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений
Покажем теперь, что любая обобщенно-треугольная система уравнений совместна, и выясним, когда она имеет единственное решение. Сначала разберем случай, когда ранг системы r равен числу неизвестных n, r =n. Тогда система (4), п. 4, имеет вид:
то есть является треугольной. При этом 
Треугольная система уравнений решается очень просто. Из последнего уравнения системы находим, что 
. Подставим это значение в предпоследнее уравнение. Мы получим, что
После этого последовательно определяем 
и т.д. вплоть до 
которое находим из первого уравнения. Мы видим, что треугольная система имеет единственное решение. Следовательно, при r = n заданная система уравнений имеет единственное решение. Пусть теперь r 
Перенесем слагаемые, содержащие неизвестные 
в правую часть уравнений. Система примет вид:
Эта система имеет бесконечное множество решений. В самом деле, дадим неизвестным 
любые значения 
Тогда мы получим для отыскания остальных неизвестных 
треугольную систему уравнений:
Решая ее, получим искомые значения для 
Так как значения неизвестных 
произвольны, то число решений бесконечно.
Например, решим систему уравнений:
Она приводится к обобщенно-треугольной системе:
Значит, ее ранг равен двум. Перенося слагаемые, содержащие 
в первую часть, получаем треугольную систему относительно 
Из этой системы находим:
Любое решение уравнения (5) получится, если придать некоторые значения неизвестным 
и вычислить 
по формулам (6).
Подведем итоги исследования:
Всякая система линейных уравнений либо не имеет решений (несовместна), либо имеет единственное решение, либо бесконечное множество решений.
Первый случай будет, если при решении системы методом Гаусса мы придем к уравнению вида
где 
. Второй случай имеет место, если она совместна и ранг системы (число уравнений в обобщенно-треугольной форме) равен числу неизвестных. Третий случай имеет место, если система совместна и ее ранг меньше числа неизвестных.
6. Системы однородных линейных уравнений. Линейное уравнение, свободный член которого равен нулю, называется однородным. Оно имеет вид
Мы рассмотрим сейчас систему таких уравнений:
Система однородных линейных уравнений заведомо разрешима, поскольку ей удовлетворяет решение 
Это решение мы будем называть нулевым. Однако чаще всего нас интересуют именно ненулевые решения системы однородных линейных уравнений.
Если ранг системы однородных линейных уравнений равен числу неизвестных, r = n, то, как мы знаем, система имеет единственное решение. Так как одно решение, а именно нулевое, мы уже знаем, то ненулевых решений система не имеет. Если же ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Поэтому у нее, кроме нулевого будут и ненулевые решения. Мы доказали, таким образом, следующую теорему.
Теорема:
Для того чтобы система однородных линейных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг r этой системы был меньше числа неизвестных n.
Так как ранг системы заведомо меньше числа уравнений исходной системы, то отсюда получаем
Следствие:
Для того чтобы система m однородных линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, достаточно, чтобы число уравнений было меньше числа неизвестных, m 
Применяя метод Гаусса, приходим к системе уравнений:
Ее можно записать так:
Отсюда находим, что 
При любом значении 
получаем решение системы (*). Отметим, что полученное решение можно представить в следующем виде:
Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений
Симметрические многочлены от двух переменных: При решении многих задач геометрии весьма полезным оказывается использование симметрии и ее свойств. В алгебре также существенную помощь в решении задач оказывает учет симметричности тех или иных алгебраических выражений. Разумеется, понятия симметрии в геометрии и в алгебре имеют различный смысл. В алгебре оно означает, что данное выражение не меняется при перестановке входящих в него букв. Например, выражение 
симметрично относительно x и у, но не симметрично относительно x и z. Если переставить х и у то получится выражение, отличающееся от заданного лишь порядком сомножителей, а если переставить х и г, получаем совсем иное выражение 
Мы изучим сейчас симметрические многочлены от двух переменных, то есть такие многочлены f(х, у), что f(х, у) = f(у, x).
Например, многочлен 
симметричен. Многочлен же 
не является симметрическим. Если заменить в нем х на у, а у на х, то получится многочлен 
который не совпадает с первоначальным.
Простейшими симметрическими многочленами от двух переменных х и у являются сумма и произведение этих переменных, то есть х+у и ху. Введем для этих многочленов специальные обо значения:
Симметрическими являются многочлены вида 
Их называют степенными суммами. Принято обозначать многочлен 
через 
Таким образом, 
Выражение степенных сумм через 
Рассмотрим первые три степенные суммы 
Легко видеть, что их можно выразить через многочлены 
Докажем, что это утверждение верно для любых степенных сумм.
Теорема:
Любая степенная сумма 
может быть представлена в виде многочлена от переменных 
Иными словами, для любого n существует такой многочлен 
чтo после подстановки, в него 
и упрощения он превращается в 
Доказательство:
Применим для доказательства метод математической индукции. При n = 1 наше утверждение справедливо, поскольку 
Таким образом, 
Предположим теперь, что утверждение доказано для степенных сумм 
Пусть для любой такой суммы найден многочлен 
обладающий тем свойством, что 
Заметим теперь, что
Это равенство можно записать так:
то получаем, что
Мы предположили, что 
— многочлены от 
Подставим выражения этих многочленов в полученное равенство, раскроем скобки, приведем подобные члены и сгруппируем их в порядке убывания степеней 
В результате мы получим выражение для 
в виде многочлена от 
Итак, доказываемое утверждение верно при n = 1 и из его справедливости при 
следует справедливость для n. Значит, оно верно для всех n.
Примеры:
1) Выразим через 
степенные суммы 
По формуле (1) имеем
Точно так же находим:
Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных
Теорема 1, п. 7, является частным случаем следующего общего утверждения.
Теорема:
Для любого симметрического многочлена F(х, у) существует такой (вообще говоря, несимметрический) многочлен 
что F (х, у) =f(х +у, ху).
Доказательство. Пусть F(х, у) — симметрический многочлен. Возьмем какой-нибудь из его членов 
Если k =l, то этот член имеет вид 
и может быть записан так:
Если же 
скажем k > l, то наряду со слагаемым 
в F(х, у) входит и симметрическое с ним слагаемое 
Но сумму 
можно записать так:
Мы уже умеем выражать 
через 
Следовательно, и сумма 
выражается через 
Так как это рассуждение применимо к любому слагаемому 
то и весь многочлен F (х, у) можно выразить через и ст2.
Пример:
Выразить через 
симметрический многочлен
Применяя формулу для 
получаем, что
Системы симметрических алгебраических уравнений
Мы уже говорили, что иногда удается упростить решение системы алгебраических уравнений, удачно введя новые неизвестные. Этот путь решения приводит к успеху, если заданная система уравнений симметрична, то есть имеет вид:
где Р(х, у) и Q (х, у) — симметрические многочлены от х и у.
Простейшей системой такого вида является:
Будем рассматривать числа х и у как корни некоторого квадратного уравнения. Тогда по теореме Виета коэффициент при первой степени неизвестного в этом уравнении равен —а, а свободный член равен b. Иными словами, квадратное уравнение с корнями х и у имеет вид:
Пусть корни этого уравнения 
Тогда либо 
либо 
Рассмотрим теперь более сложную систему:
Так как левые части обоих уравнений симметрично зависят от х и у, то введем вместо х и у новые неизвестные 
Выразим через эти неизвестные левые части уравнений (3). Мы получим:
Таким образом, заданная система свелась к следующей:
Сложив эти уравнения, получим квадратное уравнение относительно 
Из него следует, что 
Так как 
то 
Поскольку 
то наша система свелась к совокупности двух систем
Решая первую систему, находим два решения:
Вторая система действительных решений не имеет. Точно так же решается система уравнений:
то данную систему можно записать в виде:
Подставляя во второе уравнение значение о 4 = 5, получаем квадратное уравнение:
Из него находим, что 
Тем самым заданная система свелась к системам:
Решая первую систему, получаем:
Вторая же система не имеет действительных решений.
Выгода введения неизвестных 
состоит в том, что при такой замене понижается степень уравнения, поскольку 
имеет вторую степень относительно х и у. Например, во втором разобранном примере система пятой степени свелась к квадратному уравнению.
Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений
Решение некоторых иррациональных уравнений можно свести к решению систем симметрических алгебраических уравнений. Рассмотрим иррациональное уравнение
Здесь выгодно ввести два вспомогательных неизвестных, положив
Тогда заданное уравнение примет вид: u + v = 5. Кроме того, имеем: 
Таким образом, мы получили следующую систему уравнений относительно u и v:
Введем новые неизвестные: 
Так как 
, то мы получим новую систему уравнений:
Подставим во второе уравнение значение 
Получим квадратное уравнение относительно 
Решая его, находим 
Таким образом, задача свелась к решению двух систем уравнений:
Первая из этих систем имеет два решения: 
Так как 
то для первоначального уравнения находим два значения корней:
Вторая система не имеет действительных корней.
Итак, заданное уравнение имеет лишь два корня: 
и 
Дополнение к решению систем линейных уравнений
Системы линейных уравнений — решение заданий и задач по всем темам с вычислением
Метод Жордана-Гаусса
1°. Система из то линейных уравнений с п неизвестными в общем случае записывается так:
Коэффициенты 
, и свободные члены 
, — заданные действительные числа. Первый индекс i в записи 
обозначает номер уравнения, второй — j — номер неизвестной.
Решить систему (1) — значит найти все ее решения, т.е. все такие наборы чисел 
, которые при подстановке во все уравнения системы превращают их в верные равенства, или доказать, что решений нет.
Система (1) называется:
— совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
— определенно совместной, если она имеет только одно решение;
— неопределенно совместной, если она имеет более одного решения;
— несовместной, если она не имеет ни одного решения.
2°. Две системы называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или обе несовместны.
Переход от одной системы к равносильной осуществляется при помощи множества элементарных преобразований:
— умножение обеих частей любого уравнения на отличное от нуля число;
— прибавление к одному из уравнений произвольного другого, умноженного на любое число;
— удаление (вычеркивание) из системы тривиального уравнения 
— если в системе имеются два или более уравнений с пропорциональными коэффициентами, то сохранить нужно только одно из них.
Уравнение 
не имеет решений. Оно называется противоречивым. Система, содержащая такое уравнение, сама противоречива, т.е. несовместна.
3°. Один шаг метода Жордана-Гаусса состоит в приведении системы (1) к виду
в котором одна неизвестная 
сохранена с коэффициентом 1 только в p-м уравнении, а из остальных исключена. Систему (2) назовем разрешенной относительно неизвестной , поскольку ее легко выразить через остальные неизвестные данной системы.
Для того, чтобы получить систему (2), требуется следующее:
1) коэффициент 
при в уравнении с номером р должен быть отличен от нуля; в дальнейшем назовем ведущим, или разрешающим коэффициентом, а р-е уравнение — ведущим уравнением;
2) р-е уравнение надо разделить на ;
3) для получения нулевых коэффициентов при в остальных уравнениях следует из i-го уравнения вычесть ведущее уравнение, сначала разделенное на , а затем домноженное на 
.
Тогда все остальные коэффициенты 
и 
преобразуются по формулам
Эти формулы будем называть формулами Жордана-Гаусса. Расчет по ним удобно выполнять, пользуясь мнемоническим правилом прямоугольника, наглядно показанным на следующих диаграммах:
Смысл диаграмм следующий: новый коэффициент 
(или 
) получается из старого вычитанием из него произведения соседних (по прямоугольнику) коэффициентов, деленного на противолежащий (разрешающий) коэффициент .
4°. На втором шаге сохраним с коэффициентом 1 другую неизвестную в другом уравнении, исключая из остальных.
Через 
шагов систему (1) можно привести к системе, состоящей из 
уравнений (остальные 
тривиальных уравнений, если такие были, отброшены) и содержащей разрешенных неизвестных. Эти неизвестных назовем базисными (используя векторную терминологию, которая появится позже), остальные — свободными, или независимыми. Основная часть метода Жордана-Гаусса завершена.
Если 
, то система разрешена относительно всех неизвестных, т. е. однозначно совместна.
Если 
, то, выражая базисные (зависимые) неизвестные через свободные (независимые), получаем «общее» решение системы в соответствующем базисе, которое впоследствии следует параметризовать и из которого можно получать различные частные решения, в том числе базисное (так называется решение, соответствующее нулевому набору свободных неизвестных).
Заметим, что «общее» решение определяется неоднозначно, оно зависит от того, какие неизвестные являются свободными (независимыми, произвольными), а какие — зависимыми (базисными).
5°. Метод Жордана-Гаусса удобно реализовать в виде таблицы, которую назовем таблицей Гаусса. Каждый ее блок содержит результат одного преобразования или одну итерацию. Столбец блока таблицы, состоящий из нулей и одной единицы, будем называть единичным столбцом. Цель преобразований Жордана-Гаусса — получить единичных столбцов. Неизвестные, соответствующие единичным столбцам, являются базисными, остальные — свободными. Последний блок таблицы изображает систему, разрешенную относительно г базисных неизвестных.
Примеры с решениями
Пример:
Решить линейную систему
1. Выполним первую итерацию, т.е. получим первый единичный столбец, выбирая в качестве ведущего коэффициента 
(в таблице он обведен кружком). Для этого над строками таблицы (над уравнениями системы) выполним следующие действия (они обозначены справа от таблицы):
Решение:
Первый блок таблицы Гаусса данной системы имеет вид («св. ч.» означает «свободные члены» уравнений системы, вертикальная черта соответствует знакам равенства):
1) первую строку сохраняем (переписываем);
2) первую строку, умноженную на 2, прибавим 0 ко второй;
3) первую строку, умноженную на -2, прибавим к третьей;
4) первую строку прибавим к четвертой.
Получаем второй блок таблицы:
2. Приведем к единичному третий столбец, в нем уже имеется один нуль. Ведущий коэффициент 
обведен кружком. Далее:
1) вторую строку, умноженную на 3, прибавим к первой и запишем вместо первой строки;
2) перепишем вторую строку без изменения;
3) вторую строку, умноженную на —1, прибавим к третьей;
4) четвертую строку перепишем без изменения.
Эти действия выражаются числами и стрелками, показанными справа от второго блока таблицы. Третий блок таблицы имеет вид:
3. Следующая итерация заключается в получении третьего единичного столбца. Для этого примем в качестве ведущего коэффициента 
и выполним следующие действия: третью строку, умноженную на -5, —1, -2, прибавим к первой, второй и четвертой строкам соответственно. Третью строку переписываем без изменений. Получаем четвертый блок:
4. Наконец, последнюю итерацию выполним, выбирая в качестве ведущего коэффициента 
. Четвертую строку разделим на -3. Остальные действия очевидны. Получаем:
5. После четырех итераций получили таблицу, соответствующую системе, разрешенной относительно всех неизвестных 
:
Запишем это также в виде: X = (-2,2,-3,1). Система определенно совместна.
Примечание:
Подставьте эти значения неизвестных в данную систему и убедитесь, что получаются верные числовые равенства.
Пример:
Решить линейную систему
Решение:
Каждый раз в качестве ведущего будем принимать простейший коэффициент, т.е. либо 1, либо — 1. Подчеркнем, что цель преобразований заключается в получении нулей в ведущем столбце. Как получить нулевые коэффициенты в единичном столбце, видно из решения примера 1. Для этого ведущую строку надо умножить на надлежащие числа (иногда на 1 или -1) и прибавить к остальным строкам, не содержащим 0 в этом ведущем столбце. Поэтому ограничимся выделением в каждом блоке ведущего коэффициента, не комментируя сами преобразования и не указывая соответствующие числа со стрелками. Результаты вычислений поместим в единую таблицу Гаусса, которая имеет следующий вид:
Последние две строки удалены как нулевые (они соответствуют тривиальным уравнениям).
Из последнего блока таблицы получаем систему
выражающую «почти» общее решение исходной системы. Смысл слова «почти» заключается в неравноправном участии неизвестных.
Положим 
( 
— произвольные постоянные или параметры).
представляет общее решение системы в параметрическом виде. Все неизвестные выражены (равноправно) через два параметра 
Решения, получаемые из общего при фиксированных значениях параметров , называются частными.
Например, при 
получаем:
, 
, 
,
При 
получаем 
. Базисное решение соответствует нулевому набору свободных переменных: если 
то 
Ответ запишем так: 
Пример:
Решить систему уравнений
Решение:
Вместо таблицы Гаусса будем использовать другую, более компактную интерпретацию ее блоков. Вертикальная черта в блоках соответствует знакам равенства в уравнениях системы. Знак
(читается «тильда») между двумя соседними блоками означает, что системы, соответствующие этим блокам, равносильны. Имеем:
единичный столбец второго блока получен в результате умножения первой строки на —3, —3, -1, -4 и последующего прибавления ко второй, третьей, четвертой и пятой строкам соответственно; во втором блоке произвели почленное деление четвертой и пятой строк на 3 и —3, т. е. сокращение уравнений
Вторая и третья строки четвертого блока отброшены как пропорциональные пятой. Заметим, что выделение ведущего (разрешающего) элемента однозначно определяет действия по обнулению элементов ведущего столбца, поэтому мы отказались от применения чисел и стрелок, обозначающих действия над строками блока.
Последний блок изображает систему, состоящую из трех уравнений 
с четырьмя неизвестными 
Соответствующая система приведена к трем базисным неизвестным; разрешая ее относительно этих неизвестных, получаем
Положим 
затем 
. Тогда общее р базисное решения принимают вид соответственно:
Заметим, что переменную 
нельзя получить среди свободных (свободная переменная может принимать любые значения, тогда как 
).
Пример:
Решить систему уравнений
Решение:
В предыдущих примерах преобразования Жордана-Гаусса свелись к действиям над уравнениями системы, или строками таблицы, потому что все ведущие коэффициенты были равны 1. Если же ведущие коэффициенты отличны от 1, то действия над строками могут вызывать затруднения, и в таких случаях следует пользоваться формулами преобразования Жордана-Гаусса, т.е. правилом прямоугольника.
С целью экономии места решение этой системы приведем также в блоковой записи:
(последняя строка пропорциональна первой, поэтому она удалена). Подчеркнем, что цель наших преобразований состоит в получении единичных столбцов.
Приведем примеры применения правила прямоугольника в третьем блоке. При этом одна из вершин каждого прямоугольника должна совпасть с ведущим элементом 
противоположная вершина — с элементом, подлежащим пересчету:
Из последнего блока получаем общее решение системы в базисе 
При 
получаем частное решение 
Базисное решение имеет вид 
Примечание:
Метод Гаусса (усеченный метод Жордана-Гаусса) допускает получение в очередном блоке таблицы Гаусса столбца, отличного от единичного, т.е. неизвестную не обязательно исключать из всех уравнений, кроме одного. В этом случае говорят о приведении системы уравнений к ступенчатому виду. Это важно в смысле экономии времени, когда коэффициенты системы «неудобные», особенно, если система окажется неразрешимой.
Пример:
Решить систему уравнений
Решение:
Нули в столбцах будем получать только под диагональю соответствующей матрицы.
Последняя строка выражает противоречивое уравнение — система несовместна.
Метод Крамера
1°. Если в системе (1) число уравнений равно числу неизвестных
и система имеет единственное решение, то оно может быть найдено при помощи формул Крамера
где 
— основной определитель системы (3), который символически записывается так:
а 
получаются из , если в нем заменить соответственно первый, второй, …, n-й столбец на столбец из свободных членов. называется определителем порядка n: он состоит из п строк и п столбцов.
Сначала рассмотрим определение и вычисление определителей различных порядков n.
2°. Если 
, то состоит из одного элемента (числа) 
(в этом случае вертикальные черточки означают «определитель», а не «модуль»). По определению 
Если 
то 
3°. Для указания способа вычисления определителя третьего и более высоких порядков (см. (5)) введем необходимые понятия минора и алгебраического дополнения.
Минором 
элемента определителя (5) называется определитель порядка (n — 1), получаемый из (5) вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j.
Величина 
и называется алгебраическим дополнением элемента .
Например, для определителя третьего порядка
4°. Способ вычисления определителя порядка п выражается следующей теоремой о разложении определителя по строке или столбцу (под линией понимается строка или столбец).
Теорема:
Определитель порядка 
равен сумме произведений элементов какой-либо линии на их алгебраические дополнения.
Теорема:
Сумма произведений элементов какой-либо линии на алгебраические дополнения другой параллельной линии равна нулю.
Например, для определителя из п. 3° по первой строке. Получаем
воспользуемся разложением
5°. С теоретической точки зрения при вычислении определителя безразлично, какую строку или какой столбец взять для разложения. С практической точки зрения лучше брать ту линию, которая содержит нулевые элементы, и чем их больше, тем лучше.
Например, для вычисления определителя четвертого порядка
лучше брать сначала разложение по третьему столбцу:
Этот определитель третьего порядка разложим по первому столбцу:
6°. При вычислении определителей порядка 
могут оказаться полезными следующие их свойства.
1) При транспонировании (так называется действие замены строк столбцами и столбцов строками с сохранением их порядка) значение определителя не изменяется. Таким образом, строки и столбцы определителя равноправны.
2) Если определитель содержит нулевую линию (т. е. состоящую из одних нулей) или две параллельные пропорциональные линии, то его значение равно 0.
3) При умножении любой линии на произвольное число значение определителя умножается на это число. Иными словами, общий множитель элементов некоторой линии можно вывести за знак определителя.
4) При перестановке двух параллельных линий значение определителя изменяется на противоположное (определитель меняет знак).
5) Значение определителя не изменится, если к элементам произвольной линии прибавить соответственные элементы любой другой параллельной линии, умноженные на одно и то же число.
7°. Теорема 3 (Крамера). 1) Если для квадратной системы (3) 
то она имеет единственное решение, которое определяется по формулам (4).
2) Если 
и хотя бы один из определителей 
то система несовместна.
3) Если 
то система (3) неопределенно совместна.
Примечание. В случае 3) решить систему можно методом Жор-дана-Гаусса. Вместе с тем ее можно решить также методом определителей. Только формулы Крамера применимы не к системе (3), а к модифицированной системе (см. пример 4 ниже).
8°. Определители третьего порядка встречаются чаще. Поэтому для них (и только) покажем два простых правила вычисления.
а) Правило параллельных линий заключается в следующем. К исходному определителю приписываем два первых столбца и составляем две группы произведений, как указано на диаграмме:
б) Правило Саррюса (треугольников) заключается в том, что множители произведений, составляющих суммы А и В, образуют фигуры, показанные на следующей диаграмме:
(показана только фигура А)
Примеры с решениями
Пример:
Решить систему уравнений
Решение:
По формулам Крамера: 
или 
Пример:
Решение:
Следовательно, 
или 
Пример:
Решение:
Вычисление следующих определителей основано на свойствах 2) и 5) из п. 6°. Имеем
Стрелка с числом обозначает умножение соответствующей строки на это число и прибавление результата к указанной стрелкой строке. Далее:
Пример:
Решение:
Имеем (предлагаем самостоятельно убедиться в этом):
Система неопределенно совместна. Покажем, как обойтись формулами Крамера в этом случае.
Если первое уравнение прибавим ко второму, то получаем систему
Не прибегая к методу Жордана-Гаусса, перепишем систему так (это будет модифицированная система):
Следовательно, 
Система имеет беско нечное множество решений.
Общее решение имеет вид 
или
Пример:
Решение:
Теорема Крамера непосредственно к этой системе не применима, так как система не квадратная. Тем не менее систему можно решить относительно трех каких-либо неизвестных, если соответствующий определитель отличен от нуля. Перепишем систему в виде
Основной определитель 
Вторая (модифицированная) система может быть решена по формулам Крамера, если принять в качестве свободных членов выражения, стоящие в правых частях уравнений (они содержат свободные неизвестные, что и оправдывает их название). Рекомендуем проверить равенства:
(перепишите общее решение в параметрической форме);
Метод обратной матрицы
1°. Матрицей размерности 
называется таблица, состоящая из 
чисел или выражений, называемых элементами и расположенных в m строках и n столбцах:
Можно обозначать 
или просто .
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размерности и элементы, стоящие на одинаковых местах (i,j), равны.
Матрица 
называется нулевой, если все ее элементы равны нулю:
Если число строк m матрицы (6) равно числу столбцов n, то такая матрица называется квадратной.
Элементы квадратной матрицы 
(с одинаковыми строковыми и столбцовыми индексами) составляют главную диагональ. Другая диагональ матрицы называется побочной.
Квадратная матрица Е называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1, а все остальные — нулю:
Замена строк столбцами, а столбцов — строками (с сохранением их порядка) называется транспонированием матрицы.
2°. Для матриц определяются три действия: умножение матриц на число, сложение (вычитание) и умножение матриц.
1) Произведение матрицы А на число 
есть матрица 
, или 
, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число .
2) Суммой А + В (разностью А — В) матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С, каждый элемент 
которой равен сумме (разности) соответствующих элементов 
Имеем А + В = В +А.
Например, (2 — 1 4) + (0 2 5) = (2 1 9);
3) Произведение АВ определяется не для произвольных матриц A и В. Оно имеет смысл только в том случае, когда число столбцов
А равно числу строк В. При этом 
есть матрица С, каждый элемент которой равен сумме последовательных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
сравнивая 
видим, что, вообще говоря, 
невыполнимо (число столбцов первой матрицы не равно числу строк второй);
— это «редкий случай», когда 
—произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.
3°. Действия с матрицами обладают следующими свойствами:
2) АЕ = ЕА = А <А — квадратная матрица). Например,
если 
, то 
(указание: 
3) 
Например, в этом можно убедиться на следующих парах матриц:
5°. Квадратная матрица А называется невырожденной, если соответствующий определитель (называемый определителем матрицы и обозначаемый det А) отличен от нуля; если det А = 0, то А называется вырожденной матрицей.
Матрица, обозначаемая 
называется обратной для матрицы А, если 
Теорема:
Если А — невырожденная квадратная матрица, то для нее существует обратная матрица, которая может быть определена по формуле
где 
алгебраическое дополнение элемента 
в det А .’
6°. Система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть записана в матричной форме так (согласно определениям произведения матриц и равенства матриц):
Теорема:
Если (7) — квадратная система (т = п) и 
то ее решение может быть определено по формуле
7°. Обратную матрицу можно найти методом элементарных преобразований Жордана-Гаусса, а вычисления производить в таблице Гауcса. Блоки таблицы Гаусса делятся на две равные части. В левую часть блока заносятся элементы квадратной невырожденной матрицы А, для которой надо найти обратную матрицу 
. Правая часть блока заполняется элементами единичной матрицы той же размерности, что и А. Выполняя преобразования над строками блока с целью получения единичной матрицы в левой части таблицы, в правой ее части получаем искомую обратную матрицу.
Примеры с решениями
Пример:
Решить систему 
Решение:
Получили 
или 
Пример:
Решение:
Следовательно, А — невырожденная матрица, поэтому она обладает обратной матрицей .
Вычислим 9 алгебраических дополнений:
Согласно теореме 1
Настоятельно рекомендуем проверить равенства 
Таким образом, по теореме 5, имея в виду обозначения (8), получаем
Пример:
Найти , если
Решение:
В левую часть первого блока таблицы Гаусса заносим элементы матрицы А. В правую часть блока записываем единичную матрицу третьего порядка. Переход от одного блока к следующему осуществляем при помощи формул Жордана-Гаусса. Ведущие коэффициенты обведены. Рабочая таблица имеет следующий вид:
Ранг матрицы. Исследование систем
1°. Обратимся к матрице (6) . В ней фиксируем некоторые 
строк и столбцов. Из элементов, стоящих на пересечениях этих строк и столбцов, можно составить минор (определитель) 
порядка. Он может равняться нулю или’ нет. Наибольший из порядков всевозможных отличных от нуля миноров , где = 1,2,… ,min(m, п), называется рангом матрицы А и обозначается rank А. Очевидно, что 
2°. Простейший способ определения ранга матрицы состоит в приведении ее к ступенчатому виду или к единичным столбцам при помощи последовательности элементарных преобразований, к которым относятся:
— умножение строки на произвольное число, отличное от нуля;
— прибавление к некоторой строке любой другой строки, умноженной на любое число;
— вычеркивание нулевой строки.
Элементарным преобразованиям матрицы соответствуют элементарные преобразования системы уравнений.
Теорема:
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг.
Между рангом матрицы А и рангом системы уравнений 
есть связь, выражаемая следующей теоремой.
Теорема:
Ранг системы уравнений равен rank А.
4°. Иногда важно знать, совместна или нет система уравнений , не интересуясь самим решением этой системы.
Если к матрице А присоединим столбец В свободных членов системы, то получаем расширенную матрицу 
Теорема:
Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности системы. уравнений необходимо и достаточно, чтобы 
4°. Однородной называется система уравнений
Эта система всегда имеет нулевое решение 
или Х° = (0,0…,0).
В связи с однородной системой возникает вопрос: при каких условиях она имеет нетривиальное (ненулевое) решение? Ответ выражается через соотношение m и n в терминах ранга матрицы А, составленной из коэффициентов системы при неизвестных.
Теорема:
Если 
то система (9) всегда имеет ненулевое решение.
Теорема:
Система (9) имеет ненулевое решение, если 
Свойства множества ненулевых решений однородной системы выражаются теоремой.
Теорема:
1) Если 
— некоторое решение системы (9), то 
( — произвольное действительное число) тоже является решением системы (9).
2) Если 
— два различных решения системы (9), то 
где 
— произвольные действительные числа, также являются решениями системы (9).
5°. Предположим, что однородную систему (9) можно разрешить относительно первых неизвестных ( — ранг системы (9)):
Неизвестные 
являются свободными, и они могут принимать произвольные действительные значения. Предположим, что набор 
принимает последовательно значения (1,0,0…..0), (0,1,0…..0), …, (0,0…..0,1). Этим наборам соответствуют частные решения 
.
Множество этих решений называется фундаментальной системой решений (9).
Теорема:
О структуре общего решения однородной системы. Общее решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию решений фундаментальной системы
где 
— произвольные действительные постоянные.
Рассмотрим теперь неоднородную систему
Система (9) называется однородной системой, соответствующей неоднородной системе (10).
Теорема:
О структуре общего решения неоднородной системы. Общее решение 
неоднородной системы (10) равно сумме 
где 
— общее решение соответствующей однородной системы (9), а 
— некоторое частное решение системы (10)
Примеры с решениями
Пример:
Определить ее ранг.
Решение:
Миноры более высоких порядков составлять нельзя. Ответ: rank А = 3.
Пример:
Найти ранг матрицы
Решение:
После вычитания первой строки из всех остальных (из последней — с множителем 2) получаем эквивалентную матрицу
Поскольку три строки промежуточной матрицы были пропорциональны, то из них можно получить две нулевые строки, которые мы отбросили.
Ясно, что rank А = 2, ибо 
Пример:
Выяснить, разрешима ли система
Решение:
Напишем расширенную матрицу и получим в ней как можно больше единичных столбцов. Каждый раз ведущий коэффициент обведем кружком:
На языке (в терминах) уравнений последней строке соответствует уравнение 
— это противоречивое уравнение. Однако нас интересует матричная терминология. Напомним, что А — основная матрица, она расположена левее вертикальной черты. Последняя ее строка нулевая, значит rank А не может быть больше, чем 3. А минор порядка 3, не равный нулю, существует:
В расширенной матрице последняя строка ненулевая. Найдем в ней минор 
, не равный нулю. Вот он:
(разложили по последней строке). Итак 
Система несовместна (теорема 6).
Пример:
Решение:
Решим сначала однородную систему
Вычтем из третьего уравнения сумму первых двух. Получим тривиальное уравнение, которое отбросим. Затем из второго уравнения вычтем первое. Получим равносильную систему
Свободным переменным 
дадим последовательно значения (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Получим три частных решения 
Они составляют фундаментальную систему решений однородной системы. Общее решение однородной системы имеет вид
Для получения общего решения неоднородной системы нужно какое-то частное решение. Заметим, что 
удовлетворяет неоднородной системе (откуда взялось это решение; несущественно). Тогда
где 
— произвольные действительные постоянные (параметры).
Отсюда при различных значениях постоянных получаем различные частные решения исходной системы.
Системы линейных уравнений и их вычисление
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и п неизвестных, называется система вида
где числа 
называются коэффициентами системы, числа 
— свободными членами. Подлежат нахождению числа 
.
Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме
Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
Произведение матриц 
определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице X (п штук).
Расширенной матрицей системы называется матрица 
системы, дополненная столбцом свободных членов
Решением системы называется п значений неизвестных 
при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:
Однородная система всегда совместна, так как 
является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.
Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с п неизвестными
Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Капелли.
Теорема:
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Примем ее без доказательства. Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.
Теорема:
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема:
Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Правило решения произвольной системы линейных уравнений
- Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если то система несовместна.
- Если , система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные п — r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
- Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.
- Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.
то система несовместна.
, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные п — r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.Пример:
Исследовать на совместность систему
Решение:
Таким образом, 
следовательно, система несовместна.
Пример:
Решение:
Берем два первых уравнения:
Следовательно, 
— общее решение. Положив, например, 
получаем одно из частных решений: 
Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными
или в матричной форме 
Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы
называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.
Найдем решение данной системы уравнений в случае 
Умножив обе части уравнения слева на матрицу 
, получим 
. Поскольку 
, то
Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способом решения системы.
Матричное равенство (4.1) запишем в виде
Отсюда следует, что
Но 
есть разложение определителя
по элементам первого столбца. Определитель 
получается из определителя 
путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак, 
Аналогично: 
где 
получен из путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов;
называются формулами Крамера.
Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).
Пример:
Решение:
Значит, 
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Пусть дана система уравнений
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
где 
Коэффициенты 
называются главными элементами системы.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.
Опишем метод Гаусса подробнее. Прямой ход.
Будем считать, что элемент 
(если 
, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при 
отличен от нуля).
Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на 
и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на 
и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему
Здесь 
— новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.
Аналогичным образом, считая главным элементом 
, исключим неизвестное 
из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.
Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0 = 0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида 
то это свидетельствует о несовместности системы.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное 
через остальные неизвестные 
. Затем подставляем значение 
в предпоследнее уравнение системы и выражаем 
через затем находим 
Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.
Замечанья: 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. 
, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим 
, из предпоследнего уравнения 
далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные 
На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент 
был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на 
).
Пример:
Решить систему методом Гаусса:
Решение:
В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы
исходная система свелась к ступенчатой:
Поэтому общее решение системы: 
Если положить, например, 
то найдем одно из частных решений этой системы 
Пример:
Решить систему методом Гаусса:
Решение:
Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:
Полученная матрица соответствует системе
Осуществляя обратный ход, находим 
Системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений
Очевидно, что однородная система всегда совместна 
она имеет нулевое (тривиальное) решение 
При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?
Теорема:
Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг г ее основной матрицы был меньше числа п неизвестных, т. е. r 
Теорема:
Для того, чтобы однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т. е. 
Если система имеет ненулевые решения, то Ибо при 
система имеет только единственное, нулевое решение. Если же 
, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. r 
Решение:
Так как r 
Положив 
получаем одно частное решение: 
Положив 
получаем второе частное решение: 
и т. д.
Теория к системам линейных алгебраических уравнений
Пусть дано n неизвестных 
Система m линейных уравнений с n неизвестными 
имеет вид
здесь 
коэффициенты при неизвестных, причем i — номер уравнения, а j — номер неизвестного. Величины 
— свободные члены. В компактном виде систему можно записать так
или в матричной форме 
где
Матрица А называется основной (базовой) матрицей системы, X — Матрица-столбец неизвестных, В — матрица-столбец свободных членов. Если к основной матрице системы приписать столбец свободных членов, то получится расширенная матрица системы уравнений
Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, в противном случае система неоднородна. Линейные системы, полученные одна из другой путем элементарных преобразований (перестановкой двух уравнений, умножением одного из них на число, не равное нулю, почленным сложением двух уравнения), называются эквивалентными (или равносильными). Все эквивалентные системы имеют одинаковые решения. Число линейно независимых уравнений в системе (2.34) называется рангом этой системы.
Система (2.34) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения. Линейная система (2.34) является совместной, если ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы, т. е. 
Пример:
Определить совместимость системы:
Составим расширенную матрицу системы и проведем с ней ряд элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы
Первую строку оставим без изменения, а во второй и третьей строках с помощью элементарных преобразований (от второй строки отнимем первую, а к третьей прибавим первую строку) в первом столбце получим нули, т. е:
Вычитая из третьей строки вторую, получим
Следовательно, система несовместна. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее существует по крайней мере два различных решения.
Для совместной системы линейных уравнений возможны следующие случаи.
1.Если 
то исходная система заведомо имеет 
линейно зависимых уравнений и их можно исключить из системы. Те уравнения, коэффициенты которых образуют минор порядка r, не равный нулю, являются линейно независимыми и называются базисными. После исключения лишних уравнений систему исследуют снова (см. пункт 2 и 3).
2.Если 
то система имеет единственное решение.
3.Если 
то система имеет бесчисленное множество решений.
Пример. Исследовать систему уравнений
Здесь 
Составим расширенную матрицу и упростим ее путем проведения элементарных преобразований (добавим ко второй строчке первую и вычтем из третьей первую и т. д.)
Система совместна, базисные уравнения -первое и второе. Третье уравнение является их линейной комбинацией и может быть отброшено. Эквивалентная система имеет вид
Решение этой системы: 
Пример:
Построим расширенную матрицу
Система совместна, но т.к. то она имеет бесконечное число решений. Действительно, переписав исходную систему в виде
и положив 
получим решение системы 
где k — произвольное число. Выбрав, например, 
получим такое решение 
если 
то 
и т. д.
Если число уравнений n равно числу неизвестных n, то система имеет вид
Если матрица А невырожденная 
то существует обратная матрица 
. Умножим равенство (2.40) на 
слева и выполним операции с матрицами. Получим,
Решение квадратной системы алгебраических уравнений в матричной форме сводится к построению обратной к А матрицы и последующему умножению ее справа на матрицу свободных членов:
Пример:
Решить систему алгебраических уравнений
Решение:
Вычислим определитель матрицы системы
Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А
Присоединенная матрица и обратная матрица соответственно равны
По формуле (2.37) получим решение системы
Всякая однородная система
совместна, так как всегда имеет хотя бы нулевое решение: 
Такое решение называется три-виальным. Однородная система имеет ненулевые решения, если ранг этой системы меньше числа неизвестных 
Любая однородная система, у которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет нетривиальное решение. Квадратная однородная система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю.
Пример:
Исследовать и найти решение системы
Решение:
В данном примере 
Возьмем, на-3 2 пример, минор 
Одна переменная — «лиш-няя». Так как в минор вошли коэффициенты при 
то вы-
бираем 
тогда 
Так как 
то за базисные переменные можно выбрать также и 
положив 
но нельзя выбрать 
так как 
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
http://www.evkova.org/metodyi-resheniya-sistem-linejnyih-algebraicheskih-uravnenij-slau
http://lfirmal.com/reshenie-sistem-linejnyh-uravnenij/