Gnu octave решение системы уравнений

Высшая математика командной строки — GNU Octave

Как я и обещал, перехожу от обзора программ замены калькулятора к более серьезным инструментам. Если помните схему из предыдущего поста, то во второй категории находились табличные: OpenOffice / LibreOffice сотоварищи. Эту партию мы можем смело пропустить, так как к командной строке она не относится, к тому же, среди читателей Хабра трудно найти человека, который бы в них не разбирался. Поэтому перехожу сразу к третьей категории.

Специализированные математические программы, уровень студент+

На первом месте в этом списке находится Octave , и это не случайность. Исследователи из Университета Мэриленда в США провели сравнительный анализ математических вычислений, используя MATLAB, Octave, SciLab и FreeMat в простом сценарии и в сложном. В первом случае решали систему линейных уравнений а в втором — конечно-разностную дискретизацию уравнения Пуассона в двухмерном пространстве. Основной вывод — GNU Octave справляется с задачами лучше остальных открытых математических пакетов, демонстрируя результат (страницы 23 и 25) сопоставимый с матлабовским.

Но сначала немного исторического контекста, чтобы понять, как закалялись математические программы с открытыми исходниками.

Догнать и перегнать MATLAB

Так сложилось, что коммерческие программы прибежали и первыми застолбили поляну математических вычислений. Уже с конца 1970-х гг. создатель языка программирования Клив Моулер распространяет MATLAB в университетах США, а в 1984-м вместе с двумя компаньонами переписывают его с Фортрана на Си и создают компанию The MathWorks. Примечательно, что ранние версии распространялись с открытым исходным кодом.

Это было-было, а MATLAB , каким мы его знаем сегодня — это ЯП высокого уровня с поддержкой 2D / 3D графики, разнообразными математическими функциями, интерактивной средой программирования, численных расчетов и решения задач. Внешние интерфейсы позволяют ему интегрироваться со сторонними приложениями и языками программирования. Более 1 000 000 инженеров и ученых по всему миру используют MATLAB и платят за это солидную денежку.

С большим опозданием в игру включаются программы с открытыми исходниками. Только в 1990-х появляются математические пакеты GNU Octave, Scilab и вступают в конкуренцию с лидером вычислительного программирования.

Задуманный изначально как программное пособие для проектирования химического реактора и названный в честь профессора химии Октава Левеншпиля, преподававшего автору математического пакета, Octave призван был заменить студентам Техасского Университета сложный в отладке Fortran . Версия 1.0 вышла в свет 17 февраля 1994 г. Проект стабильно развивается, и в июле нынешнего года зарелизился Octave 4.0.3 . Ждем ебилдов .

Основной миссией Octave была, и в обозримом будущем скорее всего так и останется, быть годной заменой MATLAB так же, как OpenOffice/LibreOffice замещает MS Office для тех, кто умеет считать копейку. Собственно, для этого Octave имеет совместимый с MATLAB синтаксис и набор функций. Более того, несовместимость с MATLAB считается багом, однако софтверная Фемида уже имеет подобный прецедент, и это не считается нарушением копирайта. В этой связи, можно считать Octave программным клоном. Правда о полной совместимости пока говорить не приходится, но работа в этом направлении не прекращается.

Octave написан на C++ , используя стандартную библиотеку шаблонов, имеет интерактивный командный интерфейс, поддерживает расширения — динамически загружаемые модули на родном языке или на C, C++, Fortran и др. Так же как и MATLAB , в алгебраических вычислениях Octave использует библиотеки Basic Linear Algebra Subroutines (BLAS) и Linear Algebra Package (LAPACK).

Установка

Установка Octave в Linux ничем не отличается от установки других программ. На Gentoo Linux запускаем:

Дебианщики делают то же самое с помощью apt .

Для SUSE и Arch тоже все очень просто, а вот пользователям Красной Шапки и CentOS придется чуток повозиться. Попытка установить Octave легким движением кисти завершается ошибкой, пакет в репозитариях не найден.

Благо, есть обходной путь. Нужно сперва установить пакет epel-release.

И только после этого yum install octave сработает.
Наконец, все готово и программа установлена.

Операции с матрицами

Не будем терять время и делать операции, которые можно повторить с помощью bc и awk , о ктоторых речь шла в прошлый раз. Поиграемся немного с матрицами.

Сперва простое транспонирование матрицы:

Попробуем решить систему линейных уравнений:

Вбиваем матрицу A, вектор b и решаем уравнение Ax = b в матричном виде

Находим детерминант и собственные значения матрицы.

Комплексные числа тоже поддерживаются в вычислениях.

Функции и переменные

В Octave переменные и функции создавать гораздо проще, чем, к примеру, в Java или C. На примере матриц, мы уже видели как объявлять переменные. Создания новой функции имеет следующий синтаксис

Как правило, новую функцию создают либо в отдельном файле, либо в скрипт-файле Octave
до первого ее вызова. Если предполагается использовать пользовательскую функцию в разных скрипт-файлах, то, конечно, предпочтительно создать ее в отдельном файле. В GNU Octave файлы с функциями имеют расширение .m и загружаются автоматически. Имя файла должно строго совпадать с именем функции.

Напишем функцию для решения квадратичного уравнения ax² + bx + c = 0

Графический интерфейс

Вообще-то, мы тут за математику командной строки гутарим, но пока непонятно как вывести на экран график функции. Впрочем, никакого секрета тут нет — для этих целей используется Gnuplot . Так можно изобразить Аттрактор Лоренца, установив дополнительный пакет odepkg .

Наиболее удобной графической оболочкой для работы с Octave является программа QtOctave . Последняя уже стабилизировалась и включена в состав пакета с момента выхода Octave 4.0 .

Что-же дальше?

Может возникнуть вопрос: а зачем вообще нужны открытые математические пакеты? Офисные приложения нужны всем, но ведь далеко не каждому необходимо сидя дома решать уравнения Пуассона, с помощью преобразования Лапласа. Для ВУЗ-ов MATLAB стоит значительно дешевле, нежели для физических лиц и коммерческих организаций. Коммерческие организации, если будет нужно, найдут денежные средства, а обычные люди пусть занимаются математикой в университетах или считают столбиком.

Конечно же, это ошибочное мнение. Научные расчеты, выполненные с использованием открытого ПО имеют дополнительный «уровень защиты», ведь при желании любой может повторить прогнать те же самые расчеты и проверить валидность результатов. Те же самые вычисления, выполненные на дорогущем ПО, частично отсекают возможность проверки результатов. Проблема на самом деле гораздо шире (английский текст) и дело не только в открытых или проприетарных математических программах. Не секрет, что научные журналы как правило не требуют от авторов предоставить данные и методику, достаточные для гарантированного повтора результатов эксперимента, проверки модели. Особенно часто этим грешат экономисты и финансисты, попросту засекречивая свои данные. Проверка расчетов и выводов среди выборки из массива статей с «засекреченными» данными дала неожиданные результаты (английский текст). Наука, как и софт, должна быть открытой, вот почему открытые математические пакеты имеют ценность для всего общества.

Рекомендуется к прочтению

Кроме последней книги, остальные материалы, использованные в статье, можно без труда найти в интернете. Половина из приведенных выше ссылок ведут на английские страницы. Буду рад вкратце сообщить о чем идет там речь или помочь с переводом.

• GNU Octave 4.0.1 Manual
• Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В GNU Octave для студентов и преподавателей, 2011
• Н. Б. Шамрай Краткое руководство по работе с пакетами GNU Octave и Gnuplot, 2011
• Jesper Schmidt HansenGNU Octave

Gnu octave решение системы уравнений

Octave can solve sets of nonlinear equations of the form

using the function fsolve , which is based on the MINPACK subroutine hybrd . This is an iterative technique so a starting point must be provided. This also has the consequence that convergence is not guaranteed even if a solution exists.

fsolve ( fcn , x0 ) fsolve ( fcn , x0 , options ) [ x , fval , info , output , fjac ] = fsolve (…)

Solve a system of nonlinear equations defined by the function fcn .

fcn should accept a vector (array) defining the unknown variables, and return a vector of left-hand sides of the equations. Right-hand sides are defined to be zeros. In other words, this function attempts to determine a vector x such that fcn ( x ) gives (approximately) all zeros.

x0 is an initial guess for the solution. The shape of x0 is preserved in all calls to fcn , but otherwise is treated as a column vector.

options is a structure specifying additional parameters which control the algorithm. Currently, fsolve recognizes these options: «AutoScaling» , «ComplexEqn» , «FinDiffType» , «FunValCheck» , «Jacobian» , «MaxFunEvals» , «MaxIter» , «OutputFcn» , «TolFun» , «TolX» , «TypicalX» , and «Updating» .

If «AutoScaling» is «on» , the variables will be automatically scaled according to the column norms of the (estimated) Jacobian. As a result, «TolFun» becomes scaling-independent. By default, this option is «off» because it may sometimes deliver unexpected (though mathematically correct) results.

If «ComplexEqn» is «on» , fsolve will attempt to solve complex equations in complex variables, assuming that the equations possess a complex derivative (i.e., are holomorphic). If this is not what you want, you should unpack the real and imaginary parts of the system to get a real system.

If «Jacobian» is «on» , it specifies that fcn —when called with 2 output arguments—also returns the Jacobian matrix of right-hand sides at the requested point.

«MaxFunEvals» proscribes the maximum number of function evaluations before optimization is halted. The default value is 100 * number_of_variables , i.e., 100 * length ( x0 ) . The value must be a positive integer.

If «Updating» is «on» , the function will attempt to use Broyden updates to update the Jacobian, in order to reduce the number of Jacobian calculations. If your user function always calculates the Jacobian (regardless of number of output arguments) then this option provides no advantage and should be disabled.

«TolX» specifies the termination tolerance in the unknown variables, while «TolFun» is a tolerance for equations. Default is 1e-6 for both «TolX» and «TolFun» .

For a description of the other options, see optimset . To initialize an options structure with default values for fsolve use options = optimset («fsolve») .

The first output x is the solution while the second output fval contains the value of the function fcn evaluated at x (ideally a vector of all zeros).

The third output info reports whether the algorithm succeeded and may take one of the following values:

Converged to a solution point. Relative residual error is less than specified by TolFun .

Last relative step size was less than TolX .

Last relative decrease in residual was less than TolFun .

Iteration limit (either MaxIter or MaxFunEvals ) exceeded.

Stopped by OutputFcn .

The trust region radius became excessively small.

output is a structure containing runtime information about the fsolve algorithm. Fields in the structure are:

Number of iterations through loop.

Number of successful iterations.

Number of function evaluations.

The final output fjac contains the value of the Jacobian evaluated at x .

Note: If you only have a single nonlinear equation of one variable, using fzero is usually a much better idea.

Note about user-supplied Jacobians: As an inherent property of the algorithm, a Jacobian is always requested for a solution vector whose residual vector is already known, and it is the last accepted successful step. Often this will be one of the last two calls, but not always. If the savings by reusing intermediate results from residual calculation in Jacobian calculation are significant, the best strategy is to employ OutputFcn : After a vector is evaluated for residuals, if OutputFcn is called with that vector, then the intermediate results should be saved for future Jacobian evaluation, and should be kept until a Jacobian evaluation is requested or until OutputFcn is called with a different vector, in which case they should be dropped in favor of this most recent vector. A short example how this can be achieved follows:

The following is a complete example. To solve the set of equations

you first need to write a function to compute the value of the given function. For example:

Then, call fsolve with a specified initial condition to find the roots of the system of equations. For example, given the function f defined above,

results in the solution

A value of info = 1 indicates that the solution has converged.

When no Jacobian is supplied (as in the example above) it is approximated numerically. This requires more function evaluations, and hence is less efficient. In the example above we could compute the Jacobian analytically as

The Jacobian can then be used with the following call to fsolve :

which gives the same solution as before.

fzero ( fun , x0 ) fzero ( fun , x0 , options ) [ x , fval , info , output ] = fzero (…)

Find a zero of a univariate function.

fun is a function handle, inline function, or string containing the name of the function to evaluate.

x0 should be a two-element vector specifying two points which bracket a zero. In other words, there must be a change in sign of the function between x0 (1) and x0 (2). More mathematically, the following must hold

If x0 is a single scalar then several nearby and distant values are probed in an attempt to obtain a valid bracketing. If this is not successful, the function fails.

options is a structure specifying additional options. Currently, fzero recognizes these options: «FunValCheck» , «MaxFunEvals» , «MaxIter» , «OutputFcn» , and «TolX» .

«MaxFunEvals» proscribes the maximum number of function evaluations before the search is halted. The default value is Inf . The value must be a positive integer.

«MaxIter» proscribes the maximum number of algorithm iterations before the search is halted. The default value is Inf . The value must be a positive integer.

«TolX» specifies the termination tolerance for the solution x . The default value is eps .

For a description of the other options, see optimset. To initialize an options structure with default values for fzero use options = optimset («fzero») .

On exit, the function returns x , the approximate zero point, and fval , the function evaluated at x .

The third output info reports whether the algorithm succeeded and may take one of the following values:

• 1 The algorithm converged to a solution.
• 0 Maximum number of iterations or function evaluations has been reached.
• -1 The algorithm has been terminated by a user OutputFcn .
• -5 The algorithm may have converged to a singular point.

output is a structure containing runtime information about the fzero algorithm. Fields in the structure are:

• iterations Number of iterations through loop.
• funcCount Number of function evaluations.
• algorithm The string «bisection, interpolation» .
• bracketx A two-element vector with the final bracketing of the zero along the x-axis.
• brackety A two-element vector with the final bracketing of the zero along the y-axis.

IT Novella

После нажатия клавиши на экране появится результат выполнения команды

Функция rand позволяет генерировать случайные числа из нтервала (0,1).

Если функция вызывается без аргументов, то будет создано случайное число.

Если функция имеет один аргумент rand(m), то будет создана квадратная матрица размерности mхm.

Если передать два аргумента rand(m,n), то будет создана матрица размерности $ m \times n $

В теории линейной алгебры выделяют специальные виды матриц.

Создать такие матрицы в Octave позволяют следующие функции:

• ones(m),ones(m,n)
• Функция генерирует матрицу с элементами 1 (количество аргументов трактуется аналогично eye).octave:18> = ones(2)

• zeros(m), zeros(m,n)
• Функция генерирует нулевую матрицу (количество аргументов трактуется аналогично eye).octave:29> Z = zeros(2)

• diag(v, k)
• Функция генерирует диагональную матрицу с элементами вектора v на диагонали k. Аргумент k выступает в качестве опции:k=0 означает главную диагональ, при k > 0 элементы вектора v ставятся на k-ую диагональ выше, а при k D = diag([1 2 3])

Возможности СКМ Octave

GNU Octave — высокоуровневый язык программирования, предназначенный прежде всего для численных расчётов. Он предоставляет удобный интерфейс командной строки для численного решения линейных и нелинейных задач, а также для выполнения других численных экспериментов. Кроме того, GNU Octave — свободно распространяемое программное обеспечение.

Система компьютерной математики Octave

Системы компьютерной математики

Система компьютерной алгебры (computer algebra system, CAS) — программное приложение для символьных вычислений,

т.е. для выполнения преобразований и работы с математическими выражениями в аналитической (символьной) форме.

GNU Octave

GNU Octave — это свободно распространяемый язык программирования высокого уровня, ориентированный на проведение численных расчетов, и по сути являющийся альтернативой коммерческому пакету MatLab.

Простейшие операции

Простейшие арифметические операции в Octave выполняются с помощью следующих операторов:

Рассмотрим пример

Решить систему линейных алгебраических уравнений:

Для решения СЛАУ в окне интерпретатора Octave последовательно введём следующие команды:

Элементарные математические функции

Экспоненциальные функции

Примеры применения экспоненциальных функций:

Целочисленные функции

Примеры работы с целочисленными функциями:

Комплексные числа

Ввод комплексного числа производится в формате:

действительная часть + i * мнимая часть

действительная часть + j * мнимая часть

Примеры записи комплексных чисел в Octave

Функции работы с комплексными числами

Примеры использования функций

Основные операторы в Octave

Условный оператор

Обычный условный оператор имеет вид:

Обычный оператор if работает по следующему алгоритму:

если условие истинно, то выполняются операторы1, если ложно — операторы2.

Рассмотрим работу условного оператора на примере.

Пример:даны вещественные числа x и y. Определить принадлежит ли точка с координатами (x;y) заштрихованной части плоскости.

Текст программы и результат её работы

Оператор альтернативного выбора

Оператор switch

Оператор switch работает следующим образом: если значение параметра равно значение1, то выполняются опреаторы1, иначе если параметр равен значение2, то выполняются операторы2. В противном случае, если значение параметра совпадает с значение3, то выполняются операторы3 и т.д. Если значение параметра не совпадает ни с одним из значений в группах case, то выполняются операторы, идущие после служебного слова otherwise.

Рассмотрим использование оператора switch на примере:

Вывести на экран название дня недели, соответствующее заданному числу D, при условии, что в месяце 31 день и первое число — понедельник.

Матрично-векторные вычисления

Создание матриц

Любую матрицу или вектор с заданными элементами в Octave можно создать путем перечисления

этих элементов в квадратных скобках ([ ]), разделяя столбцы пробелом или запятой, строки

знаком ”точка с запятой”

octave:1>A=[1 3 5; 2 4 6]

После нажатия клавиши на экране появится результат выполнения команды

Функция rand позволяет генерировать случайные числа из нтервала (0,1).

Если функция вызывается без аргументов, то будет создано случайное число.

Если функция имеет один аргумент rand(m), то будет создана квадратная матрица размерности mхm.

Если передать два аргумента rand(m,n), то будет создана матрица размерности $ m \times n $

В теории линейной алгебры выделяют специальные виды матриц.

Создать такие матрицы в Octave позволяют следующие функции:

• ones(m),ones(m,n)
• Функция генерирует матрицу с элементами 1 (количество аргументов трактуется аналогично eye).octave:18> = ones(2)

• zeros(m), zeros(m,n)
• Функция генерирует нулевую матрицу (количество аргументов трактуется аналогично eye).octave:29> Z = zeros(2)

• diag(v, k)
• Функция генерирует диагональную матрицу с элементами вектора v на диагонали k. Аргумент k выступает в качестве опции:k=0 означает главную диагональ, при k > 0 элементы вектора v ставятся на k-ую диагональ выше, а при k D = diag([1 2 3])

Возможности СКМ Octave

GNU Octave — высокоуровневый язык программирования, предназначенный прежде всего для численных расчётов. Он предоставляет удобный интерфейс командной строки для численного решения линейных и нелинейных задач, а также для выполнения других численных экспериментов. Кроме того, GNU Octave — свободно распространяемое программное обеспечение.