Горизонтальная трубка переменного сечения уравнение бернулли

Уравнение Бернулли ( формула пример)

Уравнение Бернулли Статическое и динамическое давление

Силы притяжения между молекулами в жидкости больше, чем в газах, но значительно меньше, чем в твердых телах. Частицы жидкости легко взаимно смещаются и под действие тления легко перемещаются из области более высокого давления в сторону более низкого. Это называется тече нием жидкости.

Вследствие наличия сил притяжения взаимное смещение частиц жидкости сопровождается некоторым сопротивлением, которое подобно механическому трению между мелкими частицами твердого вещества и называется внутренним трением, или вязкостью, жидкости. Вязкость жидкости проявляется, например, сопротивлением при помешивании жидкости, замедлением при падении в жидкости предметов и т. д.

Рассмотрим вначале стационарное течение идеальной жидкости (идеальной называется несжимаемая жидкость, не имеющая вязкости; стационарным называется течение, при котором величина скорости в любой точке жидкости со временем не изменяется). Установим для этих условий соотношение между давлением р в жидкости, скоростью движения v ее частиц и положением их в поле силы тяжести, характеризуемое высотой Л над некоторым уровнем отсчета (рис. 2).

Уравнение Бернулли

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия некоторой массы m (имеющей объем V) идеальной жидкости при течении остается неизменной, так как в ней отсутствуют потери на внутреннее трение.

Полная энергия составляется из потенциальной энергии давления (Е_n = pV), потенциальной энергии тяжести (E«_п = mgh) и кинетической энергии (Е_к = m υ 2 /2). На основании сказанного: pV + mgh + (m υ 2 /2) = const.

Соответственно для каких-либо двух положений массы т идеальной жидкости, например в точках А и Б (рис. 2):

Если предпоследнее уравнение разделить почленно на объем V жидкости, то учитывая, что m/V есть плотность ρ жидкости, получим:

Это и есть уравнение Бернулли.

Для движения жидкости в горизонтальных трубках силу тяжести можно не учитывать и тогда уравнение Бернулли принимает вид:

Из этого уравнения следует вывод, называемый правилом Бернулли: давление невязкой жидкости, текущей по горизонтальной трубе, выше там, где скорость ее меньше, и наоборот.

Пример расчета по формуле

Рассмотрим течение жидкости по трубе с неодинаковым сечением. Течение называется непрерывным, если через любое сечение трубы в единицу времени протекает одинаковое количество (объем) жидкости. При этом скорость движения жидкости на участках трубы обратно пропорциональна площади их сечений.

Действительно не трудно доказать, что объем V₀ жидкости, протекающей в единицу времени через любое сечение трубы, может быть выражен произведением площади S сечения трубы на скорость υ течения жидкости: V₀=Sυ. По условию этот объем постоянен для любого сечения трубы, следовательно,

т. е. произведение скорости течения жидкости на поперечное сечение струи есть величина постоянная. Это соотношение называют уравнением неразрывности струи.

Если обозначить сечение и скорость движения на участках трубы соответственно S₁ и υ₁ S₂ и υ₂, то согласно сказанному:

Скорость течения жидкости в трубе с переменным сечением обратно пропорциональна площади этих сечений.

При этом в соответствии с правилом Бернулли на участках меньшего сечения трубы давление будет ниже, на участках большего сечения — выше (рис. , а). Поясним механизм этого явления. При переходе на участок трубы меньшего сечения (линия ab на рис. , б) частицы жидкости ускоряются, на что затрачивается часть силы Р₄, создающей давление на более широком участке (по условию равновесия частиц жидкости Р₁= Р₂+F_у, где Р₂ — сила, создающая давление на суженном участке, F_у — сила, обеспечивающая ускорение частиц).

Наоборот, при переходе на участок с большим сечением (линия cd на рис. 82, б) частицы жидкости набегают на лежащую впереди и более медленно двигающуюся массу жидкости и, затормаживаясь, создают дополнительную силу F_т, повышающую давление на более широком участке (аналогично P₃=P₂ + F_т).

Можно подобрать условия, при которых давление жидкости в сужен ном участке трубы станет ниже атмосферного и тогда в этом месте струя будет обладать всасывающим действием. Всасывающее действие струи газа, пара или воды, выходящей из суженного отверстия с большой скоростью, используется в ряде приборов, применяемых в медицинской практике (ингалятор, водоструйный насос и др.).

Паровой ингалятор

Это прибор для вдыхания жидких лекарственных веществ в распыленном виде. Он состоит из кипятильника В, стакана К с лекарственной жидкостью и вставленной в него тонкой трубкой Т и направляющего патрубка С. Струя пара выходит из трубки кипятильника с большой скоростью. Вследствие этого давление около ее отверстия падает и лекарственная жидкость, всасываясь по трубке Т, поступает в струю, распыляется и, смешиваясь с паром, вдыхается больным через патрубок С

Водоструйный насос состоит из стеклянного сосуда Н, в который впаяно три трубки. Трубка имеет на конце коническое сужение. Насос присоединяется к водоводу и колбе К, из которой производится отсасывание. Вода, имеющая достаточно высокое давление, выходит из суженного конца трубки 1 с большей скоростью. Давление у отверстия трубки резко снижается и в сосуд А через трубку 2 засасывается воздух или жидкость, которые вместе с водой удаляются через трубку 3. Водоструйный насос удобен тем, что он не имеет вращающихся частей, требующих смазки, бесшумен и гигиеничен. Поэтому он часто применяется в лабораториях, операционных и т. п.

В уравнении Бернулли давление р называется статическим давлением р_с жидкости. Оно может быть измерено обычным манометром, который двигается вместе с жидкостью, или практически при помощи неподвижной манометрической трубки, плоскость отверстия которой расположена параллельно направлению движения жидкости.

Второй член уравнения Бернулли (ρυ₂/2)также имеет размерность давления и называется динамическим давлением р_д в жидкости. Сумма статического и динамического давлений называется полным давлением р в жидкости:

Для измерения его применяют манометрическую трубку, изогнутую под прямым углом и помещенную отверстием навстречу движению жидкости. Частицы жидкости, заходящие в отверстие трубки полностью тормозятся в ней: скорость υ₂ частиц жидкости в отверстии рав няется нулю: υ ₂=0. Тогда по уравнению Бернулли

Следовательно, давление р₂ в трубке:

где р₁ — давление и υ₁ — скорость движущейся жидкости

Если в струю жидкости поставить рядом две такие трубки, то разность уровней в трубках будет соответствовать динамическому давлению. На этом основан способ измерения скорости движения жидкости или газа В струю погружают две скрепленные вместе измерительные трубки, прямую и изогнутую (подобное устройство называется трубкой Пито), которые соединяются с U= образным манометром. Манометр покажет динамическое давление, по величине которого, пользуясь приведенной выше формулой, вычисляют искомую скорость:

Статья на тему Уравнение Бернулли

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Leave a Comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υ_ср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υ_ср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 ₂ / 2 — m * υ 2 ₁ / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 ₂ / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 ₁ / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести A_Т равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления А_Д , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

Уравнение Бернулли — основные понятия, формулы и определения с примерами

Уравнение Бернулли:

При изучении статики жидкости мы выяснили, как распределяется давление в неподвижной жидкости. А как распределяется давление в движущейся жидкости? Выясним это экспериментально. Возьмем трубку переменного сечения с небольшими отверстиями в стенке, в которые вставлены открытые сверху манометрические трубочки (рис. 190). Отверстия в стенке практически не влияют на распределение давления в жидкости. При стационарном течении жидкость в манометрических трубочках поднимется на определенную высоту. Высота столба жидкости от некоторого уровня показывает разность между давлением жидкости в трубке в месте расположения отверстий и атмосферным давлением. Опыт показывает, что в широких местах трубки давление больше, чем в узких. Но по уравнению неразрывности, чем больше сечение трубки, тем меньше скорость течения жидкости. Следовательно, можно сделать вывод:
при стационарном течении жидкости давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и, наоборот, меньше в тех местах, где скорость течения больше.

Эта зависимость была установлена швейцарским физиком Д. Бернулли и называется законом Бернулли.

Качественное объяснение этого закона основано на уравнении неразрывности и втором законе Ньютона.

Выделим небольшой объем жидкости, который движется вдоль трубки. При переходе из широкой части трубки в узкую его скорость увеличивается от

Рис. 190

Рис. 191

Д. Бернулли также установил зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее стационарного течения и перепада высоты.

Выделим в потоке идеальной жидкости тонкую трубку тока, а в ней некоторый объем между сечениями AB и CD (рис. 192).

Рис. 192

Пусть площадь поперечного сечения, давление и модуль скорости потока в сечении AB соответственно равны S₁, p_l, υ₁, а в сечении CD — S₂, p₂, υ₂. Под действием сил давления и и силы тяжести выделенный объем жидкости за малый промежуток времени Δt сместится вправо и займет положение между сечениями A₁B₁ и C_lD_l. Силы давления и совершат работу:
(1)

Существенно, что при стационарном течении жидкости энергия объема жидкости, заключенного между сечениями A₁B₁ и CD (см. рис. 192), остается неизменной. Все происходит так, как если бы жидкость, занимавшая объем ABB₁A₁, переместилась и заняла объем CDC₁D₁. Поэтому достаточно учесть лишь изменение энергии жидкости, переходящей из области ABA₁B₁ в область CDD₂C₂. При этом изменяются кинетическая энергия К и потенциальная энергия П. Изменение полной энергии W выделенного объема жидкости равно:

где h₁ и h₂ — высоты расположения соответствующих объемов (см. рис. 192).

Поскольку мы рассматриваем идеальную жидкость, в которой нет сил трения, то в данном случае можно использовать закон сохранения энергии в форме ∆W = А. C учетом этого получаем:

После сокращения на ΔV соберем величины с одинаковыми индексами в одной части равенства.
В результате получим:

Мы произвольно выбирали поперечные сечения трубки тока. Поэтому выражение

является постоянным в любом сечении трубки тока. Это и есть уравнение Бернулли.

Выясним физический смысл входящих в формулу (3) величин. Величину
можно записать:

где ∆m — масса выделенного малого объема жидкости, ΔV— его объем. Следовательно, есть кинетическая энергия единичного объема и называется плотностью кинетической энергии. Аналогично можно показать, что pgh — плотность потенциальной энергии.

Итак, сумма давления и плотностей кинетической и потенциальной энергий (трехчлен Бернулли) при стационарном течении идеальной жидкости остается постоянной для любого сечения трубки тока.

В уравнении (3) площадь поперечного сечения отсутствует. Следовательно, можно выбрать очень тонкую трубку тока, которая фактически представляет собой линию тока. Поэтому уравнение Бернулли часто формулируют так:
при стационарном течении идеальной жидкости трехчлен Бернулли постоянен вдоль любой линии тока.

Используя уравнение Бернулли, можно объяснить ряд интересных явлений и решить многие задачи.

Так, при горизонтальном течении жидкости плотность потенциальной энергии постоянна и уравнение Бернулли примет вид:

Отсюда следует, что в тех точках пространства, где скорость больше, давление меньше. Это подтверждается опытом, описанным в начале этого параграфа. C помощью уравнения Бернулли можно найти скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного в сосуде на глубине h относительно поверхности жидкости (рис. 193). Выделим в сосуде линию тока 1—2, как показано на рисунке. Пусть атмосферное давление p₀. Записав уравнение Бернулли для точек 1 и 2, получим:
(4)

Рис. 193

Считая площадь отверстия малой по сравнению с площадью поперечного сечения сосуда, можно пренебречь скоростью опускания уровня жидкости в сосуде, положив υ₁ = 0. Тогда из формулы (4) следует формула Торричелли:

Истечение происходит с той же скоростью, какую имело бы тело при свободном падении с высоты h.

Зависимость давления в жидкости и газе от их скорости лежит в основе принципа действия многих устройств и приборов. На рисунке 194 изображена схема устройства водоструйного насоса. Струя воды подается в трубку А, имеющую на одном конце сужение. По сужению вода течет с большей скоростью. Из-за этого давление в струе в этом месте оказывается меньше атмосферного, воздух из сосуда всасывается в струю через трубку В и удаляется вместе с водой.

Рис. 194

На рисунке 195 изображен простейший пульверизатор, состоящий из двух трубок, расположенных перпендикулярно. Через горизонтальную трубку продувается воздух. В узкой части струи при выходе из трубки давление меньше атмосферного. Жидкость поднимается по вертикальной трубке из-за разности давлений и распыляется струей воздуха. Точно так же работают различные краскораспылители.

Рис. 195

Главные выводы:

1. При движении жидкости в тех местах, где скорость течения больше, давление меньше.
2. При стационарном течении идеальной жидкости сумма давления и плотности кинетической и потенциальной энергий жидкости постоянна вдоль линии тока.

• Механические колебания и волны в физике
• Гармонические колебания в физике
• Вынужденные колебания в физике
• Электромагнитные колебания
• Давление в жидкостях и газах в физике
• Закон Паскаля
• Закон Архимеда
• Движение жидкостей

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.