Графическая иллюстрация уравнения бернулли это

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
Графическая иллюстрация уравнения Бернулли
Цель работы:

1. На трубопроводе переменного сечения проследить по пьезометрам переход энергии в сечениях из потенциальной в кинетическую и обратно в соответствии с уравнением Бернулли.

2. По опытным данным построить в масштабе линии пьезометрического и скоростного напоров.

Оборудование и приборы: установка для исследования уравнения Бернулли, термометр, измерительная линейка, мерный сосуд, секундомер.
2.1. Теоретическое введение
Основное отличие реальной жидкости от идеальной — наличие у первой вязкости.

Вязкость — первопричина, вызывающая потери энергии при движении жидкости. Различают динамический ( ) и кинематический ( ) коэффициенты вязкости, связанные между собой плотностью жидкости:

( ) (2.1)

Вязкость зависит от рода жидкости, температуры и в меньшей степени давления. Для воды при атмосферном давлении кинематический коэффициент вязкости вычисляется по формуле Пуазейля:

(2.2)

Важную роль в гидродинамике играет уравнение постоянство расхода:
(2.3)

т.е., при установившемся движении жидкости объемный расход во всех живых (поперечных) сечениях трубопровода одинаков и равен произведению средней скорости ( ) на площадь сечения ( ).

Уравнение (2.3) является частным случаем закона сохранения вещества применительно к гидродинамике.

Основным уравнением практической гидродинамики является уравнение Бернулли, дающее связь между давлением, скоростью и геометрической высотой и различных сечениях трубопровода.

Для потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет вид:

(2.4)

Геометрический смысл уравнении Бернулли (2.4) заключается в том, что слагаемые уравнения имеют линейную размерность, а их сумма для любого сечения есть величина постоянная и равна полному напору истечения Н₀.

Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что сумма удельных потенциальной и кинетической энергий для потока идеальной жидкости, находящегося в установившемся движении, всегда постоянна. С энергетической точки зрения уравнение (2.4) представляет собой частный случай закона сохранения и превращения энергии. Для потока реальной жидкости при установившемся движении уравнение Бернулли имеет вид:

(2.5)

Из сравнения уравнений (2.4) и (2.5) можно выделить следующие отличительные признаки:

1. Вместо скорости отдельной частицы идеальной жидкости вводится средняя скорость потока ( ).

2. Введен коэффициент кинетической энергии потока ( ), учитывающий неравномерность распределения скоростей частиц жидкости по сечению трубы и зависящей от режима движения. Для ламинарного движения , а для турбулентного .

3. В правой части уравнения (2.5) появилось дополнительное слагаемое ( ), называемое потерянным напором, истраченным на преодоление гидравлических сопротивлений.

Таким образом, если для потока идеальной жидкости напор истечения ( ) в любом сечении трубопровода определяется суммой трех слагаемых, то для потока реальной — суммой четырех слагаемых.

Это объясняется тем. что при переходе жидкости вдоль трубы от одного сечения к другому тратится часть удельной энергии на преодоление вязких сопротивлений, находящихся между этими сечениями, т.е. удельная энергия реальной жидкости по направлению ее движения всегда уменьшается на величину потери напора ( ).

Экспериментальные исследования ученых показали, что на величину потерь напора существенное влияние оказывают режимы движения жидкости: ламинарный и турбулентный. В ходе исследований выяснилось, что механизм потерь напора (удельной энергии) на преодоление гидравлических сопротивлений при ламинарных и турбулентных режимах существенно различен.

Физическая характеристика условий, определяющих режим движения, была найдена английским физиком Рейнольдсом. Он дал формулу и критерии, с помощью которых можно наверняка предсказать режим движения:

(2.6)

Если — режим ламинарный,

Если — режим турбулентный.

Влияние режима движения на величину потерь напора будет подробно рассмотрено в последующих лабораторных работах.

В заключение следует отметить, что одной из важнейших задач практической гидравлики, без решения которой применение уравнения Бернулли невозможно, является количественное определение потерь напора.

Не зная потока формул по количественному определению потерь напора, в этой работе потери напора находят как разность между уровнем воды в напорном баке и суммарным напором в сечении.

(2.7)

В необходимых случаях потери напора между сечениями определяют из формулы (2.5).
2.2. Схема установки
Установка для исследования уравнения Бернулли (рис.2.1) состоит из центробежной насосной установки 2, подающей воду из ванны 1 прямоугольной формы в напорный бак 4; трубопровода переменного сечения 9, трубопровода с моделями местных сопротивлений (не схеме не показано); приемного бака 6 и пьезометров 7, закреплённых на щите 11. Напорный бак 4 снабжен переливной трубой 3, благодаря которой уровень воды в баке поддерживается постоянным. Уровни воды в баках определяются по показаниям водомерных стекол 5. Напорный бак 4 снабжен вентилем 8, к которому присоединён трубопровод 9. Для регулирования расхода воды в трубопроводе служит патрубок 10 со сливным краном на дне приемного бака 6, из которого вода вытекает в ванну 1. Измерение расхода осуществляется при помощи мерного сосуда и секундомера.

Рис 2.1. Схема лабораторной установки.
2.3. Указания к выполнению работы
Прежде чем проводить исследования необходимо подготовить установку к работе. Для этого путем подключения электрического шнура к розетке включается электрический насос 2. Вентиль 8 следует открыть, сливной кран 10 на приемном баке 6 закрыть. Как только вода начнет сбрасываться через сливную трубу 3, отключить электродвигатель и проверить уровни воды в водомерных стеклах 5 и пьезометрах 7. Они должны стабилизироваться на одной высоте Н₁. Причинами дестабилизации уровней могут быть: во-первых, наличие «воздушных пробок» в резиновых шлангах; во-вторых, засорение отверстий в штуцерах.

После исправления неисправностей следует вентилем 8 перекрыть трубопровод 9, а сливной кран 10 открыть для сброса части воды в приемном баке 6 до уровня Н₂ = 15…20 см. Затем включить электродвигатель, вентиль 8 открыть, а сливным краном 10 добиться стабилизации уровня Н_2. Этим приемом достигается установившееся движение, для которого справедливо уравнение Бернулли. Регулирование расхода обеспечивается изменением уровня Н₂ в приемном баке 6.
2.4. Порядок выполнения работы

По готовности лабораторной установки к работе выполняются следующие операции:

1) вычисляется расход объемным способом (см.п.1.4) и по показаниям водомерного счётчика; термометром измеряется температура воды.

Результаты измерений и вычислений заносятся в таблицу 2.1.

2) измеряются расстояния от входа в трубопровод до сечений, показания пьезометров, трубок Пито, водомерных стекол и заносятся в таблицу 2.2.

3) вычисляются площади поперечных сечений трубопровода, средние скорости движения жидкости в сечениях, числа Рейнольдса, скоростные напоры, потери напора. Значения также заносятся в таблицу 2.2.
Таблица 2.1

Экспериментальные и расчётные данные

Экспериментальные и расчётные данные

Ёмкость мерного сосуда V,	Время наполнения сосуда t, c			Расход воды	Температура воды,	Коэфф. кинемат. вязкости (форм.2.2)
	1	2	Сред.

2.5. Обработка результатов
По результатам измерений вычислить:

— объемный расход (Q) по методике, изложенной в п. 1.4;

— кинематический коэффициент вязкости ( ) по формуле 2.2;

— площадь сечения ( ) по формуле площади круга;

— среднюю скорость ( ) в сечении из формулы 2.3;

— число Рейнольдса (Re) по формуле 2.6;

— скоростной напор ( ) по формуле ;

— скоростной напор по показаниям трубки Пито;

— сумму пьезометрического и скоростного напоров;

— потери напора ( ) в сечении по формуле 2.7.

Результаты вычислений занести в таблицу 2.2.

Построить пьезометрическую линию и линию скоростного напора по уравнению Бернулли (2.4) для потоков реальной и идеальной жидкостей, отложив в каждом сечении и соответственно (см. п. 2.6.)

2.6. Построение линий удельных энергий
Графически уравнение Бернулли для потоков идеальной и реальной жидкостей можно представить в виде удельных энергий. Построение линий удельных энергий упростится, если совместить плоскость сравнения 0-0 с осью горизонтального трубопровода, что позволит исключить из уравнения ординаты Z.

Пьезометрические высоты потока идеальной жидкости находят как разность между уровнем воды в напорном баке и скоростным напором в сечениях при , т.к. линия скоростного напора совпадает с напорной плоскостью. Очевидно, что пьезометрическая, линия ( ) будет параллельна плоскости сравнения на участках трубопровода с постоянным поперечным сечением (см. рис.2.2.).

Рис 2.2. Диаграмма изменения удельных энергий для потоков жидкости
Для построения линий удельных энергий потока реальной жидкости используются численные значения пьезометрического и скоростного напоров из таблицы 2.2. Показания пьезометров дают возможность построить пьезометрическую линию ( ). Прибавляя в каждом сечении к отметкам пьезометрической линии скоростной напор можно построить линию скоростного напора. Построение этих линий желательно производить на миллиметровой бумаге, причем горизонтальный и вертикальный масштабы могут быть разными.

На рис.2.2. приведена диаграмма изменения удельных энергий для потоков идеальной и реальной жидкостей.

Пьезометрическая линия потока реальной жидкости вдоль оси трубопровода снижается, следовательно, не параллельна ей. Причем уклон линии тем дольше, чем больше скоростной напор в сечении. На конически сходящемся патрубке пьезометрическая линия снижается более резко, а на конически расходящемся также резко возрастает, меняя знак уклона линии на противоположный, за счет изменения скоростного напора.

Линия скоростного напора на участках трубопровода с постоянным сечением параллельна соответствующим отрезкам пьезометрической линии и вдоль оси трубопровода неизменно падает. Причем, она начинается не с напорной плоскости, немного ниже в связи с местной потерей энергии (напора) при входе в трубу.

Область потерь удельной энергии (напора) на преодоление гидравлических сопротивлений расположена над линией скоростного напора и ограничена напорной плоскостью.

Таким образом, графическая иллюстрация уравнения Бернулли дает наглядное представление о переходе одного вида удельной энергии в другой и, наоборот, о нарастании потерь удельной энергии вдоль трубопровода и позволяет количественно их оценить.

2.7. Контрольные вопросы
1. В чем заключается геометрический и энергетический (физический) смысл уравнений Бернулли для потоков идеальной и реальной жидкостей?

2. В чем заключаются отличительные признаки уравнения Бернулли для потоков идеальной и реальной жидкостей?

3. Каковы условия применимости уравнения Бернулли?

4. Поясните порядок построения линий удельных энергий.

5. Почему давление на участках трубопровода имеющих различное сечение неодинаково? Чем это объясняется?

Дистанционная лабораторная работа 5 по иллюстрации уравнения Бернулли

Цель работы. Опытное подтверждение уравнения Д. Бернулли, т. е. понижения механической энергии по течению и перехода потенциальной энергии в кинетическую и обратно (связи давления со скоростью).

Задание. На основе замеров при просмотре фильма и анализе фотографии течения жидкости в канале переменного сечения в устройстве № 4 построить линии энергий для потока и проверить их соответствие уравнению Бернулли.

Описание устройства № 4. Устройство № 4 содержит баки 1 и 2, сообщаемые через опытные каналы постоянного 3 и переменного 4 сечений (рис. 1). Каналы соединены между собой равномерно расположенными пьезометрами I–V, служащими для измерения пьезометрических напоров в характерных сечениях. Устройство заполнено подкрашенной водой.

В одном из баков предусмотрена шкала 5 для измерения уровня воды. При перевертывании устройства, благодаря постоянству напора истечения Н о во времени, обеспечивается установившееся движение воды в нижнем канале. Другой канал в это время пропускает воздух, вытесняемый жидкостью из нижнего бака в верхний.

Порядок выполнения работы.

1. Зарисовать схему устройства № 4 и составить таблицу следующего вида.

2. Посмотреть фильм с демонстрацией течения воды через канал переменного сечения в устройстве № 4 и секундомером замерить время t полного опорожнения верхнего бака.

3. Под таблицей записать значение времени t t опорожнения бака, объем бака принять равным W=700 см 3 и определить расход Q=W/t Q = W t .

4. В строке (стр.) 2 рассчитать среднюю скорость течения жидкости в каждом сечении канала: V=Q / w ω Скорость в нулевом сечении (перед входом в канал) принять равной нулю.

5. На фотографии канала с пьезометрами (рис. 2) снять показания пьезометров h_П1 . . . . h_П5 и записать их в стр. 3. В сечении VI пьезометрический напор равен 0.

6. В стр. 4 определить скоростной напор h_к в сечениях канала. Принять g = 981 см/с 2 .

7. В стр. 5 определить полный напор H H (полную удельную энергию) в каждом сечении. Так как опытный канал горизонтальный и плоскость сравнения 0–0 проведена через его ось, то геометрический напор z₁= z₂= 0 .

8. Вычертить в масштабе канал с осями пьезометров (рис. 3). Отложить от оси канала пьезометрические напоры h_П h _п на осях пьезометров, наметить уровни жидкости и соединить их между собой и центром выходного сечения VI , как показано на рис. 3. Получится пьезометрическая линия, показывающая изменение потенциальной энергии (давления) вдоль потока. Для получения напорной линии (линии полной механической энергии) нужно отложить от оси канала полные напоры Н и соединить полученные точки, как показано на рис. 3.

9. Проанализировать изменения полной механической H , потенциальной и кинетической V 2 /(2g) V 2 /(2 g ) энергий жидкости вдоль потока и проверить их соответствие нижеприведенным правилам построения линий энергий, вытекающим из уравнения Бернулли.

А. Напорная линия (полный напор постоянно понижается по течению (если на рассматриваемом участке нет насоса) ввиду необратимого преобразования механической энергии в тепловую при преодолении потоком сил гидравлического трения. Причем уклон линии (потери напора h тр ) тем больше, чем меньше сечение участка потока (см. рис. 3).

Б. Пьезометрическая линия отражает изменение потенциальной энергии (z + ) , и, в отличие от напорной, может не только понижаться, но и повышаться по течению. Это происходит при расширении потока (см. рис. 2, 3) за счет повышения давления p ввиду уменьшения скорости V . Пьезометрическая линия проходит через центр тяжести выходного сечения канала (трубопровода) при истечении жидкости в атмосферу и ниже оси канала, если давление в нем меньше атмосферного.

В. Расстояние между пьезометрической и напорной линиями численно равно кинетической энергии α V 2 /( 2 g ) и поэтому обратно пропорционально диаметру трубы. Для участков потоков постоянного сечения средние скорости одинаковы по пути, поэтому такие линии, как правило, параллельны между собой (рис. 3). Эти линии для потоков в конфузорах (конических сходящихся патрубках) расходятся, а в диффузорах (конических расходящихся патрубках) – сходятся. В баках и водоёмах, где жидкость не движется (V=0) ( V =0) , напорная и пьезометрическая линии энергий совпадают со свободной поверхностью, если она находится под атмосферным давлением.

10. Записать выводы , где указать какие знания и навыки получены при выполнении данной работы и в каких сферах инженерной деятельности они могут быть применены.

Лекция 4

4.1. Уравнение Бернулли для жидкости

Рассмотрим поток жидкости, проходящий по трубопроводу переменно­го сечения (рис. 10). В первом сечении гидродинамический напор пусть ра­вен H1. По ходу движения потока часть напора H1 необратимо потеря­ется из-за проявления сил внутреннего трения жидкости и во втором сечении напор уменьшится до H2 на величину потерь напора H.

Уравнение Бeрнýлли для жидкости в самом простейшем виде записывается так:

то есть это уравнение для двух сечений потока в направлении его течения, выраженное через гидродинамические напоры и отражающее закон сохра­нения энергии (часть энергии переходит в потери) при движении жидкости.

Уравнение Бeрнýлли в традиционной записи получим, если в по­следнем ра­венстве раскроем значения гидродинамических напоров H1 и H2 (м) :

.

Энергетический смысл уравнения Бeрнулли заключается в том, что оно отражает закон сохранения энергии: сумма потенциальной z+hp, кинетической v2/2g энергии и энергии потерь H остаётся неизменной во всех точках потока.

4.2. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0-0 определяется вертикальной координатой Z. Для реальных гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень подвала дома для домашнего водопровода.

· Как и в гидростатике, величину Z называют нивелирной высотой.

· Второе слагаемое — носит название пьезометрическая высота. Эта величина соответствует высоте, на которую поднимется жидкость в пьезометре, если его установить в рассматриваемом сечении, под действием давления P.

· Сумма первых двух членов уравнения ¾ гидростатический напор.

· Третье слагаемое в уравнения Бернулли называется скоростной высотой или скоростным напором. Данную величину можно представить как высоту, на которую поднимется жидкость, начавшая двигаться вертикально со скорость u при отсутствии сопротивления движению.

· Сумму всех трёх членов (высот) называют гидродинамическим или полным напором и, как уже было сказано, обозначают буквой Н.

№ п/п	Наименование показателей	Сечения
		1	2	3	4	5	6	7	8
1	Расстояние сечения от входа в трубу
2	Показания пьезометров
3	Диаметр сечения d, м
4	Площадь сечения
5	Средняя скорость в сечении
6	Число Рейнольдса
7	Коэффициент кинетической энергии
8	Скоростной напор в сечении (теоретический) ,
9	Скоростной напор в сечении (опытный) , м
10	Сумма удельных энергий (напоров) в сечении
11	Потери напора от входа в трубу до сечения , м
12	Уровень воды в напорном баке, м
13	Уровень воды в приемном баке, м

Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины и их можно изобразить графически.

4.3. Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли

Выше было получено уравнение Бернулли с использованием энергетических характеристик жидкости. Суммарной энергетической характеристикой жидкости является её гидродинамический напор.

С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом, гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. И для идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости.

.

Физический смысл слагаемых, входящих в уравнение следующий:

· Z — потенциальная энергия единицы веса жидкости (удельная энергия) – энергия, обусловленная положением (высотой) единицы веса жидкости относительно плоскости сравнения (нулевого уровня), принимаемой за начало отсчета;

· — потенциальная энергия единицы веса жидкости — энергия, обусловленная степенью сжатия единицы веса жидкости, находящейся под давлением ;

· — полная потенциальная энергия единицы веса жидкости;

· — кинетическая энергия единицы веса жидкости — энергия, обусловленная движением единицы веса жидкости со скоростью u;

· H — полная энергия единицы веса жидкости (полная удельная энергия).

4.4. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно уменьшается. Т. е. напор потока Hпотока в направлении движения потока становится меньше. Если рассмотреть два соседних сечения 1-1 и 2-2, то потери гидродинамического напора Δh составят:

,

где H1-1— напор в первом сечении потока жидкости,

H2-2 — напор во втором сечении потока,

∆h — потерянный напор — энергия, потерянная каждой единицей веса движущейся жидкости на преодоление сопротивлений на пути потока от сечения 1-1 до сечения 2-2.

С учётом потерь энергии уравнение Бернулли для потока реальной жидкости будет выглядеть

Индексами 1 и 2 обозначены характеристики потока в сечениях 1-1 и 2-2.

Если учесть, что характеристики потока V и α зависят от геометрии потока, которая для напорных потоков определяется геометрией трубопровода, понятно, что потери энергии (напора) в разных трубопроводах будут изменяться неодинаково. Показателем изменения напора потока является гидравлический уклон I, который характеризует потери напора на единице длины потока. Физический смысл гидравлического уклона – интенсивность рассеяния энергии по длине потока. Другими словами, величина I показывает, как быстро трубопровод поглощает энергию потока, протекающего в нём

.

Изменение энергии по длине потока удобно проследить на графиках. Из уравнения Бернулли для потока реальной жидкости (закона сохранения энергии) видно, что гидродинамическая линия для потока реальной жидкости (с одним источником энергии) всегда ниспадающая. То же справедливо и для пьезометрической линии, но только в случае равномерного движения, когда скоростной напор а уменьшение напора происходит только за счёт изменения потенциальной энергии потока, главным образом за счёт уменьшения давления P.

4.5. Разность напоров и потери напора

Различие в применении терминов «разность напоров» и «потери напора» с одним и тем же обозначениемH поясним на примерах.

Движение жидкости происходит только при наличии разности на­поров (H = H1 — H2), от точки с бóльшим напором H1 к точке с ме­ньшим H2. Например, если два бака, заполненных водой до разных вы­сотных отметок, соединить трубопроводом, то по нему начнётся пере­текание в бак с меньшей от­меткой уровня воды под влиянием разности напоров H, равной в этом случае разности отметок уровней воды в ба­ках. При выравнивании уровней напоры в обоих баках становятся оди­наковыми H1 = H2 , разность напоров H=0 и перетекание пре­кращается.

Потери напора H отражают потерю полной энергии потока при движении жидкости. Если в предыдущем примере на трубе установить задвижку и закрыть её, то движение воды прекратится и потерь напора не будет (H = = 0), однако разность уровней воды будет создавать неко­торую разность напоров H. После открывания задвижки вода вновь начнёт перетекать по трубе и общие потери напора в трубопроводе при движении из одного бака в другой будут равны разности напоров в баках H = H1 — H2 , то есть мы опять пришли к уравнению Бернулли.

Таким образом, «разность напоров» является причиной движения воды, а «потеря напора» — следствием. При установившемся движении жидкости они равны. Измеряются они в одних и тех же единицах СИ: метрах по высоте.

Обычно в гидравлических задачах при известных v или q опреде­ляемая величина H назывется потерей напора и, наоборот, при оп­ределении v или q известная H — разностью напоров.

4.6. Связь давления и скорости в потоке

Связь давления и скорости в потоке жидкости — обратная: если в каком-то месте потока скорость увеличивается, то давление здесь малó, и, наоборот, там, где скорости невелики, давление повышенное. Эту законо­мерность объясним на основе уравнения Бернýлли.

Рассмотрим работу водоструйного насоса (см. рис. 11). На подходе по на­гнетательному трубопроводу 1 поток рабочей жидкости имеет относи­те­ль­но небольшую скорость v1 и высокое избыточное давление pизб1. Проходя через соплó 2, поток сужается, скорость его резко возрастает до v2. Для дальнейших рассуждений запишем уравнение Бернýлли так:

.

Здесь нет z1 и z2, так как труба горизонтальная, а величиной потерь на­пора DH» 0 пренебрегаем. Так как в правой части уравнения кинети­ческая составляющая энергии потока резко возросла из-за увеличения v2, то потенциальная составляющая, связанная с избыточным давлением после соплá pизб2, наоборот, уменьшится. Величину pизб2 можно выразить из этого уравнения и найти численное значение. Если pизб2 получается отри­цательным, то, значит, возник вакуум (полное давление в струе стало меньше атмосферного). В последнем случае пьезометрическая линия опу­стится ниже отметки самой струи (см. рис 11).

Таким образом в струе рабочей жидкости после соплá образуется об­ласть пониженного давления или даже вакуум, что вызывает подсос транс­портируемой жид­кости по всасывающему трубопроводу 3 (см. рис. 11). Далее обе жидкости смешиваются в горловине 4 и транспортируются по отво­дяще­му трубопро­воду 5.

Водоструйные насосы не имеют трущихся частей, в этом их пре­имущес­тво перед механическими. По их принципу работают также эжекто­ры, гидро­эле­ваторы, насосы для создания вакуума.