Графическая интерпретация уравнений и их систем

Системы уравнений с двумя переменными

п.1. Понятие системы уравнений с двумя переменными и её решения

п.2. Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными

Поскольку каждое из уравнений с двумя переменными можно изобразить в виде графика на плоскости, графический метод решения систем таких уравнений достаточно удобен.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите графическим способом систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <4x+3y=0>& \end\right. \)
\( \mathrm \) – окружность с центром в начале координат
\( \mathrm <4x+3y=0>\) – прямая \( \mathrm \)

Система имеет два решения (–3; 4) и (3; –4)
Ответ: <(–3; 4) ; (3; –4)>.

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
\( \mathrm \) – гипербола \( \mathrm \)
y – x = 4 – прямая y = x + 4

Система имеет два решения (–5; –1) и (1; 5)
Ответ: <(–5; –1) ; (1; 5)>.

в) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
x 2 + y = 1 – парабола y = –x 2 + 1
x 2 – y = 7 – парабола y = x 2 – 7

Система имеет два решения (–2; –3) и (2; –3)
Ответ: <(–2; –3) ; (2; –3)>.

г) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
xy = 1 – гипербола \( \mathrm \)
x 2 + y 2 = 2 – окружность с центром в начале координат, радиусом \( \mathrm<\sqrt<2>> \)

Система имеет два решения (–1; –1) и (1; 1)
Ответ: <(–1; –1) ; (1; 1)>.

Пример 2*. Решите графическим способом систему уравнений
a) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <\frac1x-y=1>& \end\right. \)
x 3 – y = 1 – кубическая парабола y = x 3 – 1, смещённая на 1 вниз.
\( \mathrm <\frac1x-y=1>\) – гипербола \( \mathrm \), смещённая на 1 вниз

Система имеет два решения (–1; –2) и (1; 0)
Ответ: <(–1; –2) ; (1; 0)>.

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm <|x|+|y|=2>& \\ \mathrm & \end\right. \)
|x| + |y| = 2 – квадрат с диагоналями 4, лежащими на осях
x 2 + y 2 = 4 – окружность с центром в начале координат, радиусом 2

Система имеет четыре решения (2; 0), (0; 2) , (–2; 0) и (0; –2)
Ответ: <(2; 0) ; (0; 2) ; (–2; 0) ; (0; –2)>.

в) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
y – x 2 = 4x + 6 – парабола y = (x 2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2) 2 + 2, ветками вверх, смещённая на 2 влево и на 2 вверх
y + |x| = 6 – ломаная, y = –|x| + 6. Для x > 0, y = –x + 6, для x 0, y = x, для x

Повторение по теме «Графическая интерпретация уравнений, неравенств и их систем». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цель: повторение графического способа решения неравенств 2-й степени, уравнений и систем уравнений при подготовке к ГИА с применением ИКТ (презентация).

Ход урока

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

а) № 1019 [1] (работа на интерактивной доске)

б) № 1028(а, б, е) [1] (построение эскизов на интерактивной доске)

в) Выступление ученика. с индивидуальным исследовательским заданием

Задача

Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

№ 23 (КИМ ГИА) Постройте график функции у= и определите, при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

(проверка с помощью документ – камеры или заранее подготовленного учащимися слайда)

3. Формулировка темы урока

• На какие вопросы с использованием графиков функций мы отвечали, выполняя домашнее задание?
• Какие еще задания можно выполнить с применением графиков функций?
• Сформулируйте тему урока

4. Решение упражнений на повторение свойств линейной, квадратичной и др. функций с использованием интерактивной доски

№ 1429, 1334, 1356, 1375, 1385 [2]

5. Физкультминутка

6. Повторение алгоритма решения квадратных неравенств (по готовым чертежам)

x 2 – х – 6 > 0; x 2 – х – 6 ≥ 0; x 2 – х – 6 2 – х – 6 ≤0.

x 2 – 6х+ 9 2 – 6х+ 9≤ 0; x 2 – 6х+ 9> 0; x 2 – 6х+ 9≥ 0.

– x 2 + 5х–9,6 > 0; – x 2 + 5х–9,6 2 + 4х 2 -6х+8 и прямая х + у = 4. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

10. Домашнее задание

№ 1011 (а, г) , № 1032 (б, в), № 977 [1]

Литература:

1. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ А45 [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – 17-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. ГИА: 300 задач с ответами по математике/А.Л. Семенов, И.В. Ященко, Л.О. Рослова, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, А. С. Трепалин, П.И. Захаров, В.А. Смирнов, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2013.

Графический метод решения системы уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.