Графически или аналитически отделить корень уравнения

Графически или аналитически отделить корень уравнения

1. Приближенное решение нелинейных уравнений

Пусть дано уравнение с одним неизвестным

, (1.1)

где f ( x ) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.

Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций — показательная , логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения х , которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.

В общем случае не существует формул, по которым определяются точные значения корней уравнения (1.1). Для отыскания корней используют приближенные методы, при этом корни находятся с некоторой заданной точностью ε . Это означает, что если x — точное значение корня уравнения, а x ’ — его приближенное значение с точностью ε , то | x — x ’ | ≤ ε . Если корень найден с точностью ε , то принято писать x = x ± ε .

Будем предполагать, что уравнение (1.1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f ( x ), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).

2. Уточнение корней до заданной точности.

Отделение корней можно проводить графически и аналитически.

Для того , чтобы графически отделить корни уравнения (1.1), строят график функции y = f ( x ). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox есть действительные корни уравнения (рис. 1). Практически бывает удобнее заменить уравнение (1.1) равносильным ему уравнением

, (1.2)

где Φ( x ) и Ψ( x ) — более простые функции, чем f ( x ). Абсциссы точек пересечения графиков функций y = Φ( x ) и y = Ψ( x ) дают корни уравнения (1.2), а значит и исходного уравнения (1.1) (рис.2).

Аналитическое отделение корней основано на следующей теореме: если непрерывная на отрезке [ a , b ] функция y = f ( x ) принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f ( a )· f ( b ) f ( x ) = 0; если при этом производная f ’ ( x ) сохраняет знак внутри отрезка [ a , b ], то корень является единственным.

Уточнение корней заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Рассмотрим самый простой из них — метод половинного деления.

Пусть корень отделён и принадлежит отрезку [ a , b ]. Находим середину отрезка [ a , b ] по формуле

Если f ( c ) = 0, то с — искомый корень. Если f ( c ) ≠ 0, то в качестве нового отрезка изоляции корня [ a ₁ , b ₁ ] выбираем ту половину [ a , c ] или [ c , b ], на концах которой f ( x ) принимает значения разных знаков. Другими словами, если f ( a ) ∙ f ( c ) a , c ], если f ( a ) ∙ f ( c ) — отрезку [ c , b ]. Полученный отрезок снова делим пополам, находим c₁ ,

вычисляем f ( c ₁ ), выбираем отрезок [ a ₂ , b ₂ ] и т.д. Длина каждого нового отрезка вдвое меньше длины предыдущего, то есть за n шагов отрезок сократится в 2 n раз. Как только будет выполнено условие

то в качестве приближенного значения корня, вычисленного с точностью ε , можно взять

Пример . Пусть требуется решить уравнение

с точностью ε = 0,0001. Отделим корень графически. Для этого преобразуем уравнение к виду

и построим графики функций (рис. 4):

Из рисунка видно, что абсцисса точки пересечения этих графиков принадлежит отрезку [0; 1].

Подтвердим аналитически правильность нахождения отрезка изоляции корня. Для отрезка [0; 1] имеем:

. Следовательно, корень отделён правильно.

Уточнение корня выполним методом половинного деления.

Корень принадлежит отрезку

Корень принадлежит отрезку

Корень принадлежит отрезку

Реферат: Отделение корней. Графический и аналитический методы отделения корней

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Владимирский государственный университет

Кафедра автоматизации технологических процессов

по предмету: “ Моделирование систем”

на тему: ”Отделение корней. Графический и аналитический методыотделения корней”

Содержание

1. Отделение корней. 3

2. Графический метод. 4

3. Аналитический метод (табличный или шаговый). 5

4. Метод половинного деления (Дихотомии). 9

1. Отделение корней

В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на

известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на

концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b) 3 -6x+2=0 видим, что при при что уже свидетельствует о наличии хотя бы одного корня.

Для уравнения видим, что Обнаружив, что устанавливаем факт наличия единственного корня, и остается лишь найти его (как говорится, за немногим стало дело).

Если предварительный анализ функции затруднителен, можно “пойти в лобовую атаку”. При уверенности в том, что все корни различны, выбираем некоторый диапазон возможного существования корней (никаких универсальных рецептов!) и производим “прогулку” по этому интервалу с некоторым шагом, вычисляя значения f(x) и фиксируя перемены знаков. При выборе шага приходится брать его по возможности большим для минимизации объема вычислений, но достаточно малым, чтобы не пропустить перемену знаков.

2. Графический метод

Этот метод основан на построении графика функции y=f(x). Если построить график данной функции, то искомым отрезком [a,b], содержащим корень уравнения (1), будет отрезок оси абсцисс, содержащий точку пересечения графика с этой осью. Иногда выгоднее функцию f(x) представить в виде разности двух более простых функций, т.е. и строить графики функций и . Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет являться корнем уравнения (1), а отрезок на оси абсцисс которому принадлежит данный корень, будет являться интервалом изоляции. Этот метод отделения корней хорошо работает только в том случае, если исходное уравнение не имеет близких корней. Данный метод дает тем точнее результат, чем мельче берется сетка по оси Ох.

Пример. Графически решить уравнение .

Решение. Запишем исходное уравнение в виде: , т.е. и .

Таким образом, корни данного уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения кривых и .

Теперь построим графики функций и определим интервал изоляции корня.

3. Аналитический метод (табличный или шаговый).

Для отделения корней полезно помнить следующие известные теоремы:

1) если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. f(a)f(b) 0, значит корня на отрезке [0;0.5] нет.

f(0.5)f(1) 0, значит корня на отрезке [0.5;0.75] нет.

Численные методы решения нелинейных уравнений

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме нахождения корней нелинейных уравнений численными методами. На первом этапе обычно происходит локализация (отделение) корней (графически или аналитически), на втором — уточнение (поиск) корней разными методами: Ньютона, Стеффенсена, секущих, хорд, касательных, простой итерации.

Примеры приближенных решений нелинейных уравнений онлайн

Задача 1. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке $[a;b]$ с точностью $\varepsilon = 10^<-2>$. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью $\varepsilon=10^<-4>$. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.

Задача 2. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически $2 arcctg x -x+3=0$.

Задача 3. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$3x^4-8x^3-18x^2+2=0.$$

Задача 4. Отделить корни нелинейного уравнения графически (например, в среде EXCEL) уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$x^2-20 \sin x =0.$$

Задача 5. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом хорд с точностью до 0,001. Уточните один из корней этого уравнения методом касательных с точностью до 0,001. $$ \sqrt — \cos 0.387 x =0.$$

Задача 6.Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. $$\sqrt=\frac<1>.$$

Задача 7. На отрезке $[0;2]$ методом Ньютона найти корень уравнения $-x^3-2x^2-4x+10=0$ с точностью 0,01.

Задача 8. Методом хорд найти отрицательный корень уравнения $x^3-2x^2-4x+7=0$ с точностью 0,0001. Требуется предварительное построение графика функции и отделение корней.

Задача 9. Решить нелинейные уравнения с точностью до 0.001. $$1)\, x^3-12x-5=0\, (x \gt 0), \, 2)\, \tan x -1/x=0. $$