Графически уравнение пример 8 класс

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»

Разделы: Математика

Всякое учение и всякое обучение основано на некотором уже ранее имеющемся знании.

Цели:

• обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения;
• научить решать уравнения графическим способом, в частности используя возможности компьютерных программ;
• учить анализировать, выделять главное, сравнивать.

Формирование компетенций: компетенции самосовершенствования – саморегулирование и саморазвитие, речевое развитие (через устную и самостоятельную работу, формулировка выводов); компетенции социального взаимодействия – сотрудничество; компетенции в общении – устном, письменном; компетенции познавательной деятельности – постановка и решение познавательных задач, проблемные ситуации (их создание и разрешение), прогнозирование деятельности; компетенции информационных технологий – приём, переработка и выдача информации, компьютерная грамотность.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Средства обучения: компьютер, медиапроектор, презентация (Приложение 1).

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная, диалог, работа с текстом слайда, работа в тетради, парная.

Методы: наглядный, словесный, графический (практический).

Методы мотивации: поощрение, порицание; создание проблемной ситуации, побуждение к поиску решения; предъявление учебных требований, прогнозирование будущей деятельности, самооценка деятельности; создание ситуации взаимопомощи, заинтересованность в результатах коллективной работы.

1. Оргмомент (1 мин.)

2. Актуализация знаний (12 мин.)

А). По карточкам (на доске):

№1. Решите уравнение 4х + 8 = –17 + 9х.
№2. Решите уравнение х 2 + х – 2 = 0.
№3. Решите уравнение х 2 = .
№4. Заполните таблицу:

(На этом этапе можно организовать взаимопроверку и взаимопомощь, если возникнет такая необходимость).

Б). Устная фронтальная работа. (Здесь и далее: подчёркивание – моменты управления презентацией)

Что называется функцией?

С какими функциями уже знакомы? (На партах – памятка, по которой учащиеся вспоминают связь между графиком и формулой, задающих функцию: Приложение 2).

Я предлагаю вашему вниманию формулы, задающие некоторые функции. Из этих функций нужно выбрать линейные. Но перед этим давайте вспомним определение линейной функции. (Работаем со слайдом 2).

Давайте вспомним, что является графиком (гиперссылка) линейной функции.

Среди выбранных нами линейных функций есть особенные. Что это за функции? Чем отличаются графики? (Разбейте линейные функции на две группы). (Работаем со слайдом 3).

Остались функции, о которых мы ничего ещё не сказали. Давайте дадим им название, и название их графикам. (Работаем со слайдом 4).

Что называется уравнением? Корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие уравнения мы уже можем решать?

В) Проверяется работа по карточкам №1; №2; №3.

1) 4х + 8 = –17 + 9х,
4х – 9х = – 17 – 8,
– 5х = – 25,
х = 5.
Ответ: 5.

2) х 3 + х – 2 = 0,
D = в 3 – 4ас = 12 – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0, уравнение имеет два корня.
х₁ = 1;
х₂ = – 2.
Ответ: 1; – 2. (Могут решать по свойству корней: а + в + с = 0).

3) х 2 = ,
х 3 = 6,
х 3 – 6 = 0. – Мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени. Как быть?

Значит, нужен другой способ решения таких уравнений. Как вы думаете, что это может быть за способ (исходя из устной работы). Одним из способов является графический способ. Записывается тема урока, (слайд 5).

Г). Давайте поставим цель урока. (Научиться решать уравнения с помощью графиков, слайд 6).

3. Изучение новой темы и первичное закрепление (15 мин.)

Мы получили уравнение х 3 – 6 = 0. Но строить график функции у = х 3 – 6 мы ещё не умеем. Т.е., что получается: это уравнение и графическим способом мы не можем решить? А может быть, нужно вернуться к первоначальному уравнению: х 2 = (слайд 7). Что мы видим внутри этого уравнения? Есть ли выражения, из которых мы можем составить знакомые нам функции? (Да: у = х 2 и у = ). Что нужно сделать?
– Построить их графики.

– В одной координатной плоскости.

– Дальше найдём координаты точки пересечения.

– Нет, только значение х.

Итак, давайте ещё раз выработаем алгоритм решения уравнений графическим способом (каждый этап подтверждается показом в «Живой геометрии», Приложение 3). Используются результаты индивидуальной работы по заполнению таблицы (карточка №4). Учащиеся работают в тетрадях. Некоторые этапы в тетради записываются подробно, (слайд 7).

• Из уравнения выделяем знакомые нам функции.
• Строим графики функций в одной координатной плоскости.
• Находим координаты точек пересечения графиков.
• Из найденных координат выбираем значение абсциссы, т.е. х.
• Записываем ответ.

4. Физминутка (1 мин.)

5. Закрепление (5 мин.)

• Сколько корней имеет уравнение? (Гиперссылка – слайд 8, в «Живую геометрию», 3 страницы. Приложение 4). а) б) х + 2 = х 2 ; в) = х 2 .
• Попади в цель! (Слайд 9. Работа со слайдом показана на рисунке 1)

6. Домакшнее задание (слайд 10): (1 мин)

• п.26;
• № 623 (а), № 624(а);
• №4.10 на стр.117 (сборник Л.В.Кузнецовой): Наташа, Настя, Кирилл, Сергей.

7. Применение в образовательной области (1 мин)

Умения строить графики, читать графики, находить точки пересечения графиков нужны не только при изучении алгебры, но и при изучении физики, когда вы изучаете, н-р, зависимость плавления тела от температуры, зависимость скорости от времени движения двух тел. На уроках информатики, работая в электронных таблицах Excel, вы будете учиться строить графики, решать уравнения. На уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Умение строить графики, диаграммы нужны и в повседневной жизни: для описания результатов голосования, удоя молока; в инженерных специальностях это умение очень важно.

8. Проверочная работа в виде теста (6 мин)

В – 1:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = – 2; б) у = х – 2; в) у = х 2 – 2.

2. График функции у = называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = ; 2) у = 2х 2 ; 3) у = х – 2; 4) у = 2х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 3 изображены графики функций у = х 3 и у = –2 х – 3. Используя графики, решите уравнение: х 3 = – 2х – 3.

В – 2:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = + 1; б) у = + 1; в) у = х 5 + 1.

2. График функции у = 3х 2 называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = – ; 2) у = х 2 – 1; 3) у = – х; 4) у = 1 – х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 5 изображены графики функций у = – х 2 + 2 и у = . Используя графики, решите уравнение: – х 2 + 2 = .

Ответы:

В – 1: 1. б 2. б 3. 1 – Б; 2 – А; 3 – В; 4 – Г 4. б
В – 2: 1. а 2. в 3. 1 – В; 2 – Г; 3 – А; 4 – Б 4. а

9. Рефлексивно-оценочный этап (отвечают письменно в тетради после выполнения теста) (2 мин.) (Слайд 11)

а) за теоретический опрос;
б) за фронтальную работу;
в) за самостоятельную работу.

Алгебра. 8 класс

Тема: Решение уравнений графическим способом

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Решим графическим способом уравнение:

Решить уравнение – значит найти такие значения x, при которых выполняется равенство x 2 = −3x
Построим в одной системе координат два графика:
график функции y = x 2 и график функции y = −3x.
Для каждого графика составим таблицы значений
y = x 2 – на рисунке синий график

y = −3x – на рисунке красный график

Заметим, что графики пересекаются в двух точках: точке с координатами (0 ; 0) и в точке с координатами (–3 ; 9). Это значит, что при x = 0 и при x = –3 функции y = x 2 и y = −3x имеют одинаковые значения.
Таким образом получаем, что при x = 0 и при x = –3 выполняется равенство x 2 = −3x.
Значит значения x = 0 и x = –3 являются корнями уравнения x 2 = −3x.
Корни, найденные графическим способом – приближённые. Чтобы доказать точность значений корней, надо каждый из них подставить в решаемое уравнение и проверить: выполняется ли полученное равенство.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = 0.

0 = 0 – верное равенство, значит x = 0 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = –3.

9 = 9 – верное равенство, значит x = −3 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подведём итог.
Чтобы решить уравнение f₁(x) = f₂(x) графическим способом, необходимо:
1) Построить в одной системе координат графики функций y = f₁(x) и y = f₂(x). Абсциссы точек пересечения – это приближённые корни уравнения f₁(x) = f₂(x).
2) Необходимо подставить каждый приближённый корень в уравнение f₁(x) = f₂(x). Те корни, при которых получается верное равенство будут являться точными корнями уравнения f₁(x) = f₂(x).

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Графический способ решения уравнений АЛГЕБРА: 8 КЛАСС. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемЯн Заозерский

Похожие презентации

Презентация на тему: » Графический способ решения уравнений АЛГЕБРА: 8 КЛАСС.» — Транскрипт:

1 Графический способ решения уравнений АЛГЕБРА: 8 КЛАСС

2 Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b,c – любые числа ( коэффициенты ), причем а 0. Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь решать некоторые квадратные уравнения, причём различными способами; мы рассмотрим эти способы на примерах одного квадратного уравнения. Пример. Решить уравнение х 2 — 2х-3=0

3 1 способ. Построим график функции у = х 2 -2х -3. у х -4-4 у= -4 х=1 3 у=х 2 -2х-3 Рис.1 Абсциссы точек пересечения параболы с осью х являются корнями уравнения, т.е. х 1 = -1, х 2 = 3.

4 2 способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 = 2х+3. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 и у = 2х + 3. Они пересекаются в двух точках А (-1,1) и В (3,9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит х 1 = -1, х 2 = 3. у х 9 3 А В у = х 2 у = 2х + 3 Рис.2

5 3 способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 – 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 – 3 и у = 2х. Они пересекаются в двух точках А (-1,-2) и В (3,6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, значит х 1 = -1, х 2 = 3. у х 6 В у = 2х А у = х 2 – 3 Рис.3

6 4 способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 –2х+1–4 = 0 и далее х 2 –2х+1=4, т.е.( х – 1 ) 2 =4. Построим в одной системе координат параболу у = ( х – 1 ) 2 и прямую у =4. Они пересекаются в двух точках А (-1,4), и В (3,4). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, значит х 1 = -1, х 2 = 3. у х Х=1 А 4 В у =4 у = ( х – 1 ) Рис.4

7 Рис. 5 у х А В у=х-2 5 способ. Разделим обе части уравнения на х: у

8 Применим рассмотренные способы решения для других уравнений.

9 21 у=x y x A у=2x Решите уравнение: х² — 2х = 0 Преобразуем уравнение к виду х² = 2х Построим в одной системе координат график функций у = х² и у = 2х Они пересекаются в двух точках А(0;0) и В(2;4), значит уравнения имеет 2 решения. Корнями уравнения служат общие абсциссы точек А и В, значит х 1 = 0; х 2 = 2 Рис.6

10 y x A B у=x 2 у=2x Решите уравнение: х² — 2х – 3 = 0 Преобразуем уравнение к виду х² = 2х + 3. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 и у = 2х + 3. Они пересекаются в двух точках А(-1;1) и В(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит х 1 = -1; х 2 = 3.

11 у=3 у=x 2 -2x y x Преобразуем уравнение к виду х 2 — 2х = 3. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 — 2х и у = 3. у (1) = 1 2 – 2 * 1 = -1 Значит, вершиной параболы служит точка (1; -1), а осью параболы служит прямая х=1. Графики функции пересекаются в двух точках А(-1;3) и В(3;1) Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит х 1 = -1; х 2 = 3.

12 A B y = x — 4 y x Они пересекаются в двух точках А(-1,1; — 4) и В(5;1) Корнями уравнения служат абсциссы этих точек, поэтому х 1 = -1,1; х 2 = 5. и прямую у = х-4.

13 Замечание. Несмотря на обилие способов графического решения уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы сможем решить графически, нет. Пусть, например, нужно решить уравнение х 2 -х-3=0 ( специально возьмём уравнение, похожее на то, что было в рассмотренном примере). Попробуем его решить, например, вторым способом: преобразуем уравнение к виду х 2 =х+3, построим параболу у=х 2 и прямую у=х+3, они пересекаются в точках А и В (рис.6), значит, уравнение имеет два корня. Но чему равны эти корни, мы с помощью чертежа не можем сказать – точки А и В имеют недостаточно точные координаты, как в приведённом в выше примере. Рис. 6 у х А В у=х+3 у=х 2

14 А теперь рассмотрим уравнение: х 2 -16х -95=0. Попробуем его решить, например, третьим способом. Преобразуем уравнение к виду х 2 -95=16х. Здесь надо построить параболу у=х и прямую у=16х. Но ограниченные размеры листа тетради не позволяют этого сделать, ведь параболу у=х 2 надо опустить на 95 клеток вниз.

15 Итак, для того, чтобы хорошо уметь решать уравнения графическим способом, необходимо четко знать свойства всех функций, уметь точно строить их графики и находить без ошибок абсциссы точек пересечения, которые и будут является решениями уравнений. Графический способ решения квадратных уравнений не всегда является рациональным, поэтому в таких случаях лучше воспользоваться аналитическим способом решения уравнений.

16 Рекомендации по решению уравнений графическим способом. Чтобы научиться правильно решать уравнения графическим способом надо: Знать свойства и графики функций. Уметь правильно строить графики этих функций. Уметь правильно находить координаты точек пересечения графиков, абсциссы которых будут являться корнями данного уравнения.