Графический способ решения тригонометрических уравнений презентация

Методы решения тригонометрических уравнений
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

Презентация к уроку в 10 классе

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Шишкина Елена Павловна, учитель математики МБОУ г.Мурманска гимназии №2

I . СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ.

Пример: Пусть . Уравнение примет вид: — не удовлетворяет условию Ответ: .

II . ОДНОРОДНЫЕ И СВОДИМЫЕ К НИМ .

Уравнение вида называется однородным уравнением I степени.

Пример: Множество значений x , удовлетворяющих уравнению , не является решением данного уравнения. Поэтому можно обе части уравнения разделить на . Получим: Ответ : .

Уравнение вида называется однородным уравнением II степени.

Пример: Решение: Множество значений x , удовлетворяющих уравнению , не является решением данного уравнения. Разделим обе части уравнения на . Получим:

Пусть . Уравнение примет вид: Ответ:

III . ЕСЛИ В УРАВНЕНИИ СОДЕРЖИТСЯ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ SIN (А X ) SIN ( BX ) , SIN ( AX ) COS ( BX ) , COS ( AX ) COS ( BX ) , ТО ТАКИЕ УРАВНЕНИЯ РЕШАЮТСЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В СУММУ (РАЗНОСТЬ) И НАОБОРОТ.

При этом применяют тождества:

Пример 1. Ответ: . или

IV . ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНИ.

Если в уравнении содержатся чётные степени sinx и cosx , то понижают степень уравнения с применением понижающих формул:

V . РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ.

VI . ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА.

Пример Решение: Разделим обе части уравнения на Получаем: Ответ:

VII . ПРИМЕНЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ПОДСТАНОВКИ.

Пример Решение: Пусть: . Уравнение примет вид . О.Д.З. . не удовлетворяет условию Ответ: ; .

Пример 2: Решение: Проверка: Ответ: ; .

VIII . ВВЕДЕНИЕ НОВОГО ПЕРЕМЕННОГО.

! Если в уравнении содержится сумма или разность sinx и cosx и их произведения, то уравнение решается введением нового переменного:

Пример: Пусть: (Решите самостоятельно)

IX . ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ОГРАНИЧЕННОСТИ (МИНИМАКС).

Пример: k – целое Ответ: .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Основные методы решения тригонометрических уравнений (профильный уровень)

Урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков, приобретенных при изучении данной темы. Сопровождается мультимедийной презентацией.

Методы решения тригонометрических уравнений

Данная презентация может быть использована как индивидуальная самостоятельная работа с последующей самопроверкой по теме «Методы решения тригонометрических уравнений».

Урок «Методы решения тригонометрических уравнений»

p < margin-bottom: 0.21cm; >Данный урок является заключительным в теме “Методы решения тригонометрических уравнений”. На изучение этой темы в программе отводится 12 часов.

Конспект и презентация урока алгебры в 10 классе по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений»

Урок систематизации знаний по теме «Решение тригонометрических уравнений» можно проводить как в 10 классе ( при изучении соответствующего материала), так и в 11 класе (при подготовке к ЕГЭ).

Методы решения тригонометрических уравнений

В работе рассматриваются различные способы решения тригонометрических уравнений и основные ошибки, которые при этом допускаются. Материал можно использоватьпри подготовке к ЕГЭ как наиболее подго.

Урок»Методы решения тригонометрических уравнений»

Решение тригонометрических уравнений одна из самых сложных тем математики для учащихся. Урок подготовлен для учащихся 10 класса. Можно использовать для повторения при подготовке к ЕГЭ в 11 класс.

Презентация к уроку Методы решения тригонометрических уравнений

Презентация к уроку позволяет детям усваивать учебный материал с наиболее полным использованием органов чувств, что повышает эффективность обучения.

Презентация «Методы решения тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Методы решения тригонометрических уравнений (проектное задание) Выполнила: Остапенко Татьяна Ивановна, учитель математики и физики МБОУ «Бехтеевская СОШ Корочанского района Белгородской области» Руководитель курса: Вертелецкая О.В., старший преподаватель кафедры естественно- математического образования

Введение Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения. Цель работы: изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и задач различного содержания.

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений 1. Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов. 2. Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента. 3. Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу. 4. Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения. 5. Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя. 6. Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5. 7. Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента: 8. Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:

II. Приведение к однородному уравнению первого порядка I. Приведение тригонометрического уравнения к алгебраическому виду. III. Приведение уравнения к однородному уравнению II порядка IV. Разложение левой части на множители V. Понижение степени VI.Трехчленное уравнение

Решение уравнений разложением на множители

Пример 1 Решение: Ответ:

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

Пример 2 Решение: Пусть , ответ:

Пример 3 Решение: Ответ:

Решение однородных и сводящихся к ним уравнений

Пример 4 Решение: Т.к. значения x при которых cos3x равен нулю, не являются корнем уравнения ,то разделим обе части уравнения ответ:

Пример 5 Решение: Уравнение является однородным второй степени ответ:

Пример 6: Решение: В этом уравнении нельзя делить на cosx Ответ:

Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента

Пример 7 Решение: Ответ:

Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение

Пример 8 Решение: Ответ:

Решение уравнений преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Пример 9 Решение: Ответ:

Решение уравнений вида Asinx+Bcosx=C где A,B,C — действительные числа, A,B 0 Решается подстановкой

Пример 10 Решение: Ответ:

Заключение. Изучение тригонометрических уравнений позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы. В данной работе рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, причем, как специфические, характерные только для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям. Для успешного решения уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значение тригонометрических функций для основных углов и значение обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений. Рассмотрено решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Приведенные методы не исчерпывают все многообразие способов решений тригонометрических уравнений. Однако рассмотренные типы уравнений встречаются наиболее часто и важно уметь распознавать в данном уравнении тот или иной тип. Результаты данной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке творческих работ, при составлении факультативных курсов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к Единому государственному экзамену, вступительным экзаменам.

Библиография Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. – 1995. — №2. –с. 40 – 42. Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике». М., «Наука», 1982 г. Г. И. Глейзер История математики в школе. – М.: «Просвещение» 1983г. Карасев В.А., Лёвшина Г.Д. «12 уроков по тригонометрии» — М.: Илекса, 2013.- 200 с.:ил. Крамор В.С. Тригонометрические функции. – М.: Просвещение, 1979. Сост. Гряда Н. Н. и др. Обобщающее повторение в системе подготовки к ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения», Армавир, 2005г. Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15. Шаталов В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии. — М.: Новая школа, 1993.

Краткое описание документа:

Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения.

Цель работы : изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и задач различного содержания.

Презентация «Разные способы решения одного тригонометрического уравнения»

Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Подписи к слайдам:

Разные способы решения

одного тригонометрического уравнения

Выполнила: Каменец Людмила Александровна,

учитель математики МБОУ Лакомобудской ООШ

Климовского района Брянской области

sin x + cos x = 1

1. Графический способ

sin x + cos x = 1,

sin x = 1 — cos x

sin x + cos x = 1

2. Сведение к однородному уравнению

2 sin x/2 * cos x/2 + cos2 x /2 – sin2 x /2 — sin2 x/2 — cos2 x/2 = 0

2 sin x/2 * cos x/2 – 2 sin2 x /2 = 0

2 sin x/2 * (cos x/2 – sin x/2 )= 0

cos x/2 – sin x/2 = 0

x/2 = П /4 + П п, п Z

sin x + cos x = 1

3. Использование тригонометрических формул

sin x + sin (П/2 — x ) = 1

Преобразуем сумму синусов

По формуле приведения cos x= sin(П/2 — x ).

sin x + cos x = 1

4. Возведение в квадрат обеих частей уравнения

1 + 2 sin x*cos x = 1

• Проверка:Числа П, (3П) /2, 3П …посторонние корни(не обращают данноеуравнение в верноеравенство).

Значит корни уравнения

0 , П /2, 2П, (5П ) /2 . т.е.

sin x + cos x = 1

5. Введение вспомогательного аргумента

Разделим обе части уравнения на

Так как 1/ = sin П/4 = cos П/4, то

sin x + cos x = 1

6. Метод введения новой переменной

Пусть sin x = а, cos x = b. Добавим основное тригонометрическое тождество, составим и решим систему уравнений:

Возвращаемся к подстановке:

7. Универсальная подстановка

В тригонометрии так называют формулы ,выражающие

функции через тангенс половинного угла.

sin x + cos x = 1

7. Универсальная подстановка

sin x + cos x = 1

1). Если аргумент находится

в I четверти, то

sin x + cos x > sin2x +cos2x

Итак: sin x + cos x > 1

2). Если аргумент находится

во II четверти, то

sin x + cos x = 1

3). Если аргумент находится

в III четверти, то

Значит, sin x + cos x< 0

Уравнение корней не имеет.

4). Если аргумент находится

в IV четверти, то

Проверим решения в «граничных» точках.

Вычисления подтверждают, что уравнение имеет корни:

• Соболь Б. В., Виноградова И.Ю. Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд. 7-е. — Ростов н/Д: «Феникс», 2004.

2. Подгорная И.И. Уроки математики. Пособие для поступающих

в вузы. — М., 21006.

3. Шарыгин И.Ф. Математика: решение задач: 10 кл. 3-е изд.- М.:

Просвещение, 21007. (Профильная школа).