Графический способ решения уравнений контрольная работа

Контрольная работа: Графическое решение уравнений

Графическое решение уравнений

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

Диофант Александрийский и Евклид , Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx , у = kx + m , у = x 2 , у = – x 2 , в 8 классе – у = √ x , у = |x |, у = ax 2 + bx + c , у = k / x . В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x 3 , у = x 4 , у = x 2 n , у = x — 2 n , у = 3 √x , ( x – a ) 2 + (у – b ) 2 = r 2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.

Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.

1. Какие бывают функции

График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Линейная функция задаётся уравнением у = kx + b , гдеk и b – некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.

Функция обратной пропорциональности у = k / x , где k¹ 0. График этой функции называется гиперболой.

Функция ( x – a ) 2 + (у – b ) 2 = r 2 , где а , b и r – некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а , b ).

Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c где а, b , с – некоторые числа и а ¹ 0. Графиком этой функции является парабола.

Уравнение у 2 ( a – x ) = x 2 ( a + x ) . Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.

Уравнение ( x 2 + y 2 ) 2 = a ( x 2 – y 2 ) . График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.

Уравнение . График этого уравнения называется астроидой.

Кривая(x 2 y 2 – 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2 ) . Эта кривая называется кардиоидой.

Функции: у = x 3 – кубическая парабола, у = x 4 _, у = 1/ x 2 .

2. Понятие уравнения, его графического решения

Уравнение – выражение, содержащее переменную.

Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим.

Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек пересечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.

3. Алгоритм построения графика функции

Зная график функции у = f ( x ) , можно построить графики функций у = f ( x + m ) , у = f ( x )+ l и у = f ( x + m )+ l . Все эти графики получаются из графика функции у = f ( x ) с помощью преобразования параллельного переноса: на │ m │ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на │ l │ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y .

4. Графическое решение квадратного уравнения

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский , живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

• Находим ось симметрии параболы (прямая х=х₀ );

• Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;

• Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

1. По алгоритму построим параболу y = x 2 – 2 x – 3 . Абсциссы точек пересечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x 2 – 2 x – 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.

2. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 и y = 2 x + 3 . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

3. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 –3 и y =2 x . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

4. Преобразуем уравнениеx 2 – 2 x – 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y = ( x –1) 2 иy =4. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

5. Разделим почленно обе части уравненияx 2 – 2 x – 3 = 0 на x , получим x – 2 – 3/ x = 0 , разобьём данное уравнение на две функции: y = x – 2, y = 3/ x . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.

5. Графическое решение уравнений степени n

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = x 5 , y = 3 – 2 x .

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = 3 √ x , y = 10 – x .

Рассмотрев графики функций: у = ax 2 + bx + c , у = k / x , у = √ x , у = |x |, у = x 3 , у = x 4 , у = 3 √x , я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x и y .

На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений степени n.

Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.

В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.

На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.

1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

Проверочная работа по теме Графический способ решения СЛУ 7 класс

Проверочная работа по теме Графический способ решения СЛУ 7 класс

Просмотр содержимого документа
«Проверочная работа по теме Графический способ решения СЛУ 7 класс»

1. Какая из заданных пар чисел (- 6; 8), (0; — 3), (2; 0) является решением данной системы уравнений

2. Решите графически систему уравнений

а) б)

3. Сколько решений имеет система уравнений

а) б)

4. Напишите какую-либо систему уравнений, имеющую решение (4; 3).

5. Подберите, если возможно, такое значение р, при котором данная система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений:

1. Какая из заданных пар чисел (- 6; 8), (0; — 3), (2; 0) является решением данной системы уравнений

2. Решите графически систему уравнений

а) б)

3. Сколько решений имеет система уравнений

а) б)

4. Напишите какую-либо систему уравнений, имеющую решение (4; 3).

5. Подберите, если возможно, такое значение р, при котором данная система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений:

1. Какая из заданных пар чисел (- 6; 8), (0; — 3), (2; 0) является решением данной системы уравнений

2. Решите графически систему уравнений

а) б)

3. Сколько решений имеет система уравнений

а) б)

4. Напишите какую-либо систему уравнений, имеющую решение (4; 3).

5. Подберите, если возможно, такое значение р, при котором данная система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений:

1. Какая из заданных из пар чисел (7; — 3), (2; — 1), (3; 0) является решением данной системы уравнений

2. Решите графически систему уравнений

а) б)

3. Сколько решений имеет система уравнений

а) б)

4. Напишите какую-либо систему уравнений, имеющую решение (5; -1).

5. Подберите, если возможно, такое значение р, при котором данная система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений:

1. Какая из заданных из пар чисел (7; — 3), (2; — 1), (3; 0) является решением данной системы уравнений

2. Решите графически систему уравнений

а) б)

3. Сколько решений имеет система уравнений

а) б)

4. Напишите какую-либо систему уравнений, имеющую решение (5; -1).

5. Подберите, если возможно, такое значение р, при котором данная система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений:

1. Какая из заданных из пар чисел (7; — 3), (2; — 1), (3; 0) является решением данной системы уравнений

2. Решите графически систему уравнений

а) б)

3. Сколько решений имеет система уравнений

а) б)

4. Напишите какую-либо систему уравнений, имеющую решение (5; -1).

5. Подберите, если возможно, такое значение р, при котором данная система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений:

Самостоятельная работа по теме «Графическое решение квадратных уравнений»
методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему

Самостоятельная работа по теме «Графическое решение квадратных уравнений»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Решите графически уравнение:

1. –x 2 = x – 2
2. x 2 = 2x + 3
3. x 2 + 2x – 3 = 0
4. x 2 + x + 2 = 0
5. x 2 – 2x + 1 = 0

Решите графически уравнение:

1. x 2 = x + 6
2. –x 2 = –3x + 2
3. x 2 – 4x = – 3
4. x 2 – x + 4 = 0
5. x 2 + 4x + 4 = 0

Решите графически уравнение:

1. –x 2 = x – 2
2. x 2 = 2x + 3
3. x 2 + 2x – 3 = 0
4. x 2 + x + 2 = 0
5. x 2 – 2x + 1 = 0

Решите графически уравнение:

1. x 2 = x + 6
2. –x 2 = –3x + 2
3. x 2 – 4x = – 3
4. x 2 – x + 4 = 0
5. x 2 + 4x + 4 = 0

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Самостоятельная работа по теме «Неполные квадратные уравнения»

Самостоятельная работа по теме «Неполные квадратные уравнения», на 4 варианта.

Практическая работа в Excel. Решение квадратного уравнения и исследования квадратичной функции.

В данной работе были использованы материалы, опубликованные в журнале «Информатика» (приложение к 1 сенября), которые были дополнены и частично изменены. Данная работа предлагается учащимся старших кл.

самостоятельная работа по теме «решение систем уравнений второй степени»

в данной работе собрано большое количество систем уравнений для самостоятельной работы при решении систем уравнений.

Творческие самостоятельные работы при изучении темы «Квадратные уравнения»

Статья, в которой рассматривается возможность применения творческих самостоятельных работ при изучении темы «Квадратные уравнения».

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Самостоятельная работа по теме: » Решение неполных квадратных уравнений&quot.

Самостоятельная работа по теме: «Решение линейных уравнений». 7 класс

Самостоятельная работа по теме «Решение линейных уравнений» содержит четыре варианта по шесть уравнений. Примерное время выполнения работы 15-20 минут.