Графическое исследование уравнений 9 класс

Урок-исследование по теме: «Графическое исследование уравнений»

Разделы: Математика

Цели.

• Развить навыки решения целого уравнения высших степеней, графическое решение систем уравнений.
• Обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения.

Ход урока.

1. Мотивационно–ориентировочная часть. Этап актуализации знаний.

Устная работа. Блочное повторение свойств графиков: параболы, гиперболы, окружности, прямой.

Рассмотрим таблицу, в которой изображены некоторые известные нам графики и записаны их уравнения.

Учащиеся объясняют таблицу.

1. График уравнения х 2 — 1/2y = 2 — парабола. В этом легко убедиться, если выразить переменную у через х. Получится уравнение вида у = 2х 2 — 4.

2. Графиком уравнения ху = — 6 служит гипербола вида у = — 6/х.

3. Графиком уравнения х 2 + у 2 = 16 является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 4.

4. Графики уравнений х + 2у = 4 и 2у – 5 = 0 – прямые.

5. Графиком уравнения у 2 — 4х 2 = 0 является объединение двух прямых у = 2х и у = — 2х. В самом деле, разложив левую часть уравнения на множители, получим: (у — 2х)(у + 2х) = 0.

Отсюда ясно, что уравнение распадается на два: 1) у — 2х = 0; 2) у + 2х =0. Из первого получаем у = 2х, а из второго у = — 2х.

Давайте повторим свойства графиков функций, начнем с графика функции … . Отгадайте какого?

“В меня поэты влюблены,
Буквально все восхищены.
Литературный я прием
И график функции притом”. (Учащиеся узнают гиперболу. )

Вопросы. (Учащиеся по карточкам отвечают на вопросы. )

1. Назовите уравнение, графиком которого является гипербола.

(у = к/х, ху = к, 0. )

2. Как называется функция данного вида?

3. Какова ее область определения? область значений?

4. Как располагаются ветви гиперболы в зависимости от знака числа к?

5. Среди предложенных шаблонов укажите шаблон гиперболы.

6. Определите, график какой функции изображен на рисунке. (Чтение графика функций у = — 8/х и у = 12/х. )

Угадайте следующий график.

“Люблю я петь и веселиться,
В веселом танце покружиться.
Когда вокруг оси вращаюсь,
Фигурой важной обращаюсь.

А кавалеры подбегают,
К автомобилю провожают.
И каждый хочет пригласить —
На крыше дома погостить”.

Вопросы.

1. О чем шла речь в этой загадке?

(О применении оптического свойства параболы и параболоида вращения, об его использовании в устройствах антенн и автомобильных фар. )

2. Графиком какой функции является парабола?

3. Изобразите параболу на рисунке (или определите соответствующий шаблон).

4. Как определить направление ветвей параболы?

5. Запишите уравнение данной параболы. (Координаты вершины, направление ветвей, уравнение оси симметрии. )

6. Как по уравнению определить координаты вершины, уравнение оси симметрии?

Угадайте следующий график.

“Я очень замкнута, скромна,
Хоть степень выше у меня.
Друзей лишь только тесный круг.
Никто не нужен мне вокруг”

Вопросы.

1. О какой степени шла речь?

2. Запишите общий вид уравнения окружности.

3. Запишите уравнение окружности, походящей через начало координат радиуса R.

Угадайте следующий график.

“А я бесхитростна, проста –
Такой характер у меня.
Смеются надо мной друзья:
Мол, нет извилин у меня.
Но я с дороги не сверну,
Ведь жить иначе не могу”.

Вопросы.

1. Назовите общее уравнение прямой на плоскости.

2. Графиком какой функции является прямая?

3. Что такое прямая пропорциональность?

4. Как располагается ее график в зависимости от значения числа к?

5. При каком условии линейная функция у = кх + в является возрастающей? При каком – убывающей?

2. Этап объяснения нового материала.

Пример 1. Решить уравнение х 3 +х-5=0.

“Лобовая” атака здесь явно не подходит: мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени, а попытка разложить на множители левую часть уравнения также не приводит к успеху. Поэтому воспользуемся графиками.

Если бы мы смогли построить график функции у=х?+х-5, то сумели бы найти и корни уравнения х?+х-5=0, — это абсциссы точек пересечения графика с осью х. Однако строить графики функций подобного вида мы не умеем. Выход из положения: перепишем уравнение в виде х? = -х + 5. Это позволит нам воспользоваться графиками функций у=х? и у=-х+5, которые легко построить.

На рисунке 1 графики функций у= х 3 и у = -х + 5 построены в одной системе координат. Они пересекаются в единственной точке. Абсцисса точек пересечения графиков – это то значение переменной х, при котором выражения х 3 и 5 — х принимают равные значения. Значит, эта абсцисса и есть корень уравнения х 3 = 5 — х. По рисунку видно, что корень находится в промежутке (1;2) и приблизительно равен 1,5: х1,5.

Ответ. х1,5.

Чтобы найти корни уравнения f(x)=g(x) графическим способом, нужно в одной и той же системе координат построить график функции у=f(x) и у=g(x), отметить точки пересечения графиков и найти абсциссы этих точек; это и будут корни уравнения.

Решить уравнение + х = 6.

Запишем уравнение в виде =-х+6 и построим графики функций у = и у = — х + 6. Они пересекаются в единственной точке (рисунок 2), абсцисса которой равна 4. Значит корень уравнения – число 4.

Подставив х = 4 в уравнение, получаем верное равенство: = — 4 + 6.

Имеет ли корни уравнение х 3 + х = 300, и если имеет, то сколько?

Перепишем уравнение в виде х 3 =300-х. В тетради в одном масштабе графики уравнений у=х 3 и у=300-х построить практически невозможно. Однако простой рисунок, показывающий взаимное расположение графиков, поможет нам ответить на вопрос. (Учащиеся строят схематически).

По рисунку видно, что графики должны иметь точку пересечения в правой полуплоскости. В какой-то точке они встретятся. Значит, данное уравнение имеет, по крайней мере, один корень. Понятно, что этот корень — единственный. В самом деле, первая функция возрастающая, а вторая – убывающая, и, встретившись, их графики продолжат движение в своих направлениях, поэтому другой точки пересечения у них не будет. Из рисунка видно, что корень положительный и меньше 300.

Графические соображения, а также использование свойств функций часто помогают сделать некоторые качественные заключения о корнях уравнения – проверить наличие корней, найти их число, указать промежутки, которым принадлежат корни.

3. Операционно-исполнительная часть. Этап закрепления.

1. Фронтальная работа.

№478. На рис. 3 и рис. 4.

изображен график функции у=f(x). Запишите уравнение вида f(x)=0, корни которого можно найти с помощью этого графика. Сколько корней имеет уравнение? Найдите эти корни. Есть ли среди найденных корней точные?

а) у = х 3 — 6х — 4; б) у= х 3 — 3х + 2.

№479. Запишите уравнение, графическое решение которого приведено на рис. 5 и найдите его корни.

№480. Графики функций у= и у=2х-6 пересекаются в точке (4;2). Найдите:

а) корни уравнения =2х-6;

б) решение системы уравнений:

№482. Имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько? Укажите корни уравнений:

а) х 2 = 1,5х + 1; б) х 3 + х – 2 = 0; в) х 2 + 8/х – 1 = 0.

№487. Выберите из данных промежутков те, в которых находится корень уравнения х 3 = 4 — х 2 :

№489. С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение -4х — vx + 4 = 0. Найдите приближенное значение большего корня с двумя знаками после запятой.

2. Самостоятельная работа.

Решите уравнение графическим способом.

4. №211. 1) (экз. ). С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение: х 2 + 4х + 1/х = 0.

Решите уравнение графическим способом.

2. -х 2 -2х+4=.

4. №211. 2) (экз. ). С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение: 3/х — х 2 — 4х = 0.

4. Задание на дом.

Имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько? Укажите знаки корней:

Найдите подбором корень уравнения и, используя графические представления, докажите, что других корней нет:

а)=12-х;

5. Рефлексивно-оценочный этап.

а) за теоретический опрос.

б) за фронтальную работу.

в) за самостоятельную работу.

2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?

3. Где пришлось более всего концентрироваться, задумываться?

4. Трудное ли домашнее задание?

Литература:

Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова и др. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл. “Дрофа”.

Конспект урока по теме: » Графическое исследование уравнений».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Графическое исследование уравнений.

Учитель математики первой категории «МАОУ Светлинская СОШ №2» п.Светлый:Горячкина Татьяна Александровна

Урок открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков.

Создать условия для формирования умений решать уравнения графически.

— обучающие : учить решать уравнения графическим способом.

— развивающие : развивать навыки самоконтроля, организации учебного труда, логическое, математическое мышление и интуицию, познавательный интерес учащихся и творческую активность, умение анализировать, делать выводы, обобщать.

— воспитательные : воспитывать настойчивость и терпение при выполнении заданий, самостоятельность и самоорганизацию труда, уважительное отношение к сверстникам, культуру поведения при работе в группе, ответственное отношение к учебному труду.

интерес к предмету через содержание учебного материала; умение работать в коллективе и в паре, взаимопомощь, культуру общения, умение применять преемственность в изучении отдельных тем; воспитывать настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях

закреплять, систематизировать знания, умения и навыки решения различных уравнений. Актуализировать опорные знания решения линейных, квадратных, целых, дробных и уравнений высших степеней.

— метапредметные: интерес к предмету через содержание учебного материала; умение работать в коллективе и в паре, взаимопомощь, культуру общения, умение применять преемственность в изучении отдельных тем; воспитывать настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

р егулятивные: выделять и осознавать то, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения, вносить необходимые коррективы в этот процесс, уметь организовывать и планировать свою деятельность, адекватно оценивать свои возможности и результаты своей деятельности, формировать целеустремленность и настойчивость в достижении цели, готовности к преодолению трудностей.уметь обобщать и систематизировать свои знания.

познавательные : уметь определять тип уравнения и способ его решения, находить полезную информацию, обобщать и систематизировать свои знания, выбирать наиболее эффективный способ решения.

коммуникативные : формировать умения аргументировать свое решение, убеждать и уступать, развивать способность сохранять доброжелательное отношение друг к другу, готовность слушать собеседника, вести диалог.

Компьютер, проектор, индивидуальные карточки, раздаточный материал

— Здравствуйте, ребята. Садитесь, ребята.

Проверяет готовность к уроку

Мотивация к учебной деятельности

Мы сегодня с вами продолжим изучение удивительной науки математики. Урок я хочу начать притчей.

Однажды молодой человек пришёл к мудрецу и пожаловался ему: «Каждый день, 5 раз я произношу фразу «Я принимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет».

Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил:

«Назови,что ты выбираешь из них».

«Ложку», — ответил юноша.

«Произнеси это слово 5 раз», — сказал мудрец.

«Я выбираю ложку», — послушно произнёс юноша 5 раз.

«Вот видишь, сказал мудрец, — повторяй хоть миллион раз в день, ложка не станет твоей. Надо протянуть руку и взять ложку».

Вот нам с вами надо взять свои знания и применить их на практике.

У каждого из вас на партах лежат «Счастливые билеты», ваши тетради. Откройте их, запишите число, классная работа.

Учащиеся настраиваются на работу.

Проверка домашнего задания.(1- 3 мин.)

Ребята, поднимите руки, кто не справился с домашним заданием под №470? № 472 (а) ?

Приступаем к устному счёту. Выполнив устный счет, мы с вами узнаем, какой праздник нас ждёт впереди. Считать будем устно вслух, одновременно заполняя таблицу которая у вас на партах. Пока весь класс выполняет устный счёт Булат, Владислав, Вероника, работают по карточкам.

Данила Н, Данил В, — то же работают по карточкам

Урок в 9 классе «Графический способ решения систем уравнений»
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Урок в 9 классе «Графический способ решения систем уравнений»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Уруссинская гимназия»

Ютазинского муниципального района Республики Татарстан

Урок алгебры в 9 классе по теме

«Графический способ решения систем уравнений»

Составитель: Миллер Надежда Николаевна

(1 квалификационная категория)

1. Продолжить работу по формированию навыков решения систем уравнений графическим способом.
2. Развивать познавательный интерес и творческую активность обучающихся.
3. Формировать навыки самостоятельной деятельности.

• Создание условий для овладения всеми учащимися графическим способом решения систем уравнений;
• Выработка умений применять знания в незнакомой ситуации.

Развивающие: Способствовать развитию логического мышления, математической речи.

Воспитывающие: Воспитывать сотрудничество учителя с учащимися, развивать интерес к предмету и к самостоятельному творчеству.

Тип урока: урок комплексного применения знаний.

Формы работы учащихся: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: Компьютер, мультимедиа-проектор, дидактический раздаточный материал.

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний обучающихся.

V. Самостоятельная работа.

VI. Домашнее задание.

VII. Подведение итога урока.

Эпиграф: Слайд 1

«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»
Я.А. Каменский.

I.Организационный момент. Рефлексия.

Учащимся сообщается тема урока, формируются цель и задачи урока, виды деятельности учащихся для достижения цели. Слайд 2

II.Актуализация знаний обучающихся.

1. — Ответьте на вопросы: Слайд 3

а) Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
б) Что называется решением системы?
в) Что значит решить систему уравнений?

г) Сформулируйте алгоритм графического решения системы уравнений.

2. Работа с карточками. Слайд 5

Карточки проверяются по слайду и в конце урока сдаются учителю.

— Установи соответствие между графиками функций и формулами. Слайды 6,7

Выполняются задания ОГЭ №5.

Карточки в конце урока сдаются учителю.

Решить графически систему уравнений: Слайд 8

Задание проверяется по слайду.

IV. Минутка отдыха. Слайд 9

– Обведите кончиком носа по периметру фигуру 1.

– С закрытыми глазами нарисуйте в воздухе двумя руками одновременно фигуру 2.

– Обведите взглядом по периметру фигуру 3 по часовой стрелке и против часовой стрелки.