Графическое исследование уравнений 9 класс дорофеев

Урок-исследование по теме: «Графическое исследование уравнений»

Разделы: Математика

Цели.

• Развить навыки решения целого уравнения высших степеней, графическое решение систем уравнений.
• Обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения.

Ход урока.

1. Мотивационно–ориентировочная часть. Этап актуализации знаний.

Устная работа. Блочное повторение свойств графиков: параболы, гиперболы, окружности, прямой.

Рассмотрим таблицу, в которой изображены некоторые известные нам графики и записаны их уравнения.

Учащиеся объясняют таблицу.

1. График уравнения х 2 — 1/2y = 2 — парабола. В этом легко убедиться, если выразить переменную у через х. Получится уравнение вида у = 2х 2 — 4.

2. Графиком уравнения ху = — 6 служит гипербола вида у = — 6/х.

3. Графиком уравнения х 2 + у 2 = 16 является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 4.

4. Графики уравнений х + 2у = 4 и 2у – 5 = 0 – прямые.

5. Графиком уравнения у 2 — 4х 2 = 0 является объединение двух прямых у = 2х и у = — 2х. В самом деле, разложив левую часть уравнения на множители, получим: (у — 2х)(у + 2х) = 0.

Отсюда ясно, что уравнение распадается на два: 1) у — 2х = 0; 2) у + 2х =0. Из первого получаем у = 2х, а из второго у = — 2х.

Давайте повторим свойства графиков функций, начнем с графика функции … . Отгадайте какого?

“В меня поэты влюблены,
Буквально все восхищены.
Литературный я прием
И график функции притом”. (Учащиеся узнают гиперболу. )

Вопросы. (Учащиеся по карточкам отвечают на вопросы. )

1. Назовите уравнение, графиком которого является гипербола.

(у = к/х, ху = к, 0. )

2. Как называется функция данного вида?

3. Какова ее область определения? область значений?

4. Как располагаются ветви гиперболы в зависимости от знака числа к?

5. Среди предложенных шаблонов укажите шаблон гиперболы.

6. Определите, график какой функции изображен на рисунке. (Чтение графика функций у = — 8/х и у = 12/х. )

Угадайте следующий график.

“Люблю я петь и веселиться,
В веселом танце покружиться.
Когда вокруг оси вращаюсь,
Фигурой важной обращаюсь.

А кавалеры подбегают,
К автомобилю провожают.
И каждый хочет пригласить —
На крыше дома погостить”.

Вопросы.

1. О чем шла речь в этой загадке?

(О применении оптического свойства параболы и параболоида вращения, об его использовании в устройствах антенн и автомобильных фар. )

2. Графиком какой функции является парабола?

3. Изобразите параболу на рисунке (или определите соответствующий шаблон).

4. Как определить направление ветвей параболы?

5. Запишите уравнение данной параболы. (Координаты вершины, направление ветвей, уравнение оси симметрии. )

6. Как по уравнению определить координаты вершины, уравнение оси симметрии?

Угадайте следующий график.

“Я очень замкнута, скромна,
Хоть степень выше у меня.
Друзей лишь только тесный круг.
Никто не нужен мне вокруг”

Вопросы.

1. О какой степени шла речь?

2. Запишите общий вид уравнения окружности.

3. Запишите уравнение окружности, походящей через начало координат радиуса R.

Угадайте следующий график.

“А я бесхитростна, проста –
Такой характер у меня.
Смеются надо мной друзья:
Мол, нет извилин у меня.
Но я с дороги не сверну,
Ведь жить иначе не могу”.

Вопросы.

1. Назовите общее уравнение прямой на плоскости.

2. Графиком какой функции является прямая?

3. Что такое прямая пропорциональность?

4. Как располагается ее график в зависимости от значения числа к?

5. При каком условии линейная функция у = кх + в является возрастающей? При каком – убывающей?

2. Этап объяснения нового материала.

Пример 1. Решить уравнение х 3 +х-5=0.

“Лобовая” атака здесь явно не подходит: мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени, а попытка разложить на множители левую часть уравнения также не приводит к успеху. Поэтому воспользуемся графиками.

Если бы мы смогли построить график функции у=х?+х-5, то сумели бы найти и корни уравнения х?+х-5=0, — это абсциссы точек пересечения графика с осью х. Однако строить графики функций подобного вида мы не умеем. Выход из положения: перепишем уравнение в виде х? = -х + 5. Это позволит нам воспользоваться графиками функций у=х? и у=-х+5, которые легко построить.

На рисунке 1 графики функций у= х 3 и у = -х + 5 построены в одной системе координат. Они пересекаются в единственной точке. Абсцисса точек пересечения графиков – это то значение переменной х, при котором выражения х 3 и 5 — х принимают равные значения. Значит, эта абсцисса и есть корень уравнения х 3 = 5 — х. По рисунку видно, что корень находится в промежутке (1;2) и приблизительно равен 1,5: х1,5.

Ответ. х1,5.

Чтобы найти корни уравнения f(x)=g(x) графическим способом, нужно в одной и той же системе координат построить график функции у=f(x) и у=g(x), отметить точки пересечения графиков и найти абсциссы этих точек; это и будут корни уравнения.

Решить уравнение + х = 6.

Запишем уравнение в виде =-х+6 и построим графики функций у = и у = — х + 6. Они пересекаются в единственной точке (рисунок 2), абсцисса которой равна 4. Значит корень уравнения – число 4.

Подставив х = 4 в уравнение, получаем верное равенство: = — 4 + 6.

Имеет ли корни уравнение х 3 + х = 300, и если имеет, то сколько?

Перепишем уравнение в виде х 3 =300-х. В тетради в одном масштабе графики уравнений у=х 3 и у=300-х построить практически невозможно. Однако простой рисунок, показывающий взаимное расположение графиков, поможет нам ответить на вопрос. (Учащиеся строят схематически).

По рисунку видно, что графики должны иметь точку пересечения в правой полуплоскости. В какой-то точке они встретятся. Значит, данное уравнение имеет, по крайней мере, один корень. Понятно, что этот корень — единственный. В самом деле, первая функция возрастающая, а вторая – убывающая, и, встретившись, их графики продолжат движение в своих направлениях, поэтому другой точки пересечения у них не будет. Из рисунка видно, что корень положительный и меньше 300.

Графические соображения, а также использование свойств функций часто помогают сделать некоторые качественные заключения о корнях уравнения – проверить наличие корней, найти их число, указать промежутки, которым принадлежат корни.

3. Операционно-исполнительная часть. Этап закрепления.

1. Фронтальная работа.

№478. На рис. 3 и рис. 4.

изображен график функции у=f(x). Запишите уравнение вида f(x)=0, корни которого можно найти с помощью этого графика. Сколько корней имеет уравнение? Найдите эти корни. Есть ли среди найденных корней точные?

а) у = х 3 — 6х — 4; б) у= х 3 — 3х + 2.

№479. Запишите уравнение, графическое решение которого приведено на рис. 5 и найдите его корни.

№480. Графики функций у= и у=2х-6 пересекаются в точке (4;2). Найдите:

а) корни уравнения =2х-6;

б) решение системы уравнений:

№482. Имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько? Укажите корни уравнений:

а) х 2 = 1,5х + 1; б) х 3 + х – 2 = 0; в) х 2 + 8/х – 1 = 0.

№487. Выберите из данных промежутков те, в которых находится корень уравнения х 3 = 4 — х 2 :

№489. С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение -4х — vx + 4 = 0. Найдите приближенное значение большего корня с двумя знаками после запятой.

2. Самостоятельная работа.

Решите уравнение графическим способом.

4. №211. 1) (экз. ). С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение: х 2 + 4х + 1/х = 0.

Решите уравнение графическим способом.

2. -х 2 -2х+4=.

4. №211. 2) (экз. ). С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение: 3/х — х 2 — 4х = 0.

4. Задание на дом.

Имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько? Укажите знаки корней:

Найдите подбором корень уравнения и, используя графические представления, докажите, что других корней нет:

а)=12-х;

5. Рефлексивно-оценочный этап.

а) за теоретический опрос.

б) за фронтальную работу.

в) за самостоятельную работу.

2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?

3. Где пришлось более всего концентрироваться, задумываться?

4. Трудное ли домашнее задание?

Литература:

Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова и др. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл. “Дрофа”.

Разработка урока алгебры в 9 классе «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ», УМК Г.В. Дорофеев. В разработке представлен план урока и приложения к нему — презентация и самостоятельная работа

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Презентация Microsoft PowerPoint.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

02.02.15. Классная работа

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Тема урока

«Я слышу — я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я понимаю» Древняя китайская мудрость Девиз урока

Способы решения систем уравнений подстановки сложения графический

у х 0 1 1 4 Ответ: ( ; ) 1 4

На рисунке изображена парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений. у х 0

у х 0 1 1 Пользуясь рисунком, укажите систему уравнений, Решением которой является пара Такой системы нет 4 3 -4 -4

у х 0 1 1 На рисунке изображены графики функций Используя графики, Решите систему уравнений 5 -2 2 -3 Ответ:

у х 0 Из данных уравнений подберите второе уравнение так, чтобы система имела два решения

у х 0 1 1 Ответ: ( ; ) Используя графики функций и , решите уравнение 1 1 Найди ошибку. 1

П. 3.5 № 445 (г) – способ сложения; № 448 (г) – способ подстановки; № 454 (а) – графически. Дополнительное домашнее задание (выполняется по желанию) найти материал по теме и подготовить сообщение

Спасибо за урок

Г.В. Дорофеев,И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. Алгебра 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2012. Литература Интернет ресурсы http://animashky.ru http://it-n.ru

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 300 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 21.05.2017
• 1931
• 23

• 21.05.2017
• 332
• 2

• 21.05.2017
• 2583
• 44

• 21.05.2017
• 1098
• 12

• 21.05.2017
• 454
• 0

• 21.05.2017
• 3497
• 43

• 21.05.2017
• 437
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 21.05.2017 1850
• ZIP 2.2 мбайт
• 143 скачивания
• Рейтинг: 1 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сенченко Галина Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 8712
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Конспект урока по теме: » Графическое исследование уравнений».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Графическое исследование уравнений.

Учитель математики первой категории «МАОУ Светлинская СОШ №2» п.Светлый:Горячкина Татьяна Александровна

Урок открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков.

Создать условия для формирования умений решать уравнения графически.

— обучающие : учить решать уравнения графическим способом.

— развивающие : развивать навыки самоконтроля, организации учебного труда, логическое, математическое мышление и интуицию, познавательный интерес учащихся и творческую активность, умение анализировать, делать выводы, обобщать.

— воспитательные : воспитывать настойчивость и терпение при выполнении заданий, самостоятельность и самоорганизацию труда, уважительное отношение к сверстникам, культуру поведения при работе в группе, ответственное отношение к учебному труду.

интерес к предмету через содержание учебного материала; умение работать в коллективе и в паре, взаимопомощь, культуру общения, умение применять преемственность в изучении отдельных тем; воспитывать настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях

закреплять, систематизировать знания, умения и навыки решения различных уравнений. Актуализировать опорные знания решения линейных, квадратных, целых, дробных и уравнений высших степеней.

— метапредметные: интерес к предмету через содержание учебного материала; умение работать в коллективе и в паре, взаимопомощь, культуру общения, умение применять преемственность в изучении отдельных тем; воспитывать настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

р егулятивные: выделять и осознавать то, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения, вносить необходимые коррективы в этот процесс, уметь организовывать и планировать свою деятельность, адекватно оценивать свои возможности и результаты своей деятельности, формировать целеустремленность и настойчивость в достижении цели, готовности к преодолению трудностей.уметь обобщать и систематизировать свои знания.

познавательные : уметь определять тип уравнения и способ его решения, находить полезную информацию, обобщать и систематизировать свои знания, выбирать наиболее эффективный способ решения.

коммуникативные : формировать умения аргументировать свое решение, убеждать и уступать, развивать способность сохранять доброжелательное отношение друг к другу, готовность слушать собеседника, вести диалог.

Компьютер, проектор, индивидуальные карточки, раздаточный материал

— Здравствуйте, ребята. Садитесь, ребята.

Проверяет готовность к уроку

Мотивация к учебной деятельности

Мы сегодня с вами продолжим изучение удивительной науки математики. Урок я хочу начать притчей.

Однажды молодой человек пришёл к мудрецу и пожаловался ему: «Каждый день, 5 раз я произношу фразу «Я принимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет».

Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил:

«Назови,что ты выбираешь из них».

«Ложку», — ответил юноша.

«Произнеси это слово 5 раз», — сказал мудрец.

«Я выбираю ложку», — послушно произнёс юноша 5 раз.

«Вот видишь, сказал мудрец, — повторяй хоть миллион раз в день, ложка не станет твоей. Надо протянуть руку и взять ложку».

Вот нам с вами надо взять свои знания и применить их на практике.

У каждого из вас на партах лежат «Счастливые билеты», ваши тетради. Откройте их, запишите число, классная работа.

Учащиеся настраиваются на работу.

Проверка домашнего задания.(1- 3 мин.)

Ребята, поднимите руки, кто не справился с домашним заданием под №470? № 472 (а) ?

Приступаем к устному счёту. Выполнив устный счет, мы с вами узнаем, какой праздник нас ждёт впереди. Считать будем устно вслух, одновременно заполняя таблицу которая у вас на партах. Пока весь класс выполняет устный счёт Булат, Владислав, Вероника, работают по карточкам.

Данила Н, Данил В, — то же работают по карточкам