Графическое исследование уравнений алгебра 9 класс дорофеев

Урок-исследование по теме: «Графическое исследование уравнений»

Разделы: Математика

Цели.

• Развить навыки решения целого уравнения высших степеней, графическое решение систем уравнений.
• Обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения.

Ход урока.

1. Мотивационно–ориентировочная часть. Этап актуализации знаний.

Устная работа. Блочное повторение свойств графиков: параболы, гиперболы, окружности, прямой.

Рассмотрим таблицу, в которой изображены некоторые известные нам графики и записаны их уравнения.

Учащиеся объясняют таблицу.

1. График уравнения х 2 — 1/2y = 2 — парабола. В этом легко убедиться, если выразить переменную у через х. Получится уравнение вида у = 2х 2 — 4.

2. Графиком уравнения ху = — 6 служит гипербола вида у = — 6/х.

3. Графиком уравнения х 2 + у 2 = 16 является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 4.

4. Графики уравнений х + 2у = 4 и 2у – 5 = 0 – прямые.

5. Графиком уравнения у 2 — 4х 2 = 0 является объединение двух прямых у = 2х и у = — 2х. В самом деле, разложив левую часть уравнения на множители, получим: (у — 2х)(у + 2х) = 0.

Отсюда ясно, что уравнение распадается на два: 1) у — 2х = 0; 2) у + 2х =0. Из первого получаем у = 2х, а из второго у = — 2х.

Давайте повторим свойства графиков функций, начнем с графика функции … . Отгадайте какого?

“В меня поэты влюблены,
Буквально все восхищены.
Литературный я прием
И график функции притом”. (Учащиеся узнают гиперболу. )

Вопросы. (Учащиеся по карточкам отвечают на вопросы. )

1. Назовите уравнение, графиком которого является гипербола.

(у = к/х, ху = к, 0. )

2. Как называется функция данного вида?

3. Какова ее область определения? область значений?

4. Как располагаются ветви гиперболы в зависимости от знака числа к?

5. Среди предложенных шаблонов укажите шаблон гиперболы.

6. Определите, график какой функции изображен на рисунке. (Чтение графика функций у = — 8/х и у = 12/х. )

Угадайте следующий график.

“Люблю я петь и веселиться,
В веселом танце покружиться.
Когда вокруг оси вращаюсь,
Фигурой важной обращаюсь.

А кавалеры подбегают,
К автомобилю провожают.
И каждый хочет пригласить —
На крыше дома погостить”.

Вопросы.

1. О чем шла речь в этой загадке?

(О применении оптического свойства параболы и параболоида вращения, об его использовании в устройствах антенн и автомобильных фар. )

2. Графиком какой функции является парабола?

3. Изобразите параболу на рисунке (или определите соответствующий шаблон).

4. Как определить направление ветвей параболы?

5. Запишите уравнение данной параболы. (Координаты вершины, направление ветвей, уравнение оси симметрии. )

6. Как по уравнению определить координаты вершины, уравнение оси симметрии?

Угадайте следующий график.

“Я очень замкнута, скромна,
Хоть степень выше у меня.
Друзей лишь только тесный круг.
Никто не нужен мне вокруг”

Вопросы.

1. О какой степени шла речь?

2. Запишите общий вид уравнения окружности.

3. Запишите уравнение окружности, походящей через начало координат радиуса R.

Угадайте следующий график.

“А я бесхитростна, проста –
Такой характер у меня.
Смеются надо мной друзья:
Мол, нет извилин у меня.
Но я с дороги не сверну,
Ведь жить иначе не могу”.

Вопросы.

1. Назовите общее уравнение прямой на плоскости.

2. Графиком какой функции является прямая?

3. Что такое прямая пропорциональность?

4. Как располагается ее график в зависимости от значения числа к?

5. При каком условии линейная функция у = кх + в является возрастающей? При каком – убывающей?

2. Этап объяснения нового материала.

Пример 1. Решить уравнение х 3 +х-5=0.

“Лобовая” атака здесь явно не подходит: мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени, а попытка разложить на множители левую часть уравнения также не приводит к успеху. Поэтому воспользуемся графиками.

Если бы мы смогли построить график функции у=х?+х-5, то сумели бы найти и корни уравнения х?+х-5=0, — это абсциссы точек пересечения графика с осью х. Однако строить графики функций подобного вида мы не умеем. Выход из положения: перепишем уравнение в виде х? = -х + 5. Это позволит нам воспользоваться графиками функций у=х? и у=-х+5, которые легко построить.

На рисунке 1 графики функций у= х 3 и у = -х + 5 построены в одной системе координат. Они пересекаются в единственной точке. Абсцисса точек пересечения графиков – это то значение переменной х, при котором выражения х 3 и 5 — х принимают равные значения. Значит, эта абсцисса и есть корень уравнения х 3 = 5 — х. По рисунку видно, что корень находится в промежутке (1;2) и приблизительно равен 1,5: х1,5.

Ответ. х1,5.

Чтобы найти корни уравнения f(x)=g(x) графическим способом, нужно в одной и той же системе координат построить график функции у=f(x) и у=g(x), отметить точки пересечения графиков и найти абсциссы этих точек; это и будут корни уравнения.

Решить уравнение + х = 6.

Запишем уравнение в виде =-х+6 и построим графики функций у = и у = — х + 6. Они пересекаются в единственной точке (рисунок 2), абсцисса которой равна 4. Значит корень уравнения – число 4.

Подставив х = 4 в уравнение, получаем верное равенство: = — 4 + 6.

Имеет ли корни уравнение х 3 + х = 300, и если имеет, то сколько?

Перепишем уравнение в виде х 3 =300-х. В тетради в одном масштабе графики уравнений у=х 3 и у=300-х построить практически невозможно. Однако простой рисунок, показывающий взаимное расположение графиков, поможет нам ответить на вопрос. (Учащиеся строят схематически).

По рисунку видно, что графики должны иметь точку пересечения в правой полуплоскости. В какой-то точке они встретятся. Значит, данное уравнение имеет, по крайней мере, один корень. Понятно, что этот корень — единственный. В самом деле, первая функция возрастающая, а вторая – убывающая, и, встретившись, их графики продолжат движение в своих направлениях, поэтому другой точки пересечения у них не будет. Из рисунка видно, что корень положительный и меньше 300.

Графические соображения, а также использование свойств функций часто помогают сделать некоторые качественные заключения о корнях уравнения – проверить наличие корней, найти их число, указать промежутки, которым принадлежат корни.

3. Операционно-исполнительная часть. Этап закрепления.

1. Фронтальная работа.

№478. На рис. 3 и рис. 4.

изображен график функции у=f(x). Запишите уравнение вида f(x)=0, корни которого можно найти с помощью этого графика. Сколько корней имеет уравнение? Найдите эти корни. Есть ли среди найденных корней точные?

а) у = х 3 — 6х — 4; б) у= х 3 — 3х + 2.

№479. Запишите уравнение, графическое решение которого приведено на рис. 5 и найдите его корни.

№480. Графики функций у= и у=2х-6 пересекаются в точке (4;2). Найдите:

а) корни уравнения =2х-6;

б) решение системы уравнений:

№482. Имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько? Укажите корни уравнений:

а) х 2 = 1,5х + 1; б) х 3 + х – 2 = 0; в) х 2 + 8/х – 1 = 0.

№487. Выберите из данных промежутков те, в которых находится корень уравнения х 3 = 4 — х 2 :

№489. С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение -4х — vx + 4 = 0. Найдите приближенное значение большего корня с двумя знаками после запятой.

2. Самостоятельная работа.

Решите уравнение графическим способом.

4. №211. 1) (экз. ). С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение: х 2 + 4х + 1/х = 0.

Решите уравнение графическим способом.

2. -х 2 -2х+4=.

4. №211. 2) (экз. ). С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение: 3/х — х 2 — 4х = 0.

4. Задание на дом.

Имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько? Укажите знаки корней:

Найдите подбором корень уравнения и, используя графические представления, докажите, что других корней нет:

а)=12-х;

5. Рефлексивно-оценочный этап.

а) за теоретический опрос.

б) за фронтальную работу.

в) за самостоятельную работу.

2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?

3. Где пришлось более всего концентрироваться, задумываться?

4. Трудное ли домашнее задание?

Литература:

Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова и др. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл. “Дрофа”.

Презентация по алгебре в 9 классе на тему «Презентация по алгебре в 9 классе на тему «РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ» (по учебнику Дорофеева Г.В., Суворовой С.Б. и др.)» (по учебнику Дорофеева Г.В., Суворовой С.Б. и др.)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Далее РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ Урок 8 Алгебра-9 Тимаев А.В. ОК-Г «Эврика»

Далее Актуализация знаний учащихся. № 82 г) x>-6 № 82 д) y>-5 № 82 е) z -5 № 85 а) при x 0,5 f(x) ниже, чем g(x); № 85 б) при x>2 f(x) выше, чем g(x); при x 5;б) х 10;в) –5х ≤ 20; б) 0,5х ≤ 2;г) х ≥ –7.

Далее Решение задач. № 93 (г; д)

№ 95 (б), 96 (б; в) Далее Решение задач. № 100 (б) № 99 (а) При каких значениях с уравнение не имеет корней: -3х2 + 2х + с = 0?

Далее Повторение. Какое из чисел является иррациональным? б) -3,48 в) 4,828228222… г) -7,4(3) Домашнее задание. п. 1.3; № 86 (а–г), № 93 (а; в; ж).

Краткое описание документа:

Презентацию можно использовать как вспомогательный материал к электронному пособию «Алгебра. 8–9 классы: поурочные планы по учебникам под редакцией Г. В. Дорофеева» при изучении темы «Неравенства» с целью формирования понятия равносильности уравнений и неравенств и закрепления навыков преобразований, позволяющих переходить от одного неравенства к другому, ему равносильному.

Слайды 5 и 6 предполагают работу на доске с помощью стилуса.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 086 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 15.09.2019
• 398
• 11

• 15.09.2019
• 333
• 8

• 15.09.2019
• 223
• 4

• 14.09.2019
• 267
• 1

• 10.09.2019
• 330
• 21

• 07.09.2019
• 2009
• 265

• 28.08.2019
• 645
• 32

• 27.08.2019
• 1186
• 12

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 20.09.2019 841
• PPTX 810.2 кбайт
• 43 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Тимаев Александр Викторович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 66642
• Всего материалов: 110

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Открытый урок для 9 класса по теме: «Системы уравнений с двумя переменными» к учебнику: Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева, Л.О. Рослова
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Урок открытия новой учебной информации по теме: «Системы уравнений с двумя переменными» к учебнику Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева, Л.О. Рослова «Алгебра 9» с презентацией и тестом.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Графический способ решения систем уравнений с двумя переменными

парабола прямая гипербола кубическая парабола окружность Установите соответствие

парабола прямая гипербола кубическая парабола окружность Установите соответствие

Сколько решений имеет система уравнений?

x y 0 1 1 3 3 A (x 1 ; y 1 ) B (x 2 ; y 2 ) D (x 4 ; y 4 ) C (x 3 ; y 3 )

Решите систему уравнений.

x y 0 1 1 4 2 Ответ: (0; 0); (4; 2).

Ответы к проверочной работе Номер вопроса Вариант 1 Вариант 2 1 1 1 2 2 4 3 4 2 4 1а 1д 2в 2в 3б 3б 4д 4г 5г 5а

Способы решения системы уравнений с двумя переменными Преимущества Недостатки Графический способ Способ подстановки Способ сложения

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Видновская средняя общеобразовательная школа № 2»

Урок по алгебре по теме:

«Системы уравнений с двумя переменными»

Учебник: Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева, Л.О. Рослова «Алгебра 9»

Учитель: Смирнова Т.Ю.

Девиз урока: «Три пути ведут к знанию:

путь размышления – это путь самый благородный,

путь подражания – это путь самый легкий

и путь опыта – это путь самый горький».

Тема урока: Системы уравнений с двумя переменными.

Образовательные : расширить представление обучающихся о системах уравнений с двумя переменными и на основе приобретенных знаний сформировать умение решать их графическим способом, сформулировать алгоритм решения систем уравнений графическим способом.

Развивающие: развивать у учащихся мыслительную деятельность, а именно наблюдение, анализ, классификация, обобщение.

Воспитательные: формировать учебную деятельность (мотивацию, понимание цели, учебных действий, действий контроля и оценки).

• Выявить уровень усвоения полученных знаний.
• Создать условия для самооценки своих возможностей и выбора цели в деятельности.
• Развивать навыки индивидуальной и самостоятельной работы;
• Побуждать к само-, взаимоконтролю.
• Вызывать потребность в обосновании своих высказываний.

Тип урока: урок открытия новой учебной информации.

Формы работы учащихся : фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска.

Учитель: Здравствуйте. Садитесь.

2. Актуализация знаний. (фронтальный опрос)

Учитель: Принято, что человек свой день обычно начинает с зарядки, т.е. с разминки. Проведем разминку и мы.

Все мы знакомы из курса алгебры с системами уравнений с двумя переменными. Как вы думаете , что надо четко знать, чтобы хорошо решать системы уравнений?

1.Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

2.Что мы называем графиком уравнения с двумя переменными?

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

3. Сколько пар решений может иметь система уравнений?

Одну. Две, несколько пар чисел.

4. Установите соответствие.

окружность

кубическая парабола

гипербола

5. Назовите, что является графиком следующих функции? (слайды 1-7)