Графическое решение дробно рациональных уравнений

Графический способ решения уравнений — ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цель: использование графиков функций для решения или исследования уравнений.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

1. Катер прошел 46 км по течению реки и 17 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч.

2. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 7 больше ее числителя. Если числитель дроби увеличить на 3, а ее знаменатель уменьшить на 3, то полученная дробь будет на 11/18 больше данной дроби. Найдите данную дробь.

1. Катер прошел 20 км по течению реки и 32 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

2. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 5 больше ее числителя. Если числитель дроби увеличить на 2, а ее знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на 18/35 больше данной дроби. Найдите данную дробь.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Во многих случаях для решения или исследования уравнений используют графики функций.

Решим уравнение х2 + 2 = 3/x.

В одной координатной плоскости построим графики функций у1 = х2 + 2 и у2 = 3/x. Видно, что эти графики пересекаются в единственной точке А (1; 3). Абсцисса точки пересечения А есть то значение переменной х, при котором значения функций у1 и у2 равны (или выражения х2 + 2 и 3/x принимают равные значения). Итак, данное уравнение х2 + 2 = 3/x имеет единственный корень х = 1.

Заметим, что для нахождения корня данного уравнения могут быть рассмотрены графики и других функций. Учтем, что в уравнении х2 + 2 = 3/x величина х ≠ 0. Умножим все члены уравнения на х и получим равносильное уравнение: х3 + 2х = 3 или х3 = 3 — 2х. Построим графики функций у1 = х3 и у2 = 3 — 2х. Видно, что графики этих функций пересекаются в единственной точке А (1; 1). При х = 1 значения функций у1 и у2 равны (или выражения х3 и 3 — 2х принимают равные значения). Итак, х = 1 — единственный корень данного уравнения.

Рассмотренный способ решения уравнения называют графическим.

Графически решим уравнение х2 = |х — 1|.

В одной системе координат построим графики функций у1 = х2 и у2 = |х — 1|. Видно, что эти графики пересекаются в двух точках А и В. Приближенное значение абсцисс этих точек х1 ≈ -1,6 и х2 ≈ 0,6 соответственно. Заметим, что решив аналитически данное уравнение, получим

При различных значениях параметра а определите число корней уравнения х2 — |х| + а = 0.

Данное уравнение запишем в виде х2 + a = |х|. Построим график функций у1 = х2 + а и у2 = |х|. График функции у2 не зависит от параметра а. График функции у1 представляет собой параболу, вершина которой имеет координаты (0; а). С уменьшением параметра а парабола смещается вниз.

При достаточно больших значениях а графики у1 и у2 не имеют общих точек (случай а). Уравнение при этом решений не имеет. При уменьшении параметра а парабола спускается вниз и касается зависимости у2 в двух точках (случай б). Тогда уравнение имеет два корня. При дальнейшем уменьшении а парабола пересекает каждую ветвь графика у2 в двух точках (этот случай на рисунке не изображен). При этом уравнение имеет четыре корня. При а = 0 парабола расположена еще ниже и пересекает графику в трех точках (случай в). Тогда уравнение имеет три корня. При дальнейшем уменьшении а (т. е. при а 1/4 — нет корней.

IV. Задание на уроке

№ 622 (а); 624; 626; 627 (а); 628 (а).

V. Задание на дом

№ 622 (б); 623; 625; 627 (б); 629 (б); 629.

VI. Творческие задания

1. Графически решите уравнение;

а) х1 = -0,6 и х2 = 1,6.

б) х1 = -2 и х2 = 1; .

ж) х1 = -1 и х2 = 2;

з) х1 = -4 и х2 = 1; .

2. Определите число корней уравнения:

а) при а -3 — 1 корень;

б) при а 2 — 1 корень;

в) при а 2 — 2 корня;

г) при а 3 — 2 корня;

д) при а 1 — корней нет, при а = -1 или а = 1 — бесконечно много корней, при -1 3 — корней нет, при а = -3 или а = 3 — бесконечно много корней, при -3 -2 — 1 корень;

з) при а 2 — 3 корня.

VII. Подведение итогов урока

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

формирование понятия дробных рационального уравнения;
рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
развитие критического мышления;
развитие навыков исследовательской работы.

воспитание познавательного интереса к предмету;
воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

Конспект урока по алгебре на тему «Графический способ решения уравнений»(8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Графический способ решения уравнений .

Цели: научить решать дробные рациональные уравнения графическим способом; развивать логическое мышление учащихся; воспитывать внимание, аккуратность .

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Решите уравнение:

а) = 0; в) = 0;

б) = 0; г) = 0.

III. Объяснение нового материала.

Рассмотрим уравнение х 2 = . Если обе части этого уравнения умножить на х, то получим уравнение х 3 =6, способ решения которого нам неизвестен. Однако с помощью графиков можно найти прибженные значения корней уравнения х 2 =

Построим в одной координатной плоскости гра фики функций у=х 2 и y = . Эти графики пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пере сечения есть то значение переменной х, при котором выражения х 2 и принимают равные значения. Значит, абсцисса точки пересечения графиков функ ций у=х 2 и у= — является корнем уравнения х 2 = — . Приближенное значение корня равно 1,8.

Примененный способ решения уравнения назы вают графическим.

Рассмотрим еще один пример решения урав нения графическим способом. Решим уравнение

x 3 -1,2 x +0,5=0. Представим это уравнение в виде x 3 =1,2х— 0,5 и построим в одной координатной плоскости графики функций у=х 3 и у=1,2х— 0,5 . Графики пересекаются в трех точках. Это означает, что уравнение х 3 =1,2х—0,5, а значит, и уравнение x 3 -1,2х+0,5=0 имеет три корня. Найдем приближенные значения корней, т. е. абсцисс точек пересечения графиков. Получим:

IV . Закрепление изученного материала.

Графиком функции у = является гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Запишем координаты контрольных точек: