Графическое решение какого уравнения изображено на рисунке

Графики элементарных функций. Графический способ решения систем уравнений

Тип: повторение и закрепление свойств графиков элементарных функций и уравнений; графический способ решения систем уравнений.

Цели:

• систематизировать знания о графиках элементарных функций (линейной, прямой и обратной пропорциональностях, квадратичной, кубической);
• научиться графически решать системы уравнений;
• подготовка к новой форме экзамена по алгебре в виде тестирования;
• развитие логического мышления;
• тренировка работы с тестами.

Оборудование: таблица «Графики элементарных функций» у всех учеников, черновики, листы с заданиями из тестов мини-ЕГЭ (или задания представлены на интерактивной доске), циркуль.

Ход урока

I. Организационный момент.

Всем ученикам раздать таблицу «Графики элементарных функций».

Учитель: Для изучения следующей темы «Графическое решение систем уравнений» нам необходимо вспомнить правила и особенности построения графиков изученных нами элементарных функций.

II. Повторение и обобщение знаний.

Учитель: Перечислите функции, которые мы изучали. (Линейная, прямая и обратная пропорциональность, квадратичная, кубическая, у = , у = ∣ x∣ ).

Итак, первая функция, с которой мы познакомились – это линейная функция.

Фронтальный опрос:

1. Какая функция называется линейной? (Функция вида у =kх +b, где х – независимая переменная,k иb – некоторые числа).
2. Что является графиком линейной функцией? (Графиком линейной функции является прямая).
3. Как построить эту прямую? (Для построения достаточно найти координаты двух точек).
4. А если k = 0, то как выглядит прямая? (Она параллельная оси абсцисс).
5. Какая функция является частным случаем линейной функции? (Прямая пропорциональность).
6. Какая функция называется прямой пропорциональностью? (Функция вида у =kх называется прямой пропорциональностью).
7. Что является графиком прямой пропорциональности? (Прямая).
8. Какова особенность этой прямой? (Эта прямая проходит через начало координат).
9. Как расположена прямая на координатной плоскости в зависимости от коэффициента k? (Приk > 0 прямая находится в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях, приk 0 угол наклона прямой к положительной полуоси абсцисс острый, приk 0, то ветви расположены в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях; еслиk 2 Б. у = 3/x В. у = 3х Г. у = 3√x

№6. На рисунке изображен график функции у = (k/x) + b. Определите знаки коэффициентов k и b.

1) k > 0, b > 0 2) k > 0, b 0 4) k 0, b > 0 2) k > 0, b 0 4) k 2 +bх + с, где х – независимая переменная, а,b, с – коэффициенты, причем а ≠ 0).

VII. Решение задач.

№9. График какой функции изображен на рисунке?

А. у = (х + 2) 2 Б. у = −х 2 −2 В. у = −(х + 2) 2 Г. у = − (х – 2) 2

№10. На рисунке изображен график функции у = 0,5х 2 – 3х + 4. Используя график, решите неравенство 0,5х 2 – 3х + 4 ≥ 0.

№11. По графику квадратичной функции найдите промежутки ее убывания.

1) (0; 4) 2) [−1; + ∞) 3) [2; + ∞) 4) (− ∞; 2]

№12. По графику квадратичной функции найдите все значения х, при которых у > 0.

1) (0; + ∞) 2) (0; 4) 3) (-1; 3) 4) (1; + ∞)

№13. Для какой параболы нет соответствующего рисунка?

Ι. у = х 2 + 1 ΙΙ. у = (х + 1) 2 ΙΙΙ. у = (х − 1) 2 ΙV. У = 1 – х 2

А. ΙΙ Б. ΙΙ В. ΙΙΙ Г. ΙV

№14. С какой прямой график параболы у = −х 2 + 4х – 3 не имеет общих точек?

А. у = −10 Б. у = 1 В. у = 0 Г. у = х

VIII. Повторение и обобщение знаний.

Учитель: Есть еще функции и уравнения фигур, с которыми мы знакомы, но встречались очень редко.

Фронтальный опрос:

1. Какая функция называется кубической? (Функция вида у = ах 3 )
2. Что является ее функцией? (Кубическая парабола).
3. Где она может находиться в зависимости от коэффициента а? (Если а > 0, то график находится в 1 и 111 координатных четвертях, если а 0, то кривая лежит в 1 координатной четверти, еслиk 2 + (у –b) 2 =R 2 , где (а;b) – координаты центра окружности,R – радиус окружности).
4. А если центр окружности лежит в начале координат, то как выглядит это уравнение? (х 2 + у 2 =R 2 ).

IX. Самостоятельная работа (тестирование).

Каждый ученик получает листок с заданием, на котором отвечает правильные ответы. По окончании ученики меняются листами, проверяют ответы друг друга, ставят оценку. На интерактивной доске показаны ответы, по которым сверяются ученики.

№1 – 1В, 2Б, 3Г, 4А. №2 – А4, Б1, В2, Г3. №3 – Iв, IIа, IIIб. №4 – Iб, IIа, IIIв. №5 – 13, 21, 34, 42.

Оценивание: за 5 верно выполненных заданий оценка «5», за 4 – «4», за 3 – «3».

№1. Установите соответствие между графиками функций и формулами.

А. у = 3/x Б. у = х – 2 В. у = (х – 2) 2 Г. у = −х 2

№2. Установите соответствие между графиками функций и формулами.

А. у = 3/x Б. у = 3 В. у = х 2 Г. у = √x

№3. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график (а, б, в).

Ι. у = (4/x) + 1 ΙΙ. у = x 2 /4 ΙΙΙ. у = (x/4) + 1

№4. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.

1) у = −х 2 + 2 2) у = х – 2 3) у = х 2 – 2

№5. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.

1) у = 2/x 2) у = 2х 3) у = 2 – х 2 4) у = 2х + 2

Подводятся итоги самостоятельной работы.

X. Новая тема.

Учитель: Следующая тема, которую мы будем изучать, это «Графическое решение систем уравнений». В чем заключается этот способ решения систем уравнений? (Построить графики каждого уравнения системы; координаты точки пересечения графиков и есть решение систем уравнений).

• Что является решением системы уравнений? (Координаты точки пересечения графиков уравнений системы).

XI. Решение задач.

Попробуем графически решить системы уравнений, используя уже готовые чертежи.

№15. На рисунке изображены графики функций у = х 2 – 2х и у = −х. Используя графики, решите систему уравнений

1) (0; 2) 2) (0; 1) 3) (0; 0), (1; −1) 4) (0; 0), (−1; 1)

№16. На рисунке изображены графики функций у = х 3 и у = х. Используя графики, решите систему уравнений

1) −1; 0 и 1 2) (−1; −1), (0; 0), (1; 1) 3) (−1; −1) и (1; 1) 4) (−1; 1), (0; 0) и (−1; 1)

№17. Используя графики функций у = 12/x и у = х – 1, решите систему уравнений

№18. Для решений какой системы уравнений выполнен рисунок?

№19. На координатной плоскости построены графики уравнений ху = 2х – у + 1 и х + у = 1. Используя эти графики, решите систему уравнений

1) (−2; 3), (0; 1); 2) (3; −2), (1; 0); 3) (−2; 3), (1; 0); 4) (3; −2), (0; 1).

№20. Пользуясь рисунком, укажите систему уравнений, решением которой является пара х = 4, у = 0.

№21. На рисунке изображена окружность, заданная уравнением х 2 + у 2 = 4 и три прямые у = х, у = −1, у = −2. Укажите систему уравнений, которая имеет единственное решение.

№22. На рисунке изображена парабола у = 4 – х 2 и прямые х – 2 = 0, х – 5 = 0, у + х = 1 и у = 2. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений.

№23. Укажите рисунок, на котором приведена графическая иллюстрация решения системы уравнений

№24. Для каждой системы уравнений укажите число ее решений. (Для ответа используйте графики; график уравнения х 2 + у 2 = 4 изображен на рисунке).

а) нет решений; б) одно решение; в) два решения; г) три решения.

№25. При каком наименьшем натуральном значении с система имеет три решения. (Можно дать это задание на дом).

1 рисунок. Если с > 3, то система не имеет решений.

2 рисунок. Если с = 3, то система имеет одно решение.

Урок по теме «Графический способ решения систем уравнений»
презентация к уроку алгебры (9 класс) по теме

Урок по теме «Графический способ решения систем уравнений» можно провести в классах, где достаточно знают и умеют работать по программе EXSEL. С целью этого урока является расширить знания учащихсяпо данной теме и развивать мыслительную деятельность, наблюдение и т.д. В ходе урока используются мультимейдийный проектор, карточки. Разнообразные этапы урока снимут усталость и заинтересуют более слабых учащихся, смотивируют и создадут хороший психологический климат на уроке.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Девиз :«Три пути ведут к знанию:

путь размышления – это путь самый благородный,

путь подражания – это путь самый легкий

и путь опыта – это путь самый горький».

Графический способ решения систем уравнений с двумя переменными

Образовательные : расширить знания о системах уравнений с двумя переменными и на основе приобретенных знаний сформировать умение решать их графическим способом.

Развивающие: развивать у учащихся мыслительную деятельность, а именно наблюдение, анализ, классификация, обобщение.

Воспитательные: формировать учебную деятельность (мотивацию, понимание цели, учебных действий, действий контроля и оценки).

Средства обучения : компьютер, проектор, программа построения и исследования графиков функций

Advanced Grapher, программа Exsel, программа графопостроитель.

1. Выявить уровень усвоения полученных знаний;
2. Создать условия для самооценки своих возможностей и выбора цели в деятельности;
3. Развивать навыки индивидуальной и самостоятельной работы;
4. Побуждать к само-, взаимоконтролю;
5. Вызывать потребность в обосновании своих высказываний.

1. Продолжаем отрабатывать навыки решения систем уравнений;
2. Формируем математическую интуицию;
3. На уроке можем ошибаться, сомневаться, консультироваться.
4. Каждый учащийся сам себе дает установку.

Оборудование: проектор, экран, доска, карточки с заданием тестов, индивидуальные оценочные листы, бланки ответов.

I этап. Организационная часть

Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Актуализация знаний . Урок у нас сегодня необычный. Все мы знакомы с курса алгебры с системами уравнений с двумя неизвестными. Давайте вспомним: Что такое система уравнений?

(слайд 1) – тема урока

Из данных определений выберите верный ответ:

Определение1. Система уравнений – это два уравнения, которых нужно решить.

Определение 2. Система уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, что означает все уравнения должны выполняться одновременно.

Определение 3. Система уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, которых нужно решить отдельно.

Мы с вами знаем несколько способов решения систем уравнений. Какие?

а) Графический способ; б) Способ сложения; в) Иллюстративный способ;

г) Способ подстановки;

Постановка цели урока . Этот способ решения можно встретить везде в нашей повседневной жизни. Например, в нашей аудитории у присутствующих можно узнать некоторые данные и сделать наглядное представление этих данных, то есть мы сегодня рассмотрим какой способ?

Так какие же данные можно изобразить графически в данной аудитории? (рост, вес и.т.д.)

Значит тема нашего урока? (Графический способ решения систем уравнений)

Значит цель нашего урока какая? (ответы учащихся)

Мы с вами определили цель урока и каждый перед собой ставит свои задачи нашего урока. Прежде чем приступить к решению основной задачи, разгадаем кроссворд (слайд 5)

Перед вами листки оценивания вашей работы на уроке. После каждого задания нужно проставить баллы, которые вы наберете в различных заданиях.

Задание 1 (слайд 6)

1 вопрос. Какая точка находится во второй четверти координатной плоскости?

1) А(3; 7); 2) В(-5; 4); 3) С(-3; -6); 4) Д(1; -6).

2 вопрос. Решением какого уравнения является пара чисел (1;0) а) х 2 +у = 1; б) ху+3 = х; в) у(х+2) = 0.

3 вопрос. Окружность изображенная на рисунке задана уравнением х 2 + у 2 = 16.

Используя этот рисунок, определите, какая из систем уравнений не имеет решения?

1) х 2 + у 2 = 16 2) х 2 + у 2 = 16 3) х 2 + у 2 = 16 4) х 2 + у 2 = 16

у= -4 у = х + 7 у = 3 – 2х у = 3х

4 вопрос. Укажите координаты центра окружности и радиус: х 2 +(у-5) 2 =9 .

1) (0; -5) 2) ( 5; 0) 3) (0; 5) 4) (0; -5)

5 вопрос. Сколько решений имеет система уравнений , изображенная на графике:

1) одно; 2)два; 3) три; 4) нет решений.

6 вопрос. Выберите правильное соответствие уравнений и графиков уравнений

1) ху = 4 а) Гипербола (1 и 3 четверти);

2) у = х -3 б) Окружность;

3) х 2 + у 2 =9 в) Прямая;

4) у = — 8/х г) Парабола (ветви направлены вверх);

5) у = х 2 + 2 д) Гипербола (2 и 4 четверти);

е) Парабола (ветви направлены вниз);

А теперь проверьте свои ответы (слайд 7)

Сколько баллов набрали, занесите в оценочный лист.

Давайте сделаем из рассмотренного примера выводы (слайд 8).

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, нужно:

1. Построить в одной системе координат графики уравнений, входящих в систему;
2. Определить координаты всех точек пересечений графиков (если они есть);
3. Координаты этих точек и будут решениями системы.

Помните о двух вещах!

1. Если точек пересечения графиков нет, то система решений не имеет;

2. Координаты точек пересечения определяются приблизительно, поэтому и решения могут получиться приблизительными;

Чтобы проверить точность полученных решений, их нужно подставить в уравнения системы!

И так мы с вами закончили повторение. А теперь приступим к решению задач. Прежде чем решить задачи нам надо в группах определиться с экспертами . В каждой группе выбираем эксперта, который поможет нам поставить баллы в наши оценочные листы.

2 задание. Рассмотрим несколько задач на графический способ решения уравнений

1 задача. На спартакиаде Дети Азии одноклассники Ньургун и Бэргэн соревновались между собой на дистанции 1 км. Через какое время Ньургун догонит Бэргэнэ, если уравнение движения Бэргэнэ х 1 = 6+2t, а у Ньургуна х 2 = 0,5t 2 ? А как изменится время, если Бэргэн будет двигаться по уравнению х 1 = |6+2t|? (слайд 9).

Эту работу мы с вами проделаем с помощью Программы Exsel. (помощь учащимся)

2 задача. Уровень радиации в Японии после катастрофы на атомной электростанции в «Фукусиме» изменяется по закону у = 8/x на промежутке времени от 0 до 24 часов. Работники следили за уровнем радиации по прибору и должны были прийти к уровню, который задается по закону у = -x + 8. Сколько раз работники станции зафиксируют нормальный уровень радиации? (слайд 10).

Мы эту работу сделаем на Программе Advanced Grapher. (помощь учащимся)

3 задача. Космическая орбита вблизи Земли двигается по закону у= |x 2 + a|. Навигатор с Земли установлен по линии у = 2x. Сколько раз максимально навигатор будет улавливать звуки с Земли. При каком значении навигатор будет улавливать звук 1 раз? (слайд 11).

Мы эту работу сделаем на Программе обучающего диска «Уравнения с параметрами».

3 задание. Задание исследовательского характера. Контроль знаний.

А теперь перед вами непростая задачка. Представьте себе, что вы ученые. И так задание первое (слайд 12,13).

1. Придумайте графики функций, которые бы имели более пяти точек пересечения и придумайте названия к этим функциям и почему они так называются?

2. При каком значении параметра а график функции у = х^3 – a/х будет возрастающей?

4 задание. Проверка полученных знаний.

По группам выдвигают свои гипотезы. И показывают полученные графики функций.

Учащиеся проставляют количество баллов в оценочный лист. Оценивают свою работу на уроке.

3 задание. Домашнее задание (слайд 14)

Ознакомиться с другими оригинальными видами графиков.

Это — множество Жюлиа. Здесь — комплексное число, соответствующее точке . Множество Жюлиа — это множество таких точек, что отображения вида

не отображают их в окрестность бесконечности. На картинках эти точки окрашены лиловым цветом (и точки, достаточно близкие к ним).

Здесь изображено множество Мандельброта (окрашено лиловым цветом). Картинка получается с помощью той же процедуры, что и выше. Различие состоит в том, что начальное значение для точки z берётся всегда равным нулю, а точке с координатами на картинке соответствует комплексный параметр b = x + y i .

«Да это же просто триадная кривая Кох,» — скажете вы. Это действительно триадная кривая Кох. Но зато получена она из последовательности Морса с помощью другого алгоритма.

1. (Приведённая здесь картинка в 2,5 раза меньше оригинала). Вот так вот!

1. Знаете ли вы, что такое последовательность Морса ? Сейчас объясню. Пишем цифру 0. Потом приписываем в конец написанной последовательности уже написанные к этому моменту цифры, но вместо каждой цифры 0 пишем цифру 1 и наоборот. Эту процедуру повторяем до бесконечности. Полученная последовательность цифр
2. 0110100110010110.
3. и называется последовательностью Морса. Картинка получается, если выбрать такие значения (+1 означает поворот на 45 o против часовой стрелки, и т.д.)

Здесь изображены линии уровня собственной функции оператора Лапласа. Такие собственные функции имеют вид

Картинка построена для случая n =5.
Кстати, не кажется ли вам эта картинка трехмерной?

Рефлексия (слайд 15)

1. сегодня я узнал (а)…
2. было интересно…
3. было трудно…
4. я выполнял(а) задания…
5. я понял (а), что…
6. теперь я могу…
7. я почувствовал (а), что…
8. я приобрел (а)…
9. я научился(ась)…
10. у меня получилось …
11. я смог(ла)…
12. я попробую…
13. меня удивило…
14. урок дал мне для жизни…
15. мне захотелось…

В конце урока выставляются оценки по результатам оценочного листа.

Действия при решении задачи №1.

Задача: На спартакиаде Дети Азии одноклассники Ньургун и Бэргэн соревновались между собой на дистанции 1 км. Через какое время Ньургун догонит Бэргэнэ, если уравнение движения Бэргэнэ х 1 = 6+2t, а у Ньургуна х 2 = 0,5t 2 ? А как изменится время, если Бэргэн будет двигаться по уравнению х 1 = |6+2t|?

1. Открыть файл «Задача 1» на рабочем столе программы Exsel.
2. Ввести функции на строке 10 значение t от -3 до 7 с шагом 1.
3. Выделить выделенную таблицу с помощью мастера диаграмм построить графики функций.

1. Выбрать в стандартных графики (далее-далее-готово)

1. Ответить на 1 вопрос задачи. Через какое время догонит? ( 1 балл)
2. Ответить на 2 вопрос задачи, когда Бэргэн будет двигаться по уравнению х 1 = |6+2t| (1 балл)
3. Сделать вывод. ( 1 балл)

Действия при решении задачи №2.

Задача: Уровень радиации в Японии после катастрофы на атомной электростанции в «Фукусиме» изменяется по закону у = 8/x на промежутке времени от 0 до 24 часов. Работники следили за уровнем радиацией по прибору и должны были прийти к уровню, который задается по закону у = -x + 8. Сколько раз работники станции зафиксируют нормальный уровень радиации?

1. Открыть свернутую программу Advanced Grapher на рабочем столе.
2. Открыть ГРАФИКИ – ДОБАВИТЬ ГРАФИК на верхней панели
3. Ввести функцию у = 8/x
4. Повторить и ввести функцию у = -x + 8
5. Правой мышью на экране вывести горизонтальные и вертикальные линии (1 балл)
6. Ответить на вопрос задачи: внести функции вычисления – пересечения на верхней панели
7. Записать ответы, учитывая условие задачи. (2 балла)

Действия при решении задачи №3.

Задача: Космическая орбита вблизи Земли двигается по закону у= |x 2 + a|. Навигатор с Земли установлен по линии у = 2x. Сколько раз максимально навигатор будет улавливать звуки с Земли. При каком значении навигатор будет улавливать звук 1 раз?

1. Открыть свернутую программу «Алгебраические задачи с параметрами» на рабочем столе.
2. Перед вами графики данной задачи. Используя их, ответьте на вопросы задачи.

Действия при решении задачи на контроль

При каком значении параметра а график функции у = х^3 – a/х будет возрастающей?

1. Открыть программу «Адгебраические задачи с параметрами
2. Открыть графопостроитель
3. Изменить график функции
4. Ответить на вопрос используя правую панель изменения параметра
5. Записать ответ

Графический метод решения системы уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.