Графическое решение показательных и логарифмических уравнений

Графическое решение показательных и логарифмических уравнений

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII

§ 198. Примеры графического решения показательных и
логарифмических уравнений

Пример 1. Решить уравнение

На одном и том же чертеже (рис. 260) построим графики двух функций: у = 2 х и у = 2х. Эти графики пересекаются в двух точках: А с абсциссой 1 и В с абсциссой 2. Поэтому данное уравнение имеет два корня: х = 1 и х =2.

Пример 2. Решить уравнение

Графики функций y = lg х и y = x (рис. 261) не пересекаются друг с другом. Поэтому данное уравнение не имеет корней.

Мы рассмотрели простейшие примеры. Уравнения, которые получаются при решении практических задач, обычно значительно отличаются от таких «учебных» задач. Для их решения наряду с графической иллюстрацией приходится обращаться и к таблицам. Рассмотрим, например, такое уравнение.

Графики функций у = log₂ x и у = 1 /_x (рис. 262) пересекаются в одной точке, абсцисса которой заключена между 1 и 2. Поэтому данное уравнение имеет один корень х₀, который больше 1, но меньше 2:

Используя таблицы В. М. Брадиса, находим, что

искомый корень х₀ должен быть меньше, чем 1,7 (см. рис. 262). следовательно,

1471. Найти корень уравнения 2 х = 2 — х с точностью до 0,1.

1472. Найти наименьший корень уравнения log₂ x = 1 /₃ х с точностью до 0,1.

Конспект урока в 10 классе «Функционально-графический метод решения показательных и логарифмических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Учитель: Кондратьева Татьяна Юрьевна

Тема урока «Функционально — графический метод решения логарифмических и показательных уравнений»

повторить определение логарифма, свойства логарифмической и показательной функции, основные способы решения логарифмических и показательных уравнений;

расширить представления учащихся о функционально- графическом методе решения логарифмических и показательных уравнений;

акцентировать внимание учащихся на том, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод;

формировать у учащихся умения сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы.

Данная тема является важным этапом в формировании представлений о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических и показательных уравнений в школьном курсе алгебры и начал анализа в программе «Алгебра и начала анализа,10 класс» автора Никольского С.М.

После изучения темы «Показательная функция» учащиеся создавали кейсы своих знаний по данной теме, отражая, какими знаниями и умениями они уже овладеют. Это были видеоматериалы, презентации, учащиеся использовали программы bandicam , Jing , «Экранная камера» и др. Главным условием при создании «кейса» — его озвучивание. В данном уроке, повторяя свойства показательной функции и методы решения уравнений, были использованы некоторые фрагменты этих кейсов. Для хранения и передачи материалов используется яндекс.диск.

Так же во время урока применяется графический онлайн-калькулятор https://www.desmos.com/calculator .

I. Актуализация знаний учащихся.

На последних уроках вы изучали тему «Показательная функция». Что вы уже знаете по этой теме:

4 ) методы решения показательных уравнений и неравенств.

Давайте вспомним. (Предлагается посмотреть фрагмент кейса ученицы 10б класс и найти в ее рассуждениях ошибку).

Ошибка в условии возрастания показательной функции.

Почему так важно знать свойства показательной функции?
По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.
В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания

На доске заранее написаны методы решения показательных и логарифмических уравнений.

2. Функционально-графический метод

Теория:

Точка пересечения единственная, так как y = 2 x — возрастающая функция, а y = 4 − 2 x — убывающая функция. Корнем уравнения 2 x = 4 − 2x является первая координата точки пересечения x = 1 .

Построим в одной системе координат графики функций y = 1 3 x и y = 3 .

Графики функций пересекаются в точке \((-1; 3)\). Значит, уравнение 1 3 x = 3 имеет одно решение x = − 1 .

Итак, из уравнения 1 3 x = 1 3 − 1 мы получили x = − 1 .