Графическое решение уравнений неравенства параметр

Графический метод в задачах с параметром

Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.

Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной \(f(x)=0\). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции \(y=f(x)\). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось \(х\)) и будут решениями нашего уравнения.

Или рассмотрим уравнение \(f(x)=g(x)\). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.

Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.

Решить графическим методом уравнение \(x^2+3x=5x+3\).

Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций \(y=x^2+3x\) и \(y=5x+3\). См. рис.1.

\(y=5x+3\) – красный график; \(y=x^2+3x\) – синий график.

Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках \((-1;2)\) и \((3;18)\). Таким образом, решением нашего уравнения будут: \(_<1>=-1; _<2>=3\).

Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными \(f(x,y)=0\). Решением этого уравнения будет множество пар точек \((x,y)\), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости \((xOy)\). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую \((x,y=f(x))\) или \((x=f(y),y)\).

В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение \(2x-5y=10\). (1) Выражаем \(x=\frac<10+5y><2>\) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):

Графический метод решения задач с параметрами

Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.

Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.

Вот список тем, которые стоит повторить:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.

Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).

1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В первом уравнении выделим полный квадрат:

Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.

Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.

Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.

Кроме того, точка не должна лежать на прямой , которая пересекает окружность в точках и Координаты этих точек легко найти, подставим в уравнение окружности.

Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.

2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.

Уравнение равносильно системе:

Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).

Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.

Приводим подобные слагаемые в уравнении.

Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:

Решим систему графически:

Уравнение задает окружность с центром в точке , где радиус

Неравенство задает полуплоскость, которая расположена выше прямой , вместе с самой этой прямой.

Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением

Пусть С — точка касания.

На координатной плоскости отметим точки и , в которых прямая пересекает оси Y и Х.

Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.

Решая это уравнение, получаем, что

3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

График уравнения — окружность с центром и радиусом равным 2.

График уравнения — две симметричные окружности и радиуса 2 c центрами в точках и

Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.

Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.

Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности или только правой

Если a — радиус окружности , то это значит, что (только правая) или (только левая).

Пусть А — точка касания окружности и окружности

, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),

В — точка касания окружности и окружности

длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:

Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:

, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.

Аналогично, для точки D:

и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.

4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?

Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)

И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!

Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.

Сделаем замену Система примет вид:

Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах

Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и

Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.

Когда же система имеет ровно 4 решения?

1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.

Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит,

Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то

При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда

Мы получили ответ:

2) Есть второй случай, и мы его найдем.

Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав , окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.

Пусть радиус окружности больше, чем , но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.

Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.

А что, если ? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!

Значит, Объединим случаи и запишем ответ:

Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.

«Графические методы решения уравнения и неравенства с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Графические методы решения уравнений и неравенств с параметрами

Координатная плоскость Oxy задачи вида 4

задачи вида a и параллельный перенос графика вдоль оси Оу 5

задачи вида и параллельный перенос графика вдоль оси Ох 6

задачи вида и сжатие (растяжение) графика вдоль оси Оу 7

задачи вида или 9

задачи вида 9

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры, но их решение вызывает у нас значительные затруднения. Связано это с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметром представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Решая задания ЕГЭ мы встречаемся с трудностями решения задач с параметрами. Поэтому я решила более глубоко вникнуть в решение подобных заданий для расширения моих представлений о приемах и методах решения уравнений и неравенств с параметром при подготовке к ЕГЭ.

Решению задач с параметрами в шк ольной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной затруднения учащихся в решении задач с параметрами по моему является отсутствие системы заданий по данной теме в наших учебниках.

Что же такое параметр и почему подобные задачи вызывают такие трудности?

Параметр — это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему).

В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у себя умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомиться с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Решая задачи нужно знать, что при выполнении работы можно выбрать любой способ решения. Главное, чтобы задача была решена правильно. Работая над проблемой я выделила следующие задачи :

v Возможность реализовать свой интерес к математике и индивидуальные возможности для его освоения.

v Умение решать стандартные и нестандартные уравнения и неравенства с параметром.

v Обеспечение подготовки к поступлению в вуз.

Использую возможности интернета я нашла литературу из которой мне понравились работы Г.А. Тинякова, В.В. Амелькина, А.Г.Корянова наиболее доступно раскрывающие проблемы решения задач с параметрами.

Рассмотрим приемы и методы решений задач с параметрами с ис­пользованием метода наглядной графической интерпретации. В за­висимости от того, какая роль отводится параметру в задаче, можно выделить два основных графических приема: первый — построение графического образа на координатной плоскости Оху, второй — на координатной плоскости Оха.

Суть каждого способа рассмотрена на примерах.

Встречающиеся задачи на исследование уравнения или неравенства с параметром а можно записать в виде ,

где символ v заменяет один из знаков .

Так как основу уравнений и неравенств составляют выражения и , то в зависимости от того, какая роль отводится параметру в задаче (па­раметр — фиксированное число, или параметр — переменная), запись рассматривается либо как семейство функций с переменной , либо как вы­ражение с двумя переменными х и а . В соответствии с этим используется два основных графических приема решения подобных задач: первый — построение графического образа задачи на координатной плоскости Оху , второй — на координатных плоскостях или .

Координатная плоскость Oxy задачи вида

Первый прием заключается в следующем. Исходное уравнение (или неравенство) преобразуют к виду . На плоскости Оху строится график функции . Функция задает определенное семейство кривых, зависящих от параметра а . Кривые этого семейства получаются из кривой с помощью некоторого элементарного преобразования (параллельного переноса вдоль осей, растяжения, наложения модуля или в случае линейной зависимости между х и у — поворота относительно некоторой точки). Построив графический образ уравнения . можно установить, сколько точек пересечения имеют графики функций у = g ( x ) и y = f ( x , a ),- это определяет количество корней уравнения , а, следовательно, и исходного уравнения в зависимости от значения параметра.

Пример. Определите количество различных корней уравнения

в зависимости от параметра а.

Решение. Рассмотрим взаимное расположениеграфикафункции

ипрямой на координатной плоскости . Из рисунка 11 видно, что при A A Рис. 1

пересечения; две общие точки получаем при условии A = 0 или A > 1.

На рисунке 1 представлен случай, когда графики имеют ровно три общих точки. Данное уравнение имеет три различных корня, если выполняется условие . Отсюда а = 0,5 или а = 1. Аналогично находим значения а для других случаев.

Число различных корней

Число различных корней

задачи вида a и параллельный перенос графика вдоль оси Оу

При решении задач данного вида используется семейство функций , графики которых отличаются от графика функции у = g ( x ) смещением вдоль оси Оу на а единиц вверх при а > 0, вниз — при а

Пример. Найти все значения а, при каждом из которых функция

имеет ровно три нуля.

Решение. Переформулируем задачу: найти все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три различных решений.

При уравнение имеет один корень .

При построим графики функций и . Первая

функция является кусочно-линейной и ее график (см. рис. 2) получается из графика функции с помощью элементарных преобразований (параллельного переноса последнего вдоль оси ординат на 2а 2 единиц вниз и симметричного отражения наверх относительно оси абсцисс части графика функции _a 2 расположенной ниже этой оси). Построенный график (см. рис. 2) пересекает ось Ох в точках и , а ось Оу в точке C (0; 2а 2 ).

Функция задает прямую, параллельную прямой , пересекающую оси координат в точках ( a ; 0) и (0; — a ) .

Графики функций и пересекутся в трех точках тогда и только тогда, когда прямая пройдет через точку А или точку С (см. рис. 2). Во всех остальных случаях количество точек пересечения графиков функций будет или больше, или меньше трех. Определим значения параметра а в первом и во втором случае.

Если прямая проходит через точку А, то из уравнения при условии получаем .

Если прямая проходит через точку С, то из уравнения при условии получаем

задачи вида и параллельный перенос графика вдоль оси Ох

При решении задач данного вида используется семейство функций , графики которых отличаются от графика функции

смещением вдоль оси Ох на а единиц влево при a > 0, вправо — при a

задачи вида и поворот графика относительно точки

Рассмотрим применение семейства функций вида , которому соответствует семейство прямых, проходящих через точку (х₀, у₀). Параметр а выполняет роль углового коэффициента указанных прямых, поэтому при увеличении значений параметра получаем прямые, отличающиеся друг из друга поворотом на некоторый угол против часовой стрелки относительно точки (х₀, у₀) (центр поворота). Множество прямых, проходящих через точку (х₀, у₀), называют еще пучком прямых, где (х₀, у₀) является центром пучка.

Пример. (ЕГЭ, 2007). Найти все значения а, для которых при каждом х из промежутка (4; 8] значение выражения не равно значению выра­жения (2 a -1) log ₂ х.

Решение. 1. Пусть log ₂ х = t , тогда при х = 4 имеем t = 2 ; если х = 8, то t = 3. Так как функция t = log ₂ х непрерывная и возрастающая, то при всех зна­чениях переменной х из промежутка (4; 8] переменная t принимает все значе­ния из промежутка (2; 3].

2. Переформулируем задачу: найти все значения а , для которых при каждом t из промежутка (2; 3] значение выражения t 2 -8 не равно значению выражения .

3. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (см. рис. 4). Функция задает семейство прямых, проходящих через начало координат. При увеличении углового коэффициента прямые поворачиваются против часовой стрелки.

4. Парабола пересекает прямую t =2 в точке (2;-4): у =2 2 -8=-4 . Угловой коэффициент прямой , проходящей через точку

(2; -4), равен: . Парабола пересекает прямую t = 3 в точке (3; 1): у = 3 2 — 8 = 1. Угловой коэффициент прямой , проходящей через

точку (3; 1), равен: .

5. Условие « значение выражения t 2 -8 не равно значению выражения при » графически означает, что прямая не пересекает параболу на промежутке (2; 3]. Это выполняется при условиях

Решая совокупность неравенств, получаем ответ. Ответ: a Рис. 4

задачи вида и сжатие (растяжение) графика вдоль оси Оу

При решении задач данного вида используется семейство функций g_a ( x )= ag ( x ), графики которых отличаются от графика функции у = g ( x ) сжатием (растяжением) вдоль оси Оу : растяжением, если а >1; сжатием при 0 а x , если а =-1; сочетанием указанных преобразований для остальных значений .

Пример. При каких значениях параметра а уравнение ax 2 +| x -1|=0 имеет три решения ?

Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде: . График функции — «уголок» с вершиной в точке (1;0), ветви которого направлены вниз (см. рис. 5). Функция у_а = ax 2 задает семейство парабол с вершиной (0;0) при и прямую у =0 при а =0. Изменение параметра а влияет на направление ветвей параболы.

Если а =0, то прямая у =0 и график функции имеют одну общуюточку, а следовательно данное уравнение — один корень. Значение а =0 не удовлетворяет условию задачи.

Если а > 0, то ветви параболы направ­лены вверх, и графики не имеют общих точек.

Пусть , тогда ветви параболы будут направлены вниз. Легко доказать, что в этом случае парабола и прямая имеют две общие точки, проверив, что для уравнения дискриминант . Еще одна общая точка будет, когда прямая является касательной к графику функции . Обозначим через x ₀ абсциссу точки касания прямой с параболой и запишем условия касания:

Ответ.

Данный метод представляет собой некоторое обобщение графического метода решения уравнений и неравенств, основанного на использовании координатной плоскости Oxa или Oax . В последнем случае ось Ох называют координатной, ось Oa — параметрической , а плоскости Oxa и Oax – координатно-параметрическими (или КП — плоскостями).

При использовании этого метода исходное уравнение (или неравенство) преобразуют к виду или . В первом случае на плоскости Oxa строят график функции а затем, пересекая полученный график прямыми, параллельными оси Ох , получают необходимую информацию. Во втором — производят построения графика функции на плоскости Oax . Другой вариант этого приема связан с нахождением графического решения уравнения (неравенства) вида , а затем его аналитической интерпретацией. Построение графика уравнения f (х, a )=0 с двумя переменными х и а на плоскости Oax является основой для ответа на поставленный вопрос о решениях уравнения с параметром. Графическим решением неравенства , где символ заменяет один из знаков , являются множества точек (области) плоскости, координаты которых удовлетворяют данному неравенству.

При решении конкретной задачи координатно-параметрическим методом в ходе решения плоскость Oxa разбивается на «частичные области», внутри каждой из которых геометрически интерпретируется и решается поставленная задача.

Замечание. В частности, понятие «частичных областей» используется при решении уравнений и неравенств, содержащих неизвестные под знаком абсолютной величины (этот метод называют методом «частичных областей»). В свою очередь при решении логарифмических и показательных (и некоторых других) уравнений и неравенств также приходится разбивать плоскость Oxa на области.

задачи вида или

При решении уравнения или неравенства иногда удается выразить одну из переменных в явном виде, что позволяет перейти от задачи с параметром к задаче без параметра, а именно к исследованию функциональной зависимости одной переменной от другой.

Для решения неравенств полезным будет напомнить одно простое утверждение: пусть имеется график функции , тогда множество точек плоскости, расположенных выше графика, будет геометрическим изображением решения неравенства , а для точек, лежащих ниже графика — неравенства

задачи вида

Рассмотрим уравнения и неравенства, в которых переменные х или a заданы в неявном виде, и выразить какую-либо переменную в явном виде сложно.

В предлагаемых задачах уравнение с двумя переменными f ( a , х )=0 , как правило, задает на координатной плоскости некоторые линии. Это составляет основу при решении неравенств.

Для решения неравенств вида удобно использовать метод областей, суть которого представлена ниже при решении примеров.

Для решения уравнений или неравенств, содержащих знак модуля, обычно используют метод «частичных областей». Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи в исходной области (в частности, на плоскости Оха ) сводится к решению совокупности смешанных систем (уравнений и неравенств), не содержащих знаков абсолютной величины, в каждой частичной области, на которые разбивается исходная область.

Лучше всего приведенные методы работают в тех случаях, когда в условии задачи ставится вопрос о количестве корней в зависимости от значений параметра или определения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно.

Графическое представление уравнения или системы уравнений с параметром обладает несколькими несомненными преимуществами: во- первых, построив график (графики), можно определить, как влияет на них и, соответственно, на решение уравнения изменение параметра; во- вторых, иногда график дает возможность сформулировать аналитически необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи и, в-третьих, ряд теорем позволяет на основании графической информации делать вполне строгие и обоснованные заключения о количестве корней уравнения, об их границах и т.д.

Естественно, что при использовании графических методов возникает вопрос о строгости решения. Требования к строгости должны определяться здравым смыслом.В случаях, когда результат, полученный с помощью графического метода, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.

Иногда бывает достаточно лишь построить необходимые графики и, используя свойства непрерывности и монотонности функций, сделать правильный вывод.

1. Г.А. Тиняков, И.Г. Тиняков Задачи с параметрами, Москва, 1996

2. В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич, Задачи с параметрами, Минск «Асар», 2004.

3. С.А. Субханкулова, Задачи с параметрами, Москва, ООО «Илекса», 2009

4. А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев, Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений, Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

5. А.А. Прокофьев, Задачи с параметрами, Москва, 2004