Графическое решение уравнений с одной переменной конспект

Графическое решение неравенств c одной переменной. Графический способ решения систем уравнений.
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Алгебра. Повторение. Подготовка к ГИА. 9 класс.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Графическое решение неравенств c одной переменной.

Графический способ решения систем уравнений.

Повторение. Подготовка к ГИА. 9 класс.

— Создание алгоритма графического решения неравенства с одной переменной.

— Повторение графического способа решения систем уравнений.

— Использование технологии проблемного обучения.

1. Организационный момент.
2. Графическое решение неравенств c одной переменной.
3. Физкультминутка.
4. Графический способ решения систем уравнений.
5. Домашняя работа.

1. Организационный момент.

2. Графическое решение неравенств c одной переменной .

Постановка проблемы перед ребятами: «Решите неравенство ».

Создание алгоритма графического решения неравенства с одной переменной.

Способ решения неравенств графически применяют для решения «не решающихся» неравенств. Для этого, как и при графическом решении уравнений надо:

1) левую часть неравенства обозначить ; правую — ;

2) постройте графики этих функции в одной системе координат;

3) найти точки пересечения графиков и соответствующие им точки оси абсцисс;

В нашем примере: = и = . Выполним построение графиков функций f ( x) = и с учетом ОДЗ второй функции ( x 0).

Ответ: 0 x 1 и x > 3,3.

4. Графический способ решения систем уравнений .

Для решения системы уравнений этим способом надо:

• каждое уравнение записать в виде формулы функции ( у выразить через х);
• построить графики полученных функций;
• найти точки пересечения графиков функций;
• найти решение системы уравнений (координаты точек пересечения графиков функций).

Замечание . В общем случае ответ надо давать приблизительно ; только если при построении графиков какая-то точка была рассчитана дважды, в ответ можно взять точные значения её координат (в таблицах такую точку обычно обводят).

Решим системы уравнений:

Ответ: х 1 -1,7, у 1 -4,7; Ответ: .

5. Домашняя работа.

Домашнее задание по учебнику №523 (е), №524 (в), № 554 (по желанию).

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»

Разделы: Математика

Всякое учение и всякое обучение основано на некотором уже ранее имеющемся знании.

Цели:

• обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения;
• научить решать уравнения графическим способом, в частности используя возможности компьютерных программ;
• учить анализировать, выделять главное, сравнивать.

Формирование компетенций: компетенции самосовершенствования – саморегулирование и саморазвитие, речевое развитие (через устную и самостоятельную работу, формулировка выводов); компетенции социального взаимодействия – сотрудничество; компетенции в общении – устном, письменном; компетенции познавательной деятельности – постановка и решение познавательных задач, проблемные ситуации (их создание и разрешение), прогнозирование деятельности; компетенции информационных технологий – приём, переработка и выдача информации, компьютерная грамотность.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Средства обучения: компьютер, медиапроектор, презентация (Приложение 1).

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная, диалог, работа с текстом слайда, работа в тетради, парная.

Методы: наглядный, словесный, графический (практический).

Методы мотивации: поощрение, порицание; создание проблемной ситуации, побуждение к поиску решения; предъявление учебных требований, прогнозирование будущей деятельности, самооценка деятельности; создание ситуации взаимопомощи, заинтересованность в результатах коллективной работы.

1. Оргмомент (1 мин.)

2. Актуализация знаний (12 мин.)

А). По карточкам (на доске):

№1. Решите уравнение 4х + 8 = –17 + 9х.
№2. Решите уравнение х 2 + х – 2 = 0.
№3. Решите уравнение х 2 = .
№4. Заполните таблицу:

(На этом этапе можно организовать взаимопроверку и взаимопомощь, если возникнет такая необходимость).

Б). Устная фронтальная работа. (Здесь и далее: подчёркивание – моменты управления презентацией)

Что называется функцией?

С какими функциями уже знакомы? (На партах – памятка, по которой учащиеся вспоминают связь между графиком и формулой, задающих функцию: Приложение 2).

Я предлагаю вашему вниманию формулы, задающие некоторые функции. Из этих функций нужно выбрать линейные. Но перед этим давайте вспомним определение линейной функции. (Работаем со слайдом 2).

Давайте вспомним, что является графиком (гиперссылка) линейной функции.

Среди выбранных нами линейных функций есть особенные. Что это за функции? Чем отличаются графики? (Разбейте линейные функции на две группы). (Работаем со слайдом 3).

Остались функции, о которых мы ничего ещё не сказали. Давайте дадим им название, и название их графикам. (Работаем со слайдом 4).

Что называется уравнением? Корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие уравнения мы уже можем решать?

В) Проверяется работа по карточкам №1; №2; №3.

1) 4х + 8 = –17 + 9х,
4х – 9х = – 17 – 8,
– 5х = – 25,
х = 5.
Ответ: 5.

2) х 3 + х – 2 = 0,
D = в 3 – 4ас = 12 – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0, уравнение имеет два корня.
х₁ = 1;
х₂ = – 2.
Ответ: 1; – 2. (Могут решать по свойству корней: а + в + с = 0).

3) х 2 = ,
х 3 = 6,
х 3 – 6 = 0. – Мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени. Как быть?

Значит, нужен другой способ решения таких уравнений. Как вы думаете, что это может быть за способ (исходя из устной работы). Одним из способов является графический способ. Записывается тема урока, (слайд 5).

Г). Давайте поставим цель урока. (Научиться решать уравнения с помощью графиков, слайд 6).

3. Изучение новой темы и первичное закрепление (15 мин.)

Мы получили уравнение х 3 – 6 = 0. Но строить график функции у = х 3 – 6 мы ещё не умеем. Т.е., что получается: это уравнение и графическим способом мы не можем решить? А может быть, нужно вернуться к первоначальному уравнению: х 2 = (слайд 7). Что мы видим внутри этого уравнения? Есть ли выражения, из которых мы можем составить знакомые нам функции? (Да: у = х 2 и у = ). Что нужно сделать?
– Построить их графики.

– В одной координатной плоскости.

– Дальше найдём координаты точки пересечения.

– Нет, только значение х.

Итак, давайте ещё раз выработаем алгоритм решения уравнений графическим способом (каждый этап подтверждается показом в «Живой геометрии», Приложение 3). Используются результаты индивидуальной работы по заполнению таблицы (карточка №4). Учащиеся работают в тетрадях. Некоторые этапы в тетради записываются подробно, (слайд 7).

• Из уравнения выделяем знакомые нам функции.
• Строим графики функций в одной координатной плоскости.
• Находим координаты точек пересечения графиков.
• Из найденных координат выбираем значение абсциссы, т.е. х.
• Записываем ответ.

4. Физминутка (1 мин.)

5. Закрепление (5 мин.)

• Сколько корней имеет уравнение? (Гиперссылка – слайд 8, в «Живую геометрию», 3 страницы. Приложение 4). а) б) х + 2 = х 2 ; в) = х 2 .
• Попади в цель! (Слайд 9. Работа со слайдом показана на рисунке 1)

6. Домакшнее задание (слайд 10): (1 мин)

• п.26;
• № 623 (а), № 624(а);
• №4.10 на стр.117 (сборник Л.В.Кузнецовой): Наташа, Настя, Кирилл, Сергей.

7. Применение в образовательной области (1 мин)

Умения строить графики, читать графики, находить точки пересечения графиков нужны не только при изучении алгебры, но и при изучении физики, когда вы изучаете, н-р, зависимость плавления тела от температуры, зависимость скорости от времени движения двух тел. На уроках информатики, работая в электронных таблицах Excel, вы будете учиться строить графики, решать уравнения. На уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Умение строить графики, диаграммы нужны и в повседневной жизни: для описания результатов голосования, удоя молока; в инженерных специальностях это умение очень важно.

8. Проверочная работа в виде теста (6 мин)

В – 1:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = – 2; б) у = х – 2; в) у = х 2 – 2.

2. График функции у = называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = ; 2) у = 2х 2 ; 3) у = х – 2; 4) у = 2х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 3 изображены графики функций у = х 3 и у = –2 х – 3. Используя графики, решите уравнение: х 3 = – 2х – 3.

В – 2:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = + 1; б) у = + 1; в) у = х 5 + 1.

2. График функции у = 3х 2 называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = – ; 2) у = х 2 – 1; 3) у = – х; 4) у = 1 – х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 5 изображены графики функций у = – х 2 + 2 и у = . Используя графики, решите уравнение: – х 2 + 2 = .

Ответы:

В – 1: 1. б 2. б 3. 1 – Б; 2 – А; 3 – В; 4 – Г 4. б
В – 2: 1. а 2. в 3. 1 – В; 2 – Г; 3 – А; 4 – Б 4. а

9. Рефлексивно-оценочный этап (отвечают письменно в тетради после выполнения теста) (2 мин.) (Слайд 11)

а) за теоретический опрос;
б) за фронтальную работу;
в) за самостоятельную работу.

Урок по теме «Графический способ решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Графический способ решения уравнений»

Базовый учебник: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2019.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Применяемые технологии: дифференцированного обучения; компьютерные (новые информационные) технологии обучения.; проблемного обучения; технология деятельностного метода.

· повторить ранее изученные графики функций, свойства, алгоритмы их построения;

· формирование умения решать уравнения графическим способом;

· усиление роли графических представлений при формировании основных понятий темы,

увеличение удельного веса заданий, предполагающих работу с графиками функций.;

· развитие математической речи, познавательного интереса, умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить;

· воспитывать активность, внимательность, аккуратность выполнения работы.

· обучающие: формирование умений решать уравнения графическим способом, сопоставлять графики с формулами, задающими функции;

· развивающие: формирование навыков самостоятельной работы, работы с информационными источниками; развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи, выводы; развитие устной речи (через беседы с учителем); развитие мышления (через обоснование своих ответов);

· воспитательные: формирование познавательного интереса к математике, ответственности, умений работать в коллективе, воспитание культуры общения; формирование общеучебных умений (учебно-организационных – умение организовать выполнение проверочной работы, учебно-коммуникативных – умение общаться с учителем и друг с другом).

· создание проблемной ситуации,

· побуждение к поиску решения;

· предъявление учебных требований, прогнозирование будущей деятельности, самооценка

· создание ситуации взаимопомощи, заинтересованность в результатах коллективной работы.

компьютер, медиапроектор, слайдовая презентация, плакаты с графиками элементарных функций, тест по теме на бумажных носителях, карточки.

Организационный этап — 1 мин.

I. Мотивационная беседа — 1 мин.

II . Актуализация опорных знаний учащихся. Устный опрос- 4 мин.

III . Проверка знаний. Дифференцированная работа в парах- 5 мин.

I V . Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний – 4мин.

V . Интересные факты. Применение в образовательной области и в жизни- 2 мин.

V I. Физкультминутка- 1 мин.

V II. Этап закрепления знаний — 10 мин.

V III. Самостоятельная работа- 8 мин.

IX . Домашнее задание- 1мин.

X . Рефлексивно-оценочный этап. Итог урок – 3 мин.

I. Мотивационная беседа.

Учитель: Слово “Математика” в переводе с греческого ( mathein ) означает – «познающий» .Если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому, мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои математические познания.

Поэтому сегодня вспомним основные свойства функции и их графики.

Задание для отвечающих: разгадать кроссворд по одному пункту

(вместо дополнительного вопроса по теме). Задание , маркер на мольберте.

В конце урока проверяется по заготовке ответов.

1. Независимая переменная.

2. Зависимость переменной у от х, при которой каждому значению х соответствует

единственное значение у.

3. График линейной функции.

4. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

5. Равенство, содержащее одну или несколько переменных.

6. График функции y = .

7. График квадратичной функции.

II . Актуализация опорных знаний учащихся.

Устный опрос.

1. Что такое функция?

(зависимость двух переменных, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называют функцией)

2. Что называется графиком функции?

(графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции)

Проверим знания на практике.

3. Определите по рисункам, что является функцией, а что нет:

· Функцией является – В,Е.

· Функцией не является – А, Б, Г, Д.

4. Что является графиком данных функции ?

а) у= k х+ b ; б) у= k х; в) у =в; г) у= ; д) у=х 3 ; е) у=х 2 ; ж) у=√х

(На партах – памятка, по которой учащиеся вспоминают связь между графиком и формулой, задающих функцию)

III . Проверка знаний.

1. Математическое лото (для слабых учеников) –работа в парах.

I вариант. Задание: соотнесите график с аналитической записью функции.

II вариант. Задание: соотнесите график с его названием .

у

3.

у

х

4.

5. у

х

6. у

х

7. у

х

8. у

х

С . y= (k>0)

А . y=

И . y= (k

У. прямая, проходящая

через начало координат

С. кубическая парабола

М . ветвь параболы

параллельная оси х

Оценивание «5»- всё правильно

«4»- допущено одна-две ошибки

«3»- допущено три-четыре ошибки

«2»- допущено более четырёх ошибок

Заполнение оценочного листа

Задание : Соотнесите формулы функций и графики на чертеже.

Тест Б -1 ( I вариант)

Тест Б -2 ( II вариант)

Тест В (для сильных учеников)

а

Ученик у доски заполняет кроссворд (одну позицию)

I V . Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний.

1. На доске запись трех уравнений: = x 2 , = x 3 , =-2.

Что записано на доске? (Уравнения)

— Эти уравнения необходимо решить на уроке.

Предложите способ решения. (Графический способ решения уравнений)

— Сформулируйте тему урока. ( Решение уравнений графическим способом )

— Сформулируйте цели урока?

(Научиться решать уравнения данным способом.)

-В чем состоит идея графического метода?

(Нужно построить графики введенных функций и найти точки их пересечения.

Корнями уравнения служат абсциссы этих точек)

— Какие есть недостатки у этого метода?

(Корни могут быть неточными)

Обратить внимание: значения корней получаются приближенными.

Точность корней нужно подтвердить проверкой.

2. Прочитайте алгоритм решения уравнения графическим способом

(на слайде появляются пункты алгоритма).

графического решения уравнений.

1. Рассмотреть две функции y = f ( x ) и y = q ( x ).

2. Построить график функции y = f ( x ).

3. Построить график функции y = q ( x ).

Графики этих функций строятся в одной системе координат.

4. Найти точки пересечения построенных графиков;

абсциссы этих точек – корни уравнения f ( x ) = q ( x ).

5. Записать ответ.

2.По готовому рисунку составить уравнение и решить его.

х 2 = х+2 = х 2 =

х = -1; х = 2 х = 1 х = 0 ; х = 1

V . Применение в образовательной области и в жизни .

Умения строить графики, читать графики, находить точки пересечения графиков нужны не только при изучении алгебры, но и при изучении физики, когда вы изучаете, зависимость плавления тела от температуры, зависимость скорости от времени движения двух тел. На уроках информатики, работая в электронных таблицах Excel, вы будете учиться строить графики, решать уравнения. На уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Умение строить графики, диаграммы нужны и в повседневной жизни: для описания результатов голосования, удоя молока; в инженерных специальностях это умение очень важно.

· Когда в Госдуме проводили анализ использования и восстановления ресурсов и нанесли эти графики одновременно на одной координатной плоскости, то тем самым выяснили, в каких годах в России и мире наступит стабилизация вплоть до 2100г.

· Есть такая наука, которая называется сейсмология. Ученые наносят с помощью приборов колебания различных слоев земной коры и с большой вероятностью могут вычислить по точкам пересечения графиков, когда и где могут произойти землетрясения, наводнения, извержения вулканов, возникновение других стихийных бедствий.

· Социологи, выстраивая графики рождаемости и смертности, выясняют, когда наступает равновесие, и какие причины влияют на это. Биологи работают над селекцией видов, рассматривая совместное решение графиков развития различных типичных признаков.

V I. Физкультминутка.

Изобразить руками следующие графики:

парабола с ветвями вверх,

парабола с ветвями вниз,

прямая с коэффициентами разных знаков и т.п.

V II. Этап закрепления знаний.

Уравнения решают в тетради ,графики чертят на масштабной бумаге.

№ 1. Решите уравнение графически: = x 2

1) y = 2) y = x 2

Обратная пропорциональность Квадратичная функция.