График иррационального уравнения как построить

Графический метод при решении иррациональных уравнений

Продолжаем изучать методы решения иррациональных уравнений. Сейчас сосредоточимся на графическом методе. Сначала скажем, в каких ситуациях для решения иррациональных уравнений применяется графический метод. Дальше кратко напомним основные положения метода, его особенности и алгоритм. После этого подробно разберем решения наиболее характерных иррациональных уравнений.

Какие иррациональные уравнения решаются графически

Обычно, графическим методом решаются иррациональные уравнения, для которых выполняются два следующих условия:

• Не видно другого более простого метода решения.
• Функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков.

Понятно, что в общем случае построение графиков функций – это дело непростое. Именно поэтому графическим методом решают лишь уравнения f(x)=g(x) , которые, во-первых, не решаются другим способом или решение другим способом сопряжено со значительными сложностями, и, во-вторых, для которых функции f и g либо основные элементарные, либо их графики могут быть получены из графиков основных элементарных функций при помощи геометрических преобразований.

Например, решать графическим методом иррациональное уравнение можно, но не стоит, так как решение этого уравнения легко получить по определению корня или методом возведения обеих частей уравнения в квадрат. А вот для решения уравнения графический метод — самое то: не видно легкого решения другими методами и легко построить графики функций, отвечающих частям этого уравнения. Решение этого иррационального уравнения мы приведем ниже.

Краткое описание метода, его особенности и алгоритм

Подробное описание графического метода дано в статье «Графический метод решения уравнений». Здесь мы не будем повторяться, а лишь кратко и без пояснений напомним главные положения этого метода, его особенности и алгоритм.

Графический метод решения уравнений предполагает использование графиков функций, отвечающих частям уравнения, для нахождения решения уравнения. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций.

Без использования специализированных компьютерных программ сложно достичь высокой точности построения графиков функций. Поэтому, все результаты, полученные с использованием графиков, мы можем считать лишь приближенными, нуждающимися в проверке и обосновании (кроме, разве что, самых очевидных). Это главная особенность графического метода.

Наконец, алгоритм. Согласно графическому методу решения уравнений, нужно:

• Построить в одной прямоугольной системе координат графики функций, отвечающие левой и правой частям уравнения.
• По чертежу определить все точки пересечения графиков:
  • если точек пересечения нет, то решаемое уравнение не имеет корней,
  • если точки пересечения имеются, то переходим к следующему шагу алгоритма.
• По чертежу определить абсциссы всех точек пересечения графиков – это приближенные значения всех корней исходного уравнения.
• Если есть основания полагать, что некоторые или все определенные на предыдущем шаге значения являются точными значениями корней решаемого уравнения, то осуществить их проверку, например, подстановкой.

Решение характерных иррациональных уравнений

Практическую часть откроем иррациональным уравнением, для решения которого непросто предложить какой-либо аналитический метод. А вот графический метод позволяет показать, что уравнение не имеет корней.

Решите иррациональное уравнение

Иногда графический метод позволяет определить точные значения корней уравнения. Это обычно происходит, когда корнями являются целые числа. Но даже целые корни, найденные по графикам, полезно проверять при помощи подстановки в исходное уравнение. Продемонстрируем это при решении следующего иррационального уравнения графическим методом.

Решить уравнение

Часто при помощи графического метода невозможно получить точные значения корней. Более того, в некоторых случаях по графикам невозможно определить даже количество корней уравнения, не то что их значения. Это касается тех случаев, когда графики функций, отвечающие правой и левой части уравнения, очень близки на некоторых участках, почти совпадают. Выход из такой ситуации может состоять в построении графиков именно на этих участках в увеличенном масштабе при повышенной точности построения. Однако делать это без компьютера проблематично, и по понятным причинам предпочтительнее обратиться к какому-либо аналитическому методу решения, если, конечно, есть такая возможность.

Решить иррациональное уравнение

Мы подробно рассмотрели как графический метод применяется при решении иррациональных уравнений. Можно приступать к изучению следующего метода решения иррациональных уравнений — метода, базирующегося на свойствах возрастающих и убывающих функций.

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Особенности решения иррациональных уравнений геометрическим методом

«В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии». А.С. Пушкин

Скачать:

Предварительный просмотр:

Министерство образования и науки Республики Бурятия

XXII Городская научная конференция школьников «Шаг в будущее»

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №54 г. Улан-Удэ»

Тема «Особенности решения иррациональных уравнений геометрическим методом»

Направление: уравнение и неравенства

Выполнил: Эрдынеев Вдадимир Сергеевич, ученик 11«Б» класса

Научный руководитель: Домиева Наталья Федоровна, учитель математики СОШ №54 г. Улан-Удэ, Почетный работник общего образования РФ

1. Введение. Актуальность выбранной темы………..…………………………………………3

2. Понятие иррациональных уравнений………….…………………………………………….4

3. Особенности решения иррациональных уравнений геометрическим методом………………………………………………………………………………………. …4

3.1. Применение свойств прямоугольного треугольника……………………………………..4

3.2. Применение векторов к решению иррациональных уравнений………………………. 6

3.3. Применение формулы расстояния между двумя точками………………………………..7

3.4. Анализ рациональности решения иррациональных уравнений и систем геометрическим методом……………………………………………………………………..…8

4. Практическая значимость исследования: создание собственного тематического сборника задач…………………………………………………………………………………. 8

5. Дальнейшие перспективы работы над проблемой………………………………………….9

В математике есть своя красота,

Как в живописи и поэзии.

В современных условиях проблема рациональности решения алгебраических уравнений, в частности иррациональных, является весьма актуальной. Ведь в условиях современного экзамена, особенно при решении задач повышенной трудности (части С единого государственного экзамена), ощущается дефицит времени. Поэтому стандартное, но трудоемкое решение может привести к тому, что потраченное время будет столь большим, что на остальное просто не хватит времени. К тому же в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится мало времени.

Одним из способов решения этой проблемы считаю геометрический метод.

Геометрический метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением. (В старинных индийских сочинениях бывало так, что доказательство сводилось к чертежу, подписанному одним словом «Смотри!»).

Он существенно расширяет возможности решения иррациональных уравнений, систем. Также некоторым учащимся геометрия дается легче, чем алгебра, и у меня возникло предположение, что на стыке алгебры и геометрии будет интересно заниматься.

Поэтому объектом исследования выбрал иррациональные уравнения, предметом исследования – геометрические методы решения. Цель моего исследования: показать преимущество геометрического метода решения иррациональных уравнений.

• найти и изучить литературу по данной теме.
• сравнить алгебраические и геометрические методы решения иррациональных уравнений.
• проанализировать, как решение иррациональных уравнений геометрическим способом может повлиять на эффективность решения.
• рассмотреть ряд приемов решения иррациональных уравнений, систем геометрическим методом.

Исследование подтвердит или опровергнет гипотезу : лишь небольшой класс уравнений, в частности иррациональных, решается определенным геометрическим методом.

Для исследования выбраны следующие методы : аналогия, обобщение, анализ научной литературы, практический.

Новизна исследования заключается в углубленном изучении математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения иррациональных уравнений.

Теоретическая значимость исследования: благодаря интеграции «негеометричности» условия уравнения и ее геометрического решения математические знания предстают как живая, динамичная система, способная решать задачи из других наук и практики.

Практическая значимость исследования: в результате исследования предполагается создание тематического сборника задач, который может быть полезен не только учащимся, но и педагогам.

2. Понятие иррациональных уравнений

Уравнение — язык математики. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», писал великий Ньютон. Искусство решать уравнения зародилось у вавилонян. История возникновения иррациональных чисел относится к VI веку до нашей эры пифагорийцам.

Иррациональными уравнениями называются уравнения, которые содержат переменную под знаком корня. Современный знак корня ввел И. Ньютон. Основными методами их решения иррациональные уравнений являются возведение обеих частей в степень, метод введения новой переменной, метод равносильности систем и т.д.

3. Особенности решения иррациональных уравнений геометрическим методом.

3.1. Применение свойств прямоугольного треугольника.

Рассмотрю применение геометрического метода на примере достаточно несложных систем уравнений. Причем решение этих систем проведу также и аналитически. Суть метода в данном случае состоит в том, чтобы увидеть в алгебраических уравнениях формулировки теорем геометрии, в данном случае — теорему Пифагора, теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике и формулу площади прямоугольного треугольника.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение (геометрический метод) .

Поскольку то у, и х – являются длинами соответственно катетов и гипотенузы некоторого прямоугольного треугольника. Тогда из первого уравнения системы следует, что площадь этого треугольника S=24, а периметр его из второго уравнения равен P=24. Тогда радиус вписанной в этот треугольник окружности равен С другой стороны, радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

Отсюда получаем Вычитая из второго уравнения системы полученное равенство, получаем х = 10.Подставив это значение во второе уравнение системы и решив стандартное иррациональное уравнение, находим

Решение (алгебраический метод)

Возведем в квадрат второе уравнение системы

Учтем, что = 96, тогда

Подставим найденное значение в первое уравнение

Проверкой убедимся, что решения исходной системы положительны.:

Вывод: Решение геометрическим методом более рационально, тратится меньше времени, наблюдается явно выраженная экономия силы, энергии.

3.2. Применение векторов к решению иррационального уравнения.

В следующем примере применение геометрического метода далеко не так очевидно, как в предыдущем. Оно построено на понятии коллинеарных векторов и формуле скалярного произведения векторов в координатах. ( приложение 1 )

Пример 2 . Решить уравнение

Решение (геометрический метод).

Введём векторы и Скалярное произведение этих векторов равно а произведение их длин становится равным На основании соотношения имеем:

Замечаем, что левые и соответственно правые части данного уравнения (1) и полученного неравенства (2) совпадают. Но, согласно уравнению (2), левая часть неравенства (2) должна быть равна его правой части, т.е. должно выполняться условие:

Это возможно тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Эти векторы в свою очередь, коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноимённые координаты пропорциональны, т.е.

Таким образом, данное уравнение (1) равносильно уравнению (3), которое в свою очередь, равносильно уравнению Решим его. Имеем:

Единственным корнем этого уравнения является значение т.к. уравнение действительных корней не имеет.

Решение (алгебраический метод).

Алгебраическое решение уравнения (1) стандартно, но трудоемко. Приведем его подробно.

После дальнейших преобразований стало очевидно, что решать уравнение аналитически – нерационально. Поэтому решение было остановлено.

3.3. Применение формулы расстояния между двумя точками.

Пример 3 . Решить систему уравнений

Решение (геометрический метод)

Рассмотрим слагаемые второго уравнения.

Пусть это расстояние между «текущей» точкой М(х;у) и точкой А(2;-1).

Пусть это расстояние между точками М(х;у) и В(10;5). Найдём расстояние между точками А и В:

Откуда следует, что Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А и В.

Имеем : Получим новую систему:

Решение (алгебраический метод)

Решение данной системы алгебраическим способом оказалось очень трудоемким и нерациональным. Привожу только его начало.

3.4. Анализ рациональности решения иррациональных уравнений и систем геометрическим способом.

Я думаю, что геометрический метод решения иррациональных уравнений и систем не усложняет их. Основной трудностью при его применении является неочевидность, особенно в примере (2). Ведь до применения векторов нужно додуматься или просто знать о такой возможности. Все уравнения и системы, рассмотренные мною в работе, имеют стандартное алгебраическое решение. Поэтому в условиях экзамена, при дефиците времени, понятно, по какому пути многие пойдут. Поэтому рациональность геометрического метода – вопрос спорный. Однако, иногда этот метод – единственно возможный, кроме того, он еще и красив! Тем более, что некоторые формулы из геометрии легко узнаваемы.

Чем большим количеством способов мы можем решить то или иное уравнение, тем скорее мы научимся рациональности в своих рассуждениях и действиях. А для этого надо решать! Решать больше, учиться находить различные пути. Ведь жизнь предполагает многовариантность!

4. Практическая значимость исследования: создание собственного тематического сборника задач.

Работая с различными источниками, я столкнулся с проблемой недостаточности материала по проблеме. В сборниках задач, в основном, приводится лишь несколько примеров решения алгебраических задач, уравнений геометрическим методом. Сформированный мной задачник будет полезен не только ученикам, готовящимся к сдаче экзаменов и участию различного уровня олимпиад, но и преподавателям, которых заинтересует эта тема.

Я не только сделал выборку таких задач, но и систематизировал в соответствии с содержанием и методами их решения.

5. Дальнейшие перспективы работы над проблемой.

Мое исследование поможет систематизировать и углубить теоретические и практические знания учащихся по геометрии и по алгебре.

Работа перспективна, так как геометрия не остановилась в своем развитии, а играет все большую роль в познании мира. В дальнейшем хочу раскрыть новые границы неизученного материала и привлечь учащихся к обсуждению данной проблемы и способствовать расширению их кругозора.

«Внедрение геометрических интерпретаций и доказательств в алгебре и арифметике способствует гармонизации работы полушарий мозга. В любом случае, решения типа «смотри» развивают не меньше, чем преобразования многочленов» см. [7].

В результате исследования я опроверг гипотезу, выдвинутую в начале работы: лишь небольшой класс уравнений, в частности иррациональных, решается определенным геометрическим методом. Мне удалось достичь цели моего исследования.

Я показал, что геометрическое решение некоторых иррациональных уравнений намного рациональнее, чем традиционное. Теперь смогу применять полученные знания на экзаменах и олимпиадах. Я рассмотрел некоторые особенности при применении геометрического метода – приемы применения свойств прямоугольного треугольника, формулы расстояния между двумя точками, применение векторов.

В результате исследования я пришел к следующим выводам:

• при решении некоторых иррациональных уравнений геометрическим методом наблюдается явно выраженная экономия сил, энергии, а главное времени;
• чтобы решить иррациональные уравнения геометрическим методом необходимо иметь навык и «видение» геометрической интерпретации, что, на мой взгляд, и является самым сложным в данном методе;
• во многих разделах алгебры существуют классы уравнений, решаемых геометрическими методами;

В результате мною был сформирован собственный тематический сборник заданий. В перспективе я дам подробное решение всех заданий.

Думаю, что сборник будет полезен не только учащимся, но и педагогам. В дальнейшем хочу раскрыть новые границы неизученного материала и привлечь учащихся к обсуждению данной проблемы и способствовать расширению их кругозора.

В конце работы хочу дать обоснование значимости полученных результатов.

• Зная несколько способов решения иррациональных уравнений:

— ученик сможет выбрать более легкий, быстрый и верный способ нахождения ответа.

— при неудачной попытке решить уравнение одним способом сможет воспользоваться другим.

• Применение различных способов решения иррациональных уравнений:

— оттачивает навык решения уравнений.

— способствует лучшей усвояемости нового материала.

1. Атанасян Л.С. Геометрия, 10-11: учебник. – М .: Просвещение, 2003.

2. Генкин Г. З. Геометрические решения алгебраических задач. — «Математика в школе», №7- 2001, с. 61.

3. Кравцев С. Ю., Макаров Ю. И., Максимов М. И. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. – М.: Экзамен, 2001.

4. Мигина А. Решение уравнений с применением оригинальных приемов. – Газета «Математика», №37 – 2001, с. 26.

5. Математика. 9-11 классы: Решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности. Основные методы и приемы/ Авт.-сост. М.А. Куканов. – Волгоград: Учитель, 2009. – 223 с.

6. Математика. Областные олимпиады. 8-11 классы/ [Н.Х. Агаханов, И.И. Богданов, П.А. Кожевников и др.] – М.: Просвещение, 2010 – 239с.: ил. – (Пять колец).

7. Шарыгин И.Ф. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы. М., 1999. — 241с.

8. Энциклопедия для детей. [ Том 11]. Математика. – 2-е изд., перераб. / ред. Коллегия: М. Аксенова, В. Володин, М. Самсонов. – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2007. – 621с.

• Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.
• Векторы называются коллинеарными , если они лежат, либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
• Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.
• Скалярное произведение векторов:

Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов обозначается так: Или

• Скалярное произведение векторов выражается формулой

• Расстояние между точками А и В.

Расстояние между точками А(х 1 ;у 1 ) и В(х 2 ;у 2 ) выражается формулой:

Приложение 3. Сборник задач.

1. Текстовые задачи

1. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 440 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 4 часа на расстоянии 240 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

2. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

3. Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

4. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

5. Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли одновременно два поезда. Каждый из них двигался сначала равноускоренно (начальные скорости поездов равны нулю, ускорения различны), а затем достигнув некоторой скорости, — равномерно. Отношение скоростей равномерного движения поездов равно. В некоторый момент времени скорости поездов оказались равными, а один из них прошел к этому времени расстояние в раза больше, чем другой. В пункты В и А поезда прибыли одновременно. Какую часть пути прошел каждый из поездов к тому моменту, когда их скорости оказались равными?

2. Задания из тригонометрии

Задача 1. Вычислите cos15°.

Задача 2. Найти sin 18°

Задача 3. Вычислите

Задача 4. Вычислите

Задача 5. Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x =

Задача 6. Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x = .

3. Системы уравнений. Всесоюзная математическая олимпиада, 1984 г.

Задача 1. Найти М=xy+2yz+3xz, если x>0, y>0, z>0 и

Задача 2. Найти S=xy+yz, если x>0, y>0, z>0 и

Задача 3. Сколько пар целых чисел (x;y) удовлетворяет системе неравенств